精品解析：安徽省多校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 则. 故选：B 2. 若命题，，则（ ） A. 为假命题 B. 为存在量词命题 C. 的否定：， D. 的否定：， 【答案】D 【解析】 【分析】结合完全平方公式判断命题为真命题，故A错误；由全称量词命题定义知为全称量词命题，故B错误；根据命题否定的定义判断出C错误，D正确. 【详解】因为，所以为真命题，A错误. 为全称量词命题，B错误. 的否定：，，C错误，D正确. 故选：D. 3. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质即可解出答案. 【详解】根据题意可得，所以. 故选：A. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. 20 D. 400 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题设条件分析得出，，再利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由，可知，则，故,则可得， 所以，即得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为20. 故选：C. 5. 如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义，结合物理常识，逐一检验，可得答案. 【详解】对于A选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的充分不必要条件，A错误； 对于B选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L亮，即， 所以是的必要不充分条件，C正确； 对于D选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L一定亮，即， 所以是的充分必要条件，D错误； 故选:C. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得为偶函数，由题意得，画出函数与在上的大致图象，数形结合可得结论. 【详解】易得的定义域为， 且，所以为偶函数. 当时，.令，可得. 画出函数与在上的大致图象，如图所示， 易得与在上的图象的交点个数为1， 所以在上的零点个数为1. 又因为为偶函数，，所以的零点个数为2. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得，，进而利用作差法结合放缩法可得. 【详解】，，得. 因为 ，所以，即. 故选：A. 8. 定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出的图象以及的大致图象，根据图象即可求解. 【详解】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示， 易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数.若，则（ ） A. B. C. 的图象恒过点 D. 的图象不过第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数可判断A，根据函数的单调性即可求解B，由幂函数的性质即可求解CD. 【详解】根据题意可得，解得，故，A正确. 因为，则，所以在上单调递增，因为，， 且，故，所以，B错误. ，因为，故,故其图象恒过点，C正确， 当时，，此时定义域为，故图像不经过第二象限， 当时，，当时，，故图像不经过第二象限， 当时， 当时，，故图像不经过第二象限，故D正确. 故选：ACD 10. 已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知定义域为的函数满足，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数为奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据抽象函数满足的等式性质，以及换元法，证明选项A的正误；根据函数中心对称的性质，证明选项B的正误；根据奇函数的定义，通过定义法证明函数为奇函数，判断选项C的正误；根据函数满足的等式性质，求出前面几个函数值的和，再判断选项D的正误； 【详解】对于选项A，，以代替， 得，A正确. 对于选项B，因为，所以， 所以的图象关于点对称，B正确. 对于选项C，将代入，得， 所以， 即，所以为奇函数，C正确. 对于选项D，由，可得， 则， 所以，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据根号下大于等于0，分母不为0，以及真数大于0列出不等式组，求解即得. 【详解】函数有意义等价于， 解得，即的定义域为. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 14. 十干是中国传统历法术语，包含甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个天干符号.十二地支，又称十二支，分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.作为中国农历数字系统的重要组成部分，十干与十二地支组合形成干支纪元法，被广泛应用于历法推算、时间记录及传统文化领域.现有关于十干的转译函数其中甲，乙，，癸；关于十二地支的转译函数其中子，丑，，亥.若甲戌转译后为己辰（代入后以函数值所对应的十干和十二地支为新的结果），则辛丑转译前为______. 【答案】丙未 【解析】 【分析】依题意得辛，丑，分别代入分段函数求解即可. 【详解】依题意得辛，丑， 当时，，解得，易得丙. 当时，，解得，易得未. 故辛丑转译前为丙未. 故答案为：丙未. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，，试用，表示. 【答案】（1）28；（2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则和指数运算法则得到答案； （2）利用指对互化和对数运算法则得到答案. 【详解】（1）原式 . （2）由题意得，， 则 . 16. 某智能多媒体企业的年利润（单位：万元）与年研发成本（单位：万元）的函数关系式为.当年研发成本为128万元时，该企业的年利润为320万元. （1）求的值； （2）若该企业下一年的年利润不少于480万元，试问下一年的年研发成本至少应为多少万元？ 【答案】（1） （2）256万元. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给数据，代入计算即可； （2）由（1）写出函数方程，根据题干所给，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 该企业下一年的年利润不少于480万元，即，可得， 则，解得， 所以下一年的年研发成本至少应为256万元. 17. