安徽省皖东南四校2025-2026学年上学期九年级尖子生对抗赛数学试卷

2025-2026学年度第一学期皖东南四校九年级尖子生对抗赛 数学试卷 一、选择题（每题4分，共10题） 1、下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的是() A.y=2x+2 B.y=-x2 C.y=-x2+2 D.y=2x2+2 2、若抛物线y=(x-m)(x-m-3)经过四个象限，则m的取值范围是() A.m<-3 B.-1<m<2 C.-3<m<0 D.-2<m<1 3、如图，点B,点C在反比例函数=k>0,x>0)的图象上，点A在x轴上，连结AB交y轴于点 E,延长BC交x轴于点D.己知BC=CD,AE=BE.若△ABC面积为3，则k的值为() B.2 5 A.1 C. D.3 VA A D 第(3)题 第(4)题 第(5)题 4、如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,过点O的直线与AB,CD分别相交于点E,F,若AB=2, CD=4,则下列关系正确的是( A告 B.co- c器 D.1 BC2 5、在矩形AOBC中，点A的坐标是(-2,1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为() A.(3,3)、(-号，4) B.(3,3)、(-34) C.日，3、(-子，4) D.(,3、(-4) 6、己知s,t是实数，点（s,)在函数y=-2x2+6x的图象上，设w=P+s2+2s,则w的最大值为 () A.15 B.16 C.17 D.18 7、如图，在Rt△ABC中，延长斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD.若1anA仁，则tan∠BCD的 值为( A号 c D. 8、若直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有( A.ab=h2 B.1+=2 ab方 C.+京 D.a2+b2=2h2 九年级数学第1页共4页 蠡田全任 。2-22 9、如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别 落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为() A.6 B.5 C.2v7 D.V34 H M B D 第(7)题 第(9)题 第(10)题 10、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=10,CD=6,P为BC边上一点（不与点B,C重 合)，连接BD,PD,AP,且BD⊥CD,PD⊥AD,M为AP的中点，连接DM,CM.则下列结论错误 的是() A.若PC=3,则AB=4 B.若PC=7.2,则四边形ABCD的周长为33.6 C.△ABP的面积最大为25 D.△MDC的面积恒为12 二、填空题（每题5分，共30分） 11.已知y=√x-4)2-x+5,则当x分别取1,2,3，…，2025时，所对应y值的总和是 12.己知不等式ax2-5x+b>0的解集为-3<x<2,则不等式bx2-5x+a<0的解集是 13.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 14.如图，平面直角坐标系xOy中有一菱形OABC,满足∠A0C=60°.一反比例函数=(k0)经过 点C且交线段AB于点P,那么 AB 第(14)题 第(15)题 第(16)题 15.己知△ABC,D是边BC上一动点，E是AD的中点，连接BE、CE,分别交△ABD、△ACD的中 线DF、DG于点从N,连接N,那么瓷的值为 16.如图，矩形ABCD中，AB=1,AD=2,E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交BC于F. (1)当AE=1时，EF的长为 (2)EF长的最小值为 九年级数学第2页共4页 器田全任 0-2…-。。-2 三、计算题（本大题共2小题，每题6分，共12分) 17、cos245°-tan60tan30°+sin60°-1-(-tan45)202s 18、如果b==a+=k,求k的值 c b a 四、解答题 19.(10分)如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.点A、B、C、D都 是格点，点P是线段AB上一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用线表示 (1)在图1中，画出△ABC的中线AM和高BW; (2)在图2中，在线段AD上取一点Q,使得AQ=AP. 图1 图2 20.(10分)2025年5月7日，巴印出动共计125架战机进行空战，巴基斯坦军队使用中国制造的 歼-10C战斗机向印度战斗机发射远程空对空导弹，击落五架战斗机，其中有三架是法国造的阵风战 斗机.中国空军用实打实的战机，给予了人民前所未有的强大自信.小西想在一个矩形材料中剪出如 图所示的阴影图形，作为要制作的歼10航模飞机的一个翅膀，请你根据图中数据帮他计算出BE,CD 的长度.（结果保留整数，参考数据：V3≈1.732，tan42°=0.900，sin42°=0.669，cos42°=0.743） 68cm 120° 138D -102cm- 21.(10分)如右图，已知在菱形ABCD,点E是AB的中点，AF⊥BC于点F,连接EF、ED、DF, DE交AF于点G,且DE⊥EF. (1)求证：AE2=EGED: (2)求证：BC2=2DF·BF. 九年级数学第3页共4页 器田全 0-……22-2- 22.