精品解析：甘肃省陇南市武都区2025--2026学年上学期九年级1月期末数学试卷

陇南市武都区2025~2026学年度第一学期期末学业水平测试 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可． 【详解】解：A．旋转180°，与原图形完全重合，是中心对称图形；故此选项正确； B．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误； C．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误； D．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误； 故选：A． 【点睛】考点：中心对称图形． 2. 已知是一元二次方程的两个实数根，则（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为a，b， ，， 则原式， 故选：C． 3. 一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（ ） A. 对所有人都公平 B. 无法判断是否公平 C. 先摸者获得礼品的可能性大 D. 后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 4. 已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近． 先根据二次函数性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到、、的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ，，， ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近， ∵抛物线开口向上， ． 故选：B． 5. 下列说法正确的有（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据直径的含义对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断． 【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意； C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确． 故选：D． 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出圆的面积是解题关键. 首先需要确定圆的半径，已知正方的步长为，从水池边到圆周每边相距步，则圆的半径为正方形边长的一半加上步，即圆的半径 ，利用圆的面积（）减去正方形面积（）进而得出答案. 【详解】解:∵可耕地的面积是平方步，且可耕地的面积=圆的面积−正方形的面积， ∴可列方程为：. 故答案为:B． 7. 数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了1张卡片，则小涵抽到的卡片恰好是数学家华罗庚图案的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，用概率公式直接求解即可． 【详解】解：共有4种等可能结果，其中小涵抽到的1张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的结果有1种， ∴小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚图案的概率为， 故选：B． 8. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转到，当点在一条直线上时，旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由题意得，结合旋转的性质可知旋转的度数为． 【详解】解：∵， ， ∵点在一条直线上， ， ∴旋转的度数为． 故选：D． 9. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，根据圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 10. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②b=﹣2；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥1；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①只需通过观察图象即可确定最大值；②将点坐标代入解析式，可以根据求出的解析式来判定；③观察图象即可得到取值范围；④可根据二次函数的性质得到结论； 【详解】将（-3，0）、（1，0）、（0，3）代入解析式可求出二次函数的解析式， ∴y=-x2-2x+3， ①观察图象，可确定顶点坐标为（-1，4），故该结论正确； ②代入三点坐标后解析式为y=-x2-2x+3，b=-2，故该结论正确； ③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥0，故该结论错误； ④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和，可理解成关于二次函数与y=m的解析式的交点，这两个交点的横坐标是关于x=-1对称，即两根之和为-1×2=-2． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数与一元二次方程根的关系；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，并熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 12. 一个不透明的袋子中有红球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了300次，发现有75次摸到黑球，则袋子中的红球大约有_______个． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再由总球的个数乘以红球的概率即可得出答案，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【详解】解：∵共摸了次球，有次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋中的红球大约有（个）， 故答案为：30． 13. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点N的坐标即可．作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点N的坐标为． 故答案为：． 14. 若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第一象限， ∴， ∴m的取值范围为． 故答案为：． 15. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可． 【详解】解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，， ∴， ∴； 故答案为：12． 16. 如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是______________． 【答案】##9厘米 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可． 详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． 18. 关于x的一元二次方程有一个根为3，求k的值及另一个根． 【答案】，． 【解析】 【分析】将代入方程，求解关于的一元一次方程，再将代入原方程，根据两根之积求解即可． 【详解】解：把代入， 得，解得， ∴原方程为， 设另一根为， 由根与系数的关系可得：，即 解得，即原方程的另一个根是． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，涉及了一元一次方程的求解，理解一元二次方程解的含义以及熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 ∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）画出关于原点中心对称的，并写出点与点的坐标； （2）画出绕点O顺时针方向旋转后得到的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和原点对称，根据题目要求正确作图是解题的关键． （1）关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据网格的特点和旋转方式确定的位置，描出，并顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 21. 某中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了____名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生1 280名，请估计参加B项活动的学生数； （4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率． 【答案】（1）200 （2）见解析 （3）512名 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，利用样本估计总体、列表或画树状图法求概率，掌握统计基础知识是解本题的关键． （1）由D的人数除以所占的比例可得抽取学生总数； （2）求出C的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校共有学生乘以参加B项活动的学生所占的比例即可； （4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：在这次调查中，一共抽取了学生（名）； 【小问2详解】 解：参加C项活动的人数为（名），补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解： （名）， 故估计参加B项活动的学生为512名； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种， ∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 22. 如图，已知中，，． （1）用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． （1）当时，求的长度； （2）当时，判断与的位置关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识． （1）先求得，根据旋转的性质得出，证明为等边三角形，即可求解． （2）根据直接证明，可得，又根据旋转性质得到，即可证得平行． 【小问1详解】 解：，， ， 由旋转可知， 为等边三角形， ； 【小问2详解】 ，证明如下： ，，， ， ,即． 又，， ， ， ． 24. 商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． （1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每套吉祥物的售价应定为32元； （2）销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出方程和函数是解题的关键． （1）设每套吉祥物的售价为x元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列方程，解方程即可得到答案； （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列出二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 设每套吉祥物售价为x元，根据题意得 ， 化简得：， 解得，， 为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为32元． 【小问2详解】 设每天销售吉祥物获得的利润为y元，则有 ， ∵，且， ∴， ∵对称轴为直线，且该二次函数图象开口向下， ∴函数的最大值为， 销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元． 25. 如图，在中，，，点O在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，即有，进而可得，问题随之得证； （2）根据角度可得，进而可得，，在中，，再根据计算即可． 【小问1详解】 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 27. 如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式． （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点(第一象限内)使得，求点坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；抛物线解析式为 （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，面积问题； （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，把，代入后求出，的值即可得出的解析式；将代入求出即可得出抛物线解析式； （2）需要分类讨论：，，，利用线段的长度来求点的坐标； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式列出方程，然后解出的值即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为； 把代入得， 所以抛物线解析式为； 【小问2详解】 ∵ ∴， ①当时，或； ②当时，点是线段的垂直平分线与轴的交点． 设 解得： ． ③当时， ； 解得：（舍去）或 ∴； 综上所述，符合条件的点的坐标为：或或或． 【小问3详解】 联立， 解得：， ∴， ∴ 设， ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇南市武都区2025~2026学年度第一学期期末学业水平测试 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的两个实数根，则（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 3. 一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（ ） A. 对所有人都公平 B. 无法判断是否公平 C. 先摸者获得礼品的可能性大 D. 后摸者获得礼品的可能性大 4. 已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法正确有（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了1张卡片，则小涵抽到的卡片恰好是数学家华罗庚图案的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转到，当点在一条直线上时，旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②b=﹣2；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥1；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 12. 一个不透明袋子中有红球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了300次，发现有75次摸到黑球，则袋子中的红球大约有_______个． 13. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 14. 若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为______． 15. 如图，是内接正n边形的一边，点C在上，，则______． 16. 如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是______________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 关于x的一元二次方程有一个根为3，求k的值及另一个根． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 20. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）画出关于原点中心对称的，并写出点与点的坐标； （2）画出绕点O顺时针方向旋转后得到的． 21. 某中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了____名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生1 280名，请估计参加B项活动的学生数； （4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率． 22. 如图，已知中，，． （1）用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求圆O的半径R． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． （1）当时，求的长度； （2）当时，判断与的位置关系． 24. 商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． （1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 25. 如图，在中，，，点O在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 26. 【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 27. 如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式． （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $