28.2解直角三角形及其应用课件2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦九年级“解直角三角形”，通过比萨斜塔倾斜角计算实例导入，衔接锐角三角函数基础，以直角三角形元素关系、解法分类为核心，借助归纳总结、例题解析、变式演练构建学习支架，帮助学生逐步掌握知识。 其亮点在于以现实问题激发数学眼光，通过分类讨论（如高的位置）培养推理能力，结合变式训练与分层作业渗透模型意识。例如比萨斜塔问题引导学生用数学思维分析，分类讨论题提升逻辑推理，助力学生发展应用能力，也为教师提供系统教学资源。

九年级·数学·人教版·全一册册 导学案课堂同步导学 28.2　解直角三角形及其应用 单击此处编辑母版文本样式 锐角三角函数 解直角三角形及其应用 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 余弦函数和正切函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 利用仰俯角解 直角三角形 解直角三角形的简单应用 应用举例 解直角三角形 正弦函数 利用方向角、坡度解直角三角形 新知一览 单击此处编辑母版文本样式 28.2.1　解直角三角形 单击此处编辑母版文本样式 1.知道直角三角形中五个元素的关系,知道什么是解直角三角形. 2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. ◎重点:直角三角形的解法. ◎难点:三角函数在解直角三角形中的灵活应用. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 教师用多媒体出示比萨斜塔的图片和本章引言中的有关内容,请学生自己阅读,然后教师引入:“今天让我们来做一个小小的工程师,计算一下比萨斜塔纠偏前后的倾斜角度吧!” 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角 α 是多少吗？ 导入新课 单击此处编辑母版文本样式 直角三角形中元素的关系     阅读课本本课时开始至“例1”前的内容,填空(阅读时注意:直角三角形的三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系). 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素只要知道　　个元素(其中至少有　 　)就可以求出其余的　 　个元素.  (2)定义:在直角三角形中,由除直角外的　 　求 　 　的过程就是解直角三角形.  两 一条边 三 已知元素 未知元素 单击此处编辑母版文本样式 解直角三角形     阅读课本本课时中“例1”“例2”,填空(阅读时注意题目中的已知量和未知量). 归纳总结　解直角三角形的方法. 单击此处编辑母版文本样式 已知条件 解法 一条边和 一个锐角 斜边c和锐角∠A ∠B=　90°-∠A　,a=　c·sin A　,b=　c·cos A　  直角边a和锐角∠A ∠B=　90°-∠A　,b= 　,c= 　  两条边 两条直角边a和b c= 　,由　tan A=　求∠A,∠B=　90°-∠A　  直角边a和斜边c b= 　,由　sin A=　求∠A,∠B=　90°-∠A　  单击此处编辑母版文本样式 解直角三角形 1.在Rt△ABC中,根据下列条件解直角三角形. (1)∠C=90°,∠A=60°,c=8; (2)∠C=90°,a=20,c=40. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵sin A=,∴a=c·sin 60°=12. ∵cos A=,∴b=c·cos 60°=4. ∵∠A+∠B=90°, ∴∠B=90°-∠A=30°,∴a=12,b=4,∠B=30°. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∴sin A=, ∴∠A=45°=∠B,b=a=20. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠C=45°,CD=, BD=3. (1)求sin∠CBD的值. (2)若AB=3,求AD的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)如图,过点D作DE⊥BC于点E. 在Rt△CED中,∵∠C=45°,CD=, ∴CE=DE=1. 在Rt△BDE中,sin∠CBD==. 单击此处编辑母版文本样式 (2)如图,过点D作DF⊥AB于点F, 则∠BFD=∠BED=∠ABC=90°, ∴四边形BEDF是矩形,∴DE=BF=1. ∵BD=3, ∴DF=2, ∴AF=AB-BF=2, ∴AD=2. 单击此处编辑母版文本样式 解直角三角形中的分类讨论 2.在△ABC中,AD是BC边上的高,AD=2,AC=2,AB=4,你能求出∠BAC的度数吗? 单击此处编辑母版文本样式 解:如图1,当点D在线段BC上时. 在Rt△ABD中, ∵cos∠DAB==, ∴∠DAB=60°. 在Rt△ACD中,∵cos∠DAC==,∴∠DAC=45°, 故∠BAC=∠DAB+∠DAC=60°+45°=105°. 单击此处编辑母版文本样式 如图2,当点D在线段BC的延长线上时, ∠BAC=∠DAB-∠DAC=60°-45°=15°. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.若某等腰三角形的两边分别为4、9,求其底角的余弦值. 求一个角的余弦值,应该把这个角放在　 　三角形中求解,所以只要作出　 　上的高即可求解.  直角 底边 单击此处编辑母版文本样式 解:∵4+4=8<9,∴AB=AC=9,BC=4, 过点A作AD⊥BC于点D(如图). ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC=BC=2. ∵AB=AC=9, ∴cos∠ABD==. 单击此处编辑母版文本样式 2.在△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,求△ABC的面积. 解:作AD⊥BC交BC(或BC的延长线)于点D. ①如图1,当AB,AC位于AD异侧时, 在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10, ∴AD=ABsin B=5,BD=ABcos B=5. 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△ACD中,∵AC=2, ∴CD===, 则BC=BD+CD=6, ∴S△ABC=·BC·AD=×6×5=15. 单击此处编辑母版文本样式 ②如图2,当AB,AC在AD的同侧时, 由①知BD=5,CD=, 则BC=BD-CD=4, ∴S△ABC=·BC·AD=×4×5=10. 综上所述,△ABC的面积是15或10. