2.3 一元一次不等式与一次函数第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用——选择方案课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式与一次函数的应用（选择方案），通过复习一次函数比较大小和商品打折实例导入，衔接一次函数图像与性质旧知，搭建从数学模型到实际决策问题的学习支架。 其亮点是以通信费用、旅游方案等现实问题为载体，引导学生建立函数表达式、解不等式、分析图像，培养抽象能力、推理意识和模型观念。课堂小结梳理“实际问题—函数表达式—不等式—解决问题”流程，帮助学生形成决策思维路径，提升用数学解决实际问题的能力，也为教师提供结构化教学资源。

北师版-数学-八年级下册 第二章 不等式与不等式组 3 一元一次不等式与一次函数 第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用—选择方案 1 导入新课 1．若y1＝－2x－2，y2＝3x＋3，试确定当x取何值时，y1<y2.你是怎样做的？ 解：直线y1＝－2x－2过点(0，－2)，(－1，0)； 观察图象得当x>－1时，y1<y2. 直线y2＝3x＋3过点(0，3)，(－1，0)， 画图象如图 O 1 2 3 -2 -1 x 2 3 1 4 -3 -2 y -1 y1＝－2x－2 y2＝3x＋3 2．某商品原价200元，现打七五折，现价是______元． 3．某商品原价60元，现优惠25%，现价是____元． 150 45 探究新知 探究1 【通信费用问题】 某学校为打造“书香校园”，准备购买一批图书，预算金额不超过2000元。甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，所购图书的总价可打八折。乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书的总价可打七折。你认为学校选哪个书店购书更合算？ 解：设图书原价为x元，购书总花费为y元。 甲书店：y甲=0.8x+20 乙书店：y乙=0.7x+200 O x y 500 1000 1500 2000 2000 1500 1000 500 (1800,1460) y甲=0.8x+20 y乙=0.7x+200 由图象可得， 当图书原价 x 为1800元时，两家书店总花费 y 都是1460元。 当y=2000时，x甲＜x乙，即相同预算下乙书店能买到更贵的图书。 因此学校选乙书店购书更合算。 x甲 x乙 当 0＜x＜1800 时，y甲＜y乙； 当 x＞1800 时，y甲＞y乙。 应用举例 例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计最少有10人，最多不超过25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元。根据题意，得 y1 = 200×0.75x，即y1 = 150x； y2 = 200×0.8(x-1) ，即y2 = 160x-160。 由y1 = y2，得150x = 160x - 160，解得x = 16； 由y1 > y2，得150x > 160x - 160，解得x < 16； 由y1 < y2，得150x < 160x - 160，解得x > 16。 因为参加旅游的人数最少有10人，最多不超过25人，所以，当x = 16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17 ≤ x ≤ 25时，选择甲旅行社费用较少；当10 ≤ x ≤ 15时，选择乙旅行社费用较少。 例2 某通信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费10元，每通话1 min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1 min收费0.4元．你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？ 提出问题：(1)什么情况下两种业务收费相同？ (2)甲、乙两种业务收费的多少与什么有关？这一要素能确定吗？ 解：设顾客每月通话时长为x min，那么甲种业务每个月的消费额为y1元，乙种业务每个月的消费额为y2元． 根据题意可知y1＝10＋0.3x，y2＝0.4x. 由y1＝y2，得10＋0.3x＝0.4x，解得x＝100； 由y1＞y2，得10＋0.3x＞0.4x，解得x＜100； 由y1＜y2，得10＋0.3x＜0.4x，解得x＞100. 所以当顾客每个月的通话时长等于100 min时，选择甲、乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 min，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于100 min，选择乙种业务比较合算． 探究2 【设计费用问题】 我们学校夏季招生的宣传工作马上就要开始了，为了提高我们学校的知名度，学校宣传组要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费8元，另收2 000元设计费；乙公司提出：每份材料收费10元，不收设计费．睿智的决策者很快做出了选择，你想知道他选择的哪家公司吗？ 1．什么情况下两公司的收费相同？ 2．什么情况下选择甲公司比较合算？ 3．什么情况下选择乙公司比较合算？ 解：如果设宣传材料的份数为x份，甲公司的收费为y1元，乙公司的收费为y2元． 根据题意，得y1＝8x＋2 000，y2＝10x. 解法1：由y1＝y2，得8x＋2 000＝10x，解得x＝1 000； 由y1<y2，得8x＋2 000<10x，解得x>1 000； 由y1>y2，得8x＋2 000>10x，解得x<1 000. 所以当宣传材料是1 000份时，两公司收费相同；当宣传材料多于1 000份时，选择甲公司比较合算；当宣传材料少于1 000份时，选择乙公司比较合算． 解法2：根据题意画出图象如图． 观察图象，可得： 当宣传材料是1 000份时，两公司收费相同； 当宣传材料多于1 000份时，选择甲公司比较合算； 当宣传材料少于1 000份时，选择乙公司比较合算． O x y 200 600 1000 2000 6000 10000 y1＝8x＋2 000 y2＝10x 应用举例 例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元． 经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠； 乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠． 该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 【方法指导】假设参加旅游的人数是x，分别用函数表示出甲、乙两家旅行社的费用，然后用不等式比较出结果． 