4.3　公式法第2课时　运用完全平方公式因式分解课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“运用完全平方公式因式分解”，课堂导入先复习平方差公式因式分解，通过问题“x²+8x+16能否分解”引发思考，再结合整式乘法与因式分解的互逆关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过“议一议”辨析完全平方式培养抽象能力，例2先提公因式再分解体现运算能力与推理意识，跟踪训练结合代数式求值发展数学语言表达。采用“特征归纳+例题示范+分层练习”模式，帮助学生理解公式本质，教师可直接用于课堂提升教学效率。

北师版-数学-八年级下册 第四章 因式分解 3　公式法 第2课时　运用完全平方公式因式分解 1 导入新课 1．把下列各式因式分解： (1)4a2－9b2；(2)ax4－ax2. 解：(1)原式＝(2a＋3b)(2a－3b)； (2)原式＝ax2(x＋1)(x－1). 2．你能用前面学过的方法把多项式x2＋8x＋16因式分解吗？ 3．填空： (1)(x＋2)2＝____________； (2)(2x－y)2＝_____________； 反过来：(1)__________＝(x＋2)2； (2)____________＝(2x－y)2. x2＋4x＋4 4x2－4xy＋y2 x2＋4x＋4 4x2－4xy＋y2 以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与因式分解的关系吗？ 探究新知 探究 在下面的等式中，我们用到了整式乘法中的哪个公式？ (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2； a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 在a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2中，形如a2±2ab＋b2的式子称为完全平方式． 根据因式分解与整式乘法的关系，如果把乘法公式反过来，那么 就可以把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法． 下列各式能用完全平方公式分解因式吗？如果能，把它分解出来；如果不能，请说明理由． (1)a2－4a＋4；(2)x2＋4xy＋4y2＋16；(3)4a2＋2ab＋b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2＋6x＋9. 议一议： 解：(1)(5)能用完全平方公式分解因式；(2)(3)(4)不能用完全平方公式分解因式． 归纳总结 1．必须是三项式(或可以看成三项的)； 完全平方式的特征： 2．有两个同号的平方项； 3．有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)． 头平方，尾平方，乘积2倍在中央． a2＋6a＋9＝a2＋2×____×____＋(____)2 ＝(_____)2； a2－12a＋36＝a2－2×____×____＋(____)2 ＝(______)2； m2＋8m＋16＝m2＋2×____×____＋(____)2 ＝(______)2； x2－4xy＋4y2＝x2－2×____×____＋(____)2 ＝(_______)2. 练一练： (体验用完全平方公式因式分解的过程)： a 3 3 a＋3 a 6 6 a－6 m 4 4 m＋4 x 2y 2y x－2y 7 归纳总结 用完全平方公式法因式分解的关键是： 判断一个多项式是不是一个完全平方式．左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和(或差)的平方，从而达到因式分解的目的． 应用举例 例1 把下列完全平方式因式分解： (1)x2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 【方法指导】在(1)中49＝72，14x＝2·x·7，所以x2＋14x＋49是一个完全平方式，即： x2＋14x＋49＝x2＋2×x×7＋ 72 ＝(x ＋ 7)2. 头2＋2 ·头·尾＋尾2＝(头＋尾)2 9 在(2)中多项式中的两个平方项分别是(m＋n)2和32，另一项6(m＋n)＝2·(m＋n)·3，符合完全平方式的形式，这里“m＋n”相当于完全平方式中的a，“3”相当于完全平方式中的b，如果将(m＋n)看作一个整体，即： (m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2×(m＋n)×3＋32＝[(m＋n)－3]2 头2 － 2 · 头 · 尾 ＋ 尾2 ＝ (头 － 尾)2 从以上两题可以发现先把多项式化成符合完全平方式a2±2ab＋b2的形式，然后再根据公式因式分解，并且公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式． 解：(1)原式＝(x＋7)2. (2)原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2. 【例2】将下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy. 【方法指导】在(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中如果把多项式的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式法因式分解． 解：(1)　3ax2＋6axy＋3ay2 ＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2. (2)　－x2－4y2＋4xy ＝－(x2－4xy＋4y2) ＝－(x－2y)2. 跟踪训练 1 因式分解3a2b－6ab＋3b的结果是 ( ) A．3b(a2－2a) B．b(3a2－6a＋1) C．3(a2b－2ab) D．3b(a－1)2 2 分解因式：3x3y－6x2y2＋3xy3＝___________． D 3xy(x－y)2 3 分解因式： (1)9－6(x－y)＋(x－y)2＝__________； (2)(x2＋y2)2－4x2y2＝_______________． 4 计算： (1)342＋34×32＋162＝_________＝______； (2)38.92－77.8×48.9＋48.92＝_____________＝____． (x－y－3)2 (x＋y)2(x－y)2 (34＋16)2 2500 (38.9－48.9)2 100 5 已知a＋b＝5，ab＝10，则代数式a3b＋a2b2＋ab3的值为____． 6 已知a＝7－3b，则式子a2＋6ab＋9b2＝____． 125 49 随堂练习 1．若a＋b＝2，则a2＋2ab＋b2的值是 ( ) A．8 B．16 C．2 D．4 2．如果x2＋6x＋k是一个完全平方式，那么k的值是___． D 9 课堂小结 完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 课本P122习题4.3中的T2、T3. 课后作业 19 $