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　作什么辅助线可以把非直角三角形转化为直角三角形求解? 答:作高线可以把锐角三角形和钝角三角形转化为两个直角三角形. 单击此处编辑母版文本样式 1如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=2,则AB的长为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.4 D.6 C 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2在直角三角形ABC中,∠A=90°,c=,b=,则tan B的数值为( ) A. B. C. D. A 单击此处编辑母版文本样式 3在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为( ) A.7sin 35° B. C.7cos 35° D.7tan 35° C 单击此处编辑母版文本样式 4在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=4,则AC=　　.  5在△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,sin A=,则AC的长是　 　cm.  2 8 单击此处编辑母版文本样式 6如图,在平面直角坐标系中,P是第一象限的点,其坐标为(x,8),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为,则x的值为　 　.  6 单击此处编辑母版文本样式 7如图,在△ABC中,AB=8,∠B=30°,AD⊥BC,tan∠ACD=,求边AC的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:在Rt△ABD中,sin B=, 则=,所以AD=4. 在Rt△ACD中,tan∠ACD=,则=,所以CD=3, 则AC===5. 单击此处编辑母版文本样式 8如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,与BC相交于点D,且AB=4,求AD的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:在Rt△ABC中, ∵∠B=30°,∴AC=AB=×4=2. ∵AD平分∠BAC, ∴在Rt△ACD中,∠CAD=30°, ∴AD===4. 单击此处编辑母版文本样式 9如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(20,0),OA=2OB, sin∠AOB=. (1)求B点的坐标. (2)求tan∠OAB. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)如图,过点B作BC⊥OA于点C, ∵A点的坐标为(20,0),∴OA=20. ∵OA=2OB,∴OB=10. ∵sin∠AOB==, ∴BC=6, ∴OC==8, ∴B点的坐标为(8,6). 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵OA=20,OC=8, ∴AC=12, ∴tan∠OAB===. 单击此处编辑母版文本样式 10在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是 ( ) A. B.2 C. D. C 单击此处编辑母版文本样式 11在Rt△ABC中,锐角A的正弦值为,那么这个三角形的两条直角边长不可能是( ) A.5和2 B.5和7 C.10和4 D.和 B 单击此处编辑母版文本样式 12已知等腰三角形的两边长分别为4和6,则底角的余弦值为  　.  或 单击此处编辑母版文本样式 13如图,在等腰△ABC中,AB=BC=5,sin∠ABD=,过点A作AD⊥BC于点D. (1)求BD的长. (2)若E是边AC的中点,连接BE,求tan∠EBC的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)因为AD⊥BC, 所以在Rt△ABD中,sin∠ABD=. 又因为AB=5,sin∠ABD=, 所以AD=4, 所以BD==3. 单击此处编辑母版文本样式 (2)因为BC=5,BD=3,所以CD=2. 因为AB=BC,且E是边AC的中点,所以BE⊥AC, 所以∠EBC+∠C=90°, 又因为∠CAD+∠C=90°,所以∠EBC=∠CAD. 在Rt△CAD中,tan∠CAD===, 所以tan∠EBC=. 单击此处编辑母版文本样式 14在△ABC中,若AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4,求tan C. 解:如图1,BD==3, 高AD在△ABC内部,CD=BC-BD=10, ∴tan C==. 如图2,高AD在△ABC外部,CD=BC+BD=16,tan C=. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 15阅读以下材料,并按要求完成相应的任务. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.例如:在计算tan 15°时,可构造如图1所示的图形.在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,设AC=x(x>0),延长CB至点D,使得BD=AB,连接AD,易知∠D=15°,CD=BD+BC=AB+BC=2x+x,所以tan 15°=tan D=…. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 任务: (1)请根据上面的步骤,完成tan 15°的计算. (2)请类比这种方法,计算图2中tan 22.5°的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)设AC=x(x>0),延长CB至点D,使得BD=AB,连接AD. 因为∠ABC=30°,AB=BD, 所以∠D=∠DAB=15°. 在Rt△ABC中,sin 30°=, 则AB=2x, 单击此处编辑母版文本样式 同理可得BC=x, 所以CD=2x+x. 在Rt△ACD中,tan D===2-, 即tan 15°=2-. 单击此处编辑母版文本样式 (2)延长CB到点D,使得BD=BA, 因为∠ABC=45°,AB=DB, 所以∠D=∠DAB=22.5°. 令AC=y,则BC=y,AB=y, 所以BD=AB=y, 则CD=CB+DB=y+y. 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△ACD中, tan D===-1, 即tan 22.5°=-1.   单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 52 $