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=axr2-2ax-3a（a0)的顶点为P,且抛物线与x轴交 于A、B两点（点A在点B的左侧）.我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含 边界)，横、纵坐标都是整数的点称为整点 (1)求抛物线y=ax2-2ar-3a的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）： (2)若抛物线y=ax2-2ax-3a经过点(1,3). ①求抛物线的表达式： ②在①的条件下，求出U区域”内整点的坐标 (3)若抛物线y=ax2-2ax-3a在U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围， 23.(12分)【基础巩固】(1)如图(1)，在△ABC中，D,E,F分别为AB,AC,BC上的点，DE∥BC, AF交DE于点G.若BF=CF,求证：DG=EG. 【尝试应用】(2)如图(2)，在(1)的条件下，在等边△ABC巾，D,F,F分别为AB,AC,BC 上的点，DE∥BC,F分别交DE,CD于G,H两点.若CH=DM,∠AID=60,求=的值， 【拓展提高】(3)如图(3)，在□ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O,E为AO上一点， EG∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F,若∠EGF=40°，FG平分∠EFC,FG=10,直接 写出BF的长. D Q (1) (2) (3) 24.(14分)在平面直角坐标系中，二次函数y=a2+bx-2的图象过点A(1,t),B(2,t). )求的值： (2)已知二次函数y=ax2+bx-2的最大值为1-2. ()求该二次函数的表达式； (i)若M(x,m),N(,m)为该二次函数图象上的不同两点，且m0,求证：-Y=-2 mx1-2 九年级数学第4页共4页 影田全 。--。2-。2。一2025-2026学年第一学期皖东南四校九年级尖子生数 学对抗赛数学试卷答题卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D c D B A B D c 二。填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11.2037 ；12. $$- \frac { 1 } { 3 } < x < \frac { 1 } { 2 }$$ 13.b<1且 b≠0 $$\sqrt 2 - 1$$ 14. .15 1/3 ： 16.(1)1/2 (2)五分 之根号五 三.解答题(共2小题，每题6分，共12分) $$1 7 、 \cos ^ { 2 } 4 5 ^ { \circ } - \tan 6 0 ^ { \circ } \tan 3 0 ^ { \circ } + | \sin 6 0 ^ { \circ } - 1 | - \left( - \tan 4 5 ^ { \circ } \right) ^ { 2 0 2 }$$ 线 $$= \frac { 1 } { 2 } - 1 + \left( 1 - \frac { \sqrt 3 } { 2 } \right) - \left( - 1 \right)$$ 内 $$= \frac { 1 } { 2 } - 1 + 1 - \frac { \sqrt 3 } { 2 } + 1$$ $$= \frac { 3 - \sqrt 3 } { 2 }$$ 不 18、如果 $$\frac { a + b - c } { c } = \frac { a - b + c } { b } = \frac { - a + b + c } { a } = k$$ 求k的值 要 解：由题意可得： a+b-c=kc，a-b+c=kb，-a+b+c=ka， ∴(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)=kc+kb+ka， 即 a+b+c=k(a+b+c)， 当 a+b+c≠0 时， $$k = \frac { a + b + c } { a + b + c } = 1$$ 当 a+b+c=0 时， a+b=-c， $$k = \frac { a + b - c } { c } = \frac { - c - c } { c } = - 2$$ 四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 19、解：(1)连接BH,CG, A D G 'CH∥BG,CH=BG, ∴.四边形BHCG是平行四边形， 设BC,HG交点为M,根据平行四边形的性质，得这个交点是对角线的中点，连接AM, 则AM即为所求； 如图，易证△BET≌△AFC(SAS), T 得∠T=∠ACF, 根据题意，∠T+∠IK=90°， 故∠ACF+∠CIB=90°， 故∠BNC=90°， 故BN为所求； (2)根据题意，得 AB=AD=2V5 取BD的中点R,连接AR,DP,交于点O,则直线AR是线段BD的垂直平分线，故OB =OD,连接BO,并延长交AD于点O, B 根据题意，∠QOD=∠POB,OP=OQ, 得△QOD≌△POB(S4S), 故QD=PB, 于是AD-QD=AB-PB, 即AQ=AP, 则点Q即为所求. 20.解：：∠E=∠F=90°，AE=CF,AF=CE=102C, .∠CBE=180°-∠ABC=60°， 68cm taLc8E=tan60°-号-V3 120° B BE=102=34V3≈59cm 3 138D 102cm ..CF=AE=AB+BE=127cm, ,∠ADC=138°， .∠ADF=180 -∠ADC=42°， AF tanLADF= 102 DF=0.900N113cm ∴.CD=CF-DF=127-113=14cm. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 21.证明：(1)，AF⊥BC于点F, ∴.∠AFB=90°， ,点E是AB的中点， ..AE=FE, ∴.∠EAF=∠AFE, 四边形ABCD是菱形， AD∥BC, ∴.∠DAG=∠AFB=90°， DE⊥EF, ∴.∠FEG=90°， ∴.∠DAG=∠FEG, ,∠AGD=∠FGE, .∴.∠EFG=∠ADG ∴∠EAG=∠ADG, ,∠AEG=∠DEA, .△AEG∽△DEA, AE EG .DE AE ∴AE2=EGED;---5分 (2).AE=EF,AE2=EGED, .FE2=EGED, EF EG De丽， ,∠FEG=∠DEF, ∴.△FEG∽△DEF, .∠EFG=∠EDF, ∠BAF=∠EDF, ,∠DEF=∠AFB=90°， .△ABF∽△DFE, AB BF DE EF ,四边形ACBD是菱形， ..AB=BC, ,∠AFB=90°， ,点E是AB的中点， 1 ∴.FE BC. BC BF ..BC2=2DF-BF. ---10分 22.解：(1).抛物线y=r2-2ax-3a(a≠0)的顶点为P,且y=2-2r-3a=a(x -1)2-4a, .P(1,-4a); -2分 (2)①抛物线y=ar2-2-3a经过(1,3)，代入得： 3=a-2a-3a, a=-是 解得： y= ∴.抛物线的表达式为 2++ -4分 3 9 y=一 ②抛物线 交于4B两有点4在点8的左 2+2x+-0 3 当y=0时，得： 解得：x1=-1,2=3, ∴点A(-1,0),点B(3,0). y=-+106-3)=星 3 当x=0时，得： .(0,1),(0,2)两个整点在“U区域”： y=-2e+10c-3)=3 当x=1时，得： .(1,1),(1,2)两个整点在“U区域”： y=-c+100x-3)=是 当x=2时， ∴.(2,1)，(2,2)两个整点在“U区域”；--8分 号≤a<- 1 2 (3)a的取值范围为 或 3.理由如下： 当x=0时，得：y=-3a, ∴.抛物线与y轴的交点坐标为(0，-3a). 当a<0时，如图1， y 5 4 3 2/ A -5-4-3-2-1012345x 一1 -2 人 -3 -4 -5 图1 ∫2<-4a≤3 此时 {-3a≤2， 解得 号sa<-克 当a>0时，如图2， y个 3 B -5 -4-3-2 2 45x -2 -3 -4 -5 图2 ∫-3≤-4a<-2 此时 -3a2-2, <a≤ 2 解得： 2 2 综上所述，如果“U区域”内仅有4个整点时，则a的取值范围为 学 1 2 -12分 23.解：解：(1)，DE∥BC, ∴DE∥BC, ∴.∠ADG=∠ABF,∠AGD=∠AFB, ∴.△ADG∽△ABF, DG AG BF-AF AF EG 同理， BE CF .BF=CF, ..DG=EG; (2),∠AHD=60°，∠ACB=60°， ∴.∠FAC=∠DCB, ,'AC=CB,∠ACF=∠CBD, .△ACF≌△CBD(ASA), ..CF=BD=m, .AB=BC, ..AD=BF=n, ∴.DE∥BC, ∴.∠GDH=∠FCH. ∴.DH=CH,∠DHG=∠CHF, ∴.△DHG≌△CHF(ASA), .DG=CF=m. .GE=DE-DG=n-m, DG EG 由(1)知， BF-CF m n-m n m, .2+n-2=0, m=-1± 2 - 解得， ,值不能为负，舍去负值， FC V5-1 BF 2 (3)延长GE交AB于M,连接MF,过点M作MN⊥BC于N, ,四边形ABCD为平行四边形， .OB=OD,∠ABC=∠ADC=45°， ,MGI∥BD, ..ME=GE, ,EF⊥EG, ∴.FM=FG=10, 在Rt△GEF中，∠EGF=40°， ∴.∠EFG=90°-40°=50°， ,FG平分∠EFC, ∴.∠GFC=∠EFG=50°， ,'FM=FG,EF⊥GM, ∴.∠MFE=∠EFG=50°， ∴.∠MFN=30°， .∴.N MF=5, .∴.NWF VMF2-MN2 =5 V3 .∠ABC=45°， .'.BN=MN=5, ∴.BF=BN4NF=5+5 G M E O 公 C 图3 24、(本题14分) 1)解：二次函数=am+s~2的图象的对称轴为直线，X=一云 ,点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上， 2-(-六)=-六-1 b3 2a= b =-3 a -4分 (2)①解：由(1)可得， ,b=-3a, ∴.该函数的表达式为y=m2-3m-2, ,-a-2) 9 ∴函数图象的顶点坐标为 3 ,函数的最大值为 1-2 -2=1-2 9 .a<0,且 解得a=-1,或a=4(舍去)， .该二次函数的表达式为y=-x2+3x-2, -8分 ②证明：点M(x1,)在函数y=-x2+3x-2的图象上， m=-x2+3x1-2 X二 由①知，点M(x1,m),N(x2,m)关于直线 2对称，不妨设x1<x2, 33 则 ,即x1+x2=3, x1-1)2x2-2_x1-1)2(x1-2)-m0x2-2) m 为-2 m(x1-2) =-1c1-2)0&-1)-m2-2 m(x1-2) =-3x1+2)c1-1)-m2-2 m(x1-2) --mx1-1)-m(3-2) 1m(x1-2) ------------14分 =-m(+x2-3) m(x1-2)