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求的值域； （3）设集合，请用列举法表示. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过换元法或配凑法求解函数解析式； （2）再根据解析式分析值域； （3）最后根据条件确定集合元素. 【小问1详解】 （方法一）因为，所以， 令，，则，则， 即. （方法二）因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 易得的定义域为，且，所以是奇函数. 当时，. 当时，. 故的值域为. 【小问3详解】 令，则，，解得. 当或时，均为无理数，不符合题意； 当时，方程，即，解得或（舍去）； 当时，方程，即，解得或； 当时，方程，即，解得. 故. 18. 已知函数，. （1）求的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）设函数，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明:由（1）得. 任取，则 ， 因为，所以，，，， 所以，，， 所以，即， 故在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由求解 即可； （2）由（1）得，利用单调性定义证明； （3）由恒成立与能成立将问题转化为两个函数最值的不等关系，讨论取值情况求解. 【小问1详解】 根据题意可得， 所以. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 记在上的最小值为，在上的最小值为， 所以对于任意，存在，使得不等式成立， 即在区间上的最小值不小于在区间上的最小值， 即. 由（2）知在上单调递增，所以. 令，则，，得. 当时，在上单调递增，所以， 所以，解得， 因为，所以. 当时，在上单调递减，所以， 所以，解得， 因为，所以不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 而，所以不符合题意. 综上，的取值范围为. 19. 设，是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，，当时，，则称为到的双界函数. （1）设，，. （i）证明：当时，是到的双界函数. （ii）若是到的双界函数，求的取值范围. （2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合，其中，.若，是到的双界函数，证明：是到的双界函数. 【答案】（1） （i）证明：当，即时，则，即， 又因为，所以，所以当时，是到的双界函数. （ii）； （2）3040； （3） 证明：根据题意得，当时，. 令，，则①， 令，，则②， ①②可得，，即. 令，，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 则， 所以，所以是到的双界函数. 【解析】 【分析】（1）（i）根据双界函数的定义进行验证即可；（ii）根据双界函数的定义，使得当时，恒成立，即可得解； （2）由题可得，故研究上的函数图象，即可利用函数图象平移的知识画出在上的大致图象，并通过数形结合总结规律，最终确定在上的最小值为，运用递推公式即可求出； （3）先通过 “区间拆分” 验证双界的递推关系，再通过 “范围叠加” 锁定唯一等式，最后推广到任意的递推式即可. 【小问1详解】 （1）（i）略 （ii）解：若是到的双界函数，则当，即时，恒成立， 即，即恒成立， 因为，故，， 由恒成立，可得；由恒成立，可得， 故，即的取值范围为. 【小问2详解】 依题意得，当时，， 所以，所以. 易知函数在上单调递增，可画出其在上的大致函数图象， 由可知，函数在的图象，即把在上的图象先向右平移个单位，再往上平移个单位， 当趋于且时，函数值趋于，注意到，结合此画出函数在以及时的大致图象. 结合图象，易总结得在上单调递增，在该区间上的， 则当时，；当时，，， 又因为， 故在上的最小值为， ， 由，得，即在上的最小值为3040. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则（ ） A. 为假命题 B. 为存在量词命题 C. 的否定：， D. 的否定：， 3. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. 20 D. 400 5. 如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数.若，则（ ） A. B. C. 的图象恒过点 D. 的图象不过第二象限 10. 已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（ ） A. 或 B. C. D. 11. 已知定义域为的函数满足，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数为奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 14. 十干是中国传统历法术语，包含甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个天干符号.十二地支，又称十二支，分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.作为中国农历数字系统的重要组成部分，十干与十二地支组合形成干支纪元法，被广泛应用于历法推算、时间记录及传统文化领域.现有关于十干的转译函数其中甲，乙，，癸；关于十二地支的转译函数其中子，丑，，亥.若甲戌转译后为己辰（代入后以函数值所对应的十干和十二地支为新的结果），则辛丑转译前为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，，试用，表示. 16. 某智能多媒体企业的年利润（单位：万元）与年研发成本（单位：万元）的函数关系式为.当年研发成本为128万元时，该企业的年利润为320万元. （1）求的值； （2）若该企业下一年的年利润不少于480万元，试问下一年的年研发成本至少应为多少万元？ 17. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求的值域； （3）设集合，请用列举法表示. 18. 已知函数，. （1）求的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）设函数，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 设，是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，，当时，，则称为到的双界函数. （1）设，，. （i）证明：当时，是到的双界函数. （ii）若是到的双界函数，求的取值范围. （2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合，其中，.若，是到的双界函数，证明：是到的双界函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $