7.5 正态分布（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(十七)

 [基础达标练]

1．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且P(ξ＜6)＝0.8，则P(0＜ξ＜3)＝(　　)

A．0.6　　　　　　　　 B．0.4

C．0.3    D．0.2

解析：选C　∵随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，∴μ＝3.∵P(ξ＜6)＝0.8，∴P(ξ≥6)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0＜ξ＜6)＝1－P(ξ≥6)－P(ξ≤0)＝0.6，∴P(0＜ξ＜3)＝0.3.故选C.

2．已知P(X＜－2.8)＝0.037，则P(|X|＜2.8)＝(　　)

A．0.037    B．0.074

C．0.926    D．0.975

解析：选C　P(|X|＜2.8)＝P(－2.8＜X＜2.8)＝1－2P(X＜－2.8)＝1－2×0.037＝0.926，故选C.

3．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(　　)

A．3     B．4

C．5     D．6

解析：选B　因为随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.

4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，

P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5.

A．2 386     B．2 718

C．3 414    D．4 772

解析：选C　由P(－1<X≤1)＝0.682 7，得P(0<X≤1)＝0.341 35，则阴影部分的面积为0.341 35，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×≈3 414.

5．设随机变量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，则P(2<X<4)＝________．

解析：由X～N(3，1)，得μ＝3，所以P(3<X<4)＝－p，所以P(2<X<4)＝2P(3<X<4)＝1

－2p.

答案：1－2p

6．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有____________人．

解析：设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80，102)，则P(80－10<X≤80＋10)＝0.682 7.所以在80分到90分之间的人数为48 000××0.682 7≈16 385(人).

答案：16 385

7．设X～N(3，42)，试求：

(1)P(－1<X≤7)；(2)P(7<X≤11)；

(3)P(X≥11).

解：∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.

(1)P(－1<X≤7)＝P(3－4<X≤3＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7.

(2)∵P(7<X≤11)＝P(－5<X≤－1)，

∴P(7<X≤11)＝[P(－5<X≤11)－P(－1<X≤7)]

＝[P(3－8<X≤3＋8)－P(3－4<X≤3＋4)]

＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]

＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.

(3)∵P(X≥11)＝P(X≤－5)，

∴P(X≥11)＝[1－P(－5<X≤11)]＝[1－P(3－8<X≤3＋8)]

＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]＝(1－0.954 5)＝0.022 75.

8．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(min)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？

解：还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率为

P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝＋P(μ－2σ<X≤μ＋2σ).

若选第二条路线，即X～N(6，0.16)，能及时到达的概率为

P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝＋P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ).