6.1.1　平行四边形的性质第2课时　平行四边形的对角线的性质及梯形课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形对角线性质及梯形（含等腰梯形）性质，以“老人分地”情景导入，通过旋转平行四边形纸片探究中心对称及对角线平分，折叠等腰梯形纸片发现性质，构建从情景到操作探究再到证明应用的学习支架。 其亮点在于以探究活动为核心，旋转、折叠操作培养几何直观与空间观念（数学眼光），证明推理强化推理意识（数学思维），规范几何语言表达（数学语言）。如探究1让学生直观感知中心对称，例题2结合方程思想解决边长问题，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径与丰富实例。

第六章 平行四边形 1　平行四边形的性质 第2课时　平行四边形的对角线的性质及梯形 北师版-数学-八年级下册 1　平行四边形的性质和判定 1 情景导入 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地．他决定将这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： A B C D O 老大 老二 老三 老四 老人这样分地合理吗？ 【探究1】探索平行四边形对角线的性质 探究新知 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么? A B D C O A B D C O ● A D O C B O 发现：平行四边形ABCD绕它的中心O旋转180°后能够与自身重合。 B A D C 你能证明它吗? (1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； (2)平行四边形的对角线互相平分． 【探究2】平行四边形对角线性质的证明 已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 思考：你还有其他方法吗? ∴AB=CD（平行四边形的对边相等）， AB∥CD（平行四边形的定义）. ∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO. ∴△ABO≌△CDO. ∴OA=OC，OB=OD. 平行四边形的性质： 平行四边形的对角线互相平分. 几何语言： A B C D O ∵四边形ABCD是平行四边形， AB，CD是它的两条对角线， ∴OA＝OC，OB＝OD. 【探究3】等腰梯形的性质 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。 较长的底通常称为下底。 平行的两边称为梯形的底， 较短的底通常称为上底， 不平行的两边称为梯形的腰， 上底 下底 腰 腰 两腰相等的梯形称为等腰梯形。 高 1．动手操作：请学生拿出准备好的等腰梯形纸片． A B C D 任务一：用量角器量一量等腰梯形的同一底上的两个角(如∠A和∠D，∠B和∠C)，你发现了什么？ ∠D=73° ∠C=73° ∠B=107° ∠A=107° ∠A+∠D=180° ∠B+∠C=180° 任务二：将等腰梯形纸片沿它的对称轴对折，你发现了什么？ A B C D 对折后两边能完全重合． 性质1(边角关系)：等腰梯形同一底上的两个角相等． 性质2(对称性)：等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴． 应用举例 【例1】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝4，高为3，则梯形的周长为___________. 【方法指导】由等腰梯形得AD＝BC，∠A＝∠B，证明△AED≌△BFC(AAS)，则有DE＝CF，AE＝BF，再通过勾股定理得AD＝＝＝. 2＋10 D C B A E F 【方法指导】平行四边形的对边相等，可得到AB＋AD＝30 cm，由平行四边形的对角线互相平分可得到OB＝OD，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm， 【例2】已知 ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长． D C B A O 实际上就是AB－AD＝5 cm，根据AB＋AD＝30 cm，AB－AD＝5 cm，求出▱ABCD的各边长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， D C B A O ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm， ∴AB－AD＝5 cm. 又∵▱ABCD的周长为60 cm， ∴AB＋AD＝30 cm， ∴AB＝17.5 cm，AD＝12.5 cm， 则AB＝CD＝17.5 cm，AD＝BC＝12.5 cm. 【例3】 已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F. 求证：OE=OF. 【方法指导】利用平行四边形的性质证明△DOE≌△BOF，从而得到所要求证的OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO=BO（平行四边形的对角线互相平分）， AD∥BC（平行四边形的定义）. ∴∠ODE=∠OBF， ∵ ∠DOE=∠BOF. ∴△DOE≌△BOF. (ASA) ∴OE=OF. 【例4】如图，在平行四边形ABCD中(BC>AB)，对角线AC，BD交于点O.已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 D 【例5】如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为____． 12 【例6】 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，AD＝4，BC＝10.求腰AB的长． 通过作高(AE，DF)，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形．在Rt△ABE中，利用∠B＝60°和BE的长度，即可求出AB. A D C B E F 解：分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F. A D C B E F 在Rt△ABE中，∵∠B＝60°， ∴∠BAE＝30°. ∵在等腰梯形中，AB＝DC. 又∵AD∥BC， ∴AE＝DF. ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL). ∴BE＝CF. 易得EF＝AD＝4. ∵BC＝10， ∴BE＋CF＝BC－EF＝6. ∴BE＝CF＝3. 在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°， ∴AB＝2BE＝6. 归纳总结 平行四边形的对角线的性质及梯形 平行四边形 梯形 对角线互相平分 概念 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个角相等． 随堂练习 1．等腰梯形的一个内角是70°，则另外三个内角的度数分别是___________________． 2．如图，在▱ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是_______________． 1＜OA＜5 70°，110°，110° 3．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝4，△OCD的周长为12，则▱ABCD的两条对角线长度的和是____． 16 4．如图，已知在▱ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝12 cm，BD＝6 cm，求BC的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， OA＝OC＝AC＝6 cm， OD＝OB＝BD＝3 cm. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD＝＝3. ∴BC＝AD＝3cm. 5.已知ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边及两条对角线的长度。 在△ABO中，∵OA = 3,OB = 4,AB = 5, 解:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴ AD = BC = 5. A B C D O 3 4 5 在Rt△OBC中由勾股定理得BC==5 ∴OC = OA = 3，OD = OB = 4，CD = AB = 5. ∴AC = 6，BD = 8. ∴OA2＋OB2 = 32＋42 = 25 = 52 = AB2. ∴∠AOB = 90°. ∴∠BOC = 90°. 6.如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1=110°，∠4=125°，求∠2和∠3的度数。 这节课的收获是什么？ 课堂小结 课本P157习题6.1中的T5、T6、T7. 课后作业 31 $