解：设该单位参加这次旅游的人数是x，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则 y1＝200×0.75x＝150x， y2＝200×0.8(x－1)＝160x－160. 由y1＝y2，得150x＝160x－160，解得x＝16； 由y1＞y2，得150x＞160x－160，解得x＜16； 由y1＜y2，得150x＜160x－160，解得x＞16. ∵参加旅游的人数为10至25人，∴当x＝16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少． 例2 某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其 收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案：甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾 馆？ 【方法指导】设去外地学习的教师总人数是x.当x≤35时，选择两家宾馆是一样的；当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜；当x＞45时，两个宾馆的收费分别可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可． 解：设去外地学习的教师总人数是x. 当x≤35时，选择两家宾馆是一样的； 当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜； 当x＞45时，甲宾馆的收费是y甲＝35×120＋0.9×120(x－35)＝108x＋420； 乙宾馆的收费是y乙＝45×120＋0.8×120(x－45)＝96x＋1 080. 当y甲＝y乙时，即108x＋420＝96x＋1 080，解得x＝55； 当y甲＞y乙时，即108x＋420＞96x＋1 080，解得x＞55； 当y甲＜y乙时，即108x＋420＜96x＋1 080，解得x＜55. 综上所述，当x≤35或x＝55时，选择两家宾馆是一样的；当35＜x＜55时，选择甲宾馆比较便宜；当x＞55时，选择乙宾馆比较便宜． 跟踪训练 1. 为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行。已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支 付方式，如图表示了两种方式应支付金额 y（元）与骑行时间 x （h）之间的函数关系： （1）求手机支付金额 y（元）与骑行时间 x（h）之间的关系式； （2）李老师经常骑共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算。 O x/h y/元 会员卡支付 手机支付 0.5 1 0.75 0.5 解：(1)设手机支付金额 y1(元)与骑行时间 x(h)之间的关系式为y1=ax+b。 将(0.5，0)和(1，0.5)代入，解得 a=1，b=-0.5。 所以手机支付金额 y1(元)与骑行时间 x(h)之间的关系式为y1=x-0.5。 O x/h y/元 会员卡支付 手机支付 0.5 1 0.75 0.5 O x/h y/元 会员卡支付 手机支付 0.5 1 0.75 0.5 (2)设会员卡支付金额y2(元)与骑行时间x(h)之间的关系式为y2=mx。 当骑行时间不足2h时，选择手机支付比较合算。 将(1，0.75)代入，得m=0.75。 所以y2=0.75x。 令y1=y2，得x-0.5=0.75x，解得x=2。 根据图象可知，当骑行时间超过2h时，选择会员卡支付比较合算； 当骑行时间等于2h时，两种支付方式一样合算； 2. 活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案如下： 甲：采购费用一律八折； 乙：采购费用不超过400元时，不打折，超过400元时，超过部分打七折。 （1）分别求甲、乙两家公司优惠后的采购费用 y(单位：元)与优惠前的采购费用 x(单位：元)之间的函数关系式； （2）如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱。 解：(1)y甲=0.8x，y乙= x (0≤x≤400)， 0.7x+120 (x＞400)。 (2)①若 x ≤400，则易得y甲<y乙。 ②若x>400，当y甲=y乙时，0.8x=0.7x+120，解得x=1200； 当y甲<y乙时，0.8x<0.7x+120，解得x<1200； 当y甲>y乙时，0.8x>0.7x+120，解得x>1200。 所以，若此次采购优惠前的费用小于1200元，则选择甲公司更省 钱；若此次采购优惠前的费用大于1200元，则选择乙公司更省钱；若此次采购优惠前的费用等于1200元，则两家公司的收费相同。 随堂练习 1．一次函数y＝kx＋b的图象如图，当y<0时，x的取值范围是_______；当y≥3时，x的取值范围是______． x＞2 x≤0 2．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国营出租车公司的月费用为y2元，y1，y2与x之间的函数关系图象(两条射线)如图所示，观察图象回答下列问题： (1)每月行驶的路程在什么范围内，租个体车主的车合算？ (2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ (3)如果这个单位估计每月行驶的路程为1200 km，那么这个单位租哪家车合算？ 解：(1)x＞1 500. (2)x＝1 500. (3)租国营出租车公司合算． 3.某公司40名员工到一景点集体参观，景点门票价格为30元/人。该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠。请你帮助他们选择购票方案。 解：设该公司参观者中有女士 x 人，选择购买女士打五折票时，所需费用为 y1 元，选择购买团体票时，所需的费用为 y2 元，则 y1 = 30×0.5x +30×(40-x)= -15x +1200； y2 = 30×40×0.8= 960。 当y1 = y2时，-15x +1200= 960，解得x = 16； 当y1 > y2时，-15x +1200 > 960，解得x < 16； 当y1 < y2时，-15x +1200 < 960，解得x > 16。 所以当女士不足16(0 ≤ x <16)人时，选择购买团体票合算； 当女士恰好是16(x = 16)人时，选择两种方案所需费用相同； 当女士多于16(16 < x ≤ 40)人时，选择购买女士打五折票合算。 课堂小结 一元一次不等式与一次函数在决策型问题中的应用： 实际问题 写出两个函数表达式 画出图像 分析图像 不等式 解不等式 解决问题 课本P70习题2.3中的T3、T4、T5. 课后作业 29 $