7.5 正态分布（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(十七) [基础达标练] 1．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且P(ξ＜6)＝0.8，则P(0＜ξ＜3)＝(　　) A．0.6　　　　　　　　 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：选C　∵随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，∴μ＝3.∵P(ξ＜6)＝0.8，∴P(ξ≥6)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0＜ξ＜6)＝1－P(ξ≥6)－P(ξ≤0)＝0.6，∴P(0＜ξ＜3)＝0.3.故选C. 2．已知P(X＜－2.8)＝0.037，则P(|X|＜2.8)＝(　　) A．0.037 B．0.074 C．0.926 D．0.975 解析：选C　P(|X|＜2.8)＝P(－2.8＜X＜2.8)＝1－2P(X＜－2.8)＝1－2×0.037＝0.926，故选C. 3．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B　因为随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4. 4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5. A．2 386 B．2 718 C．3 414 D．4 772 解析：选C　由P(－1<X≤1)＝0.682 7，得P(0<X≤1)＝0.341 35，则阴影部分的面积为0.341 35，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×≈3 414. 5．设随机变量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，则P(2<X<4)＝________． 解析：由X～N(3，1)，得μ＝3，所以P(3<X<4)＝－p，所以P(2<X<4)＝2P(3<X<4)＝1－2p. 答案：1－2p 6．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有____________人． 解析：设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80，102)，则P(80－10<X≤80＋10)＝0.682 7.所以在80分到90分之间的人数为48 000××0.682 7≈16 385(人). 答案：16 385 7．设X～N(3，42)，试求： (1)P(－1<X≤7)；(2)P(7<X≤11)； (3)P(X≥11). 解：∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4. (1)P(－1<X≤7)＝P(3－4<X≤3＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7. (2)∵P(7<X≤11)＝P(－5<X≤－1)， ∴P(7<X≤11)＝[P(－5<X≤11)－P(－1<X≤7)] ＝[P(3－8<X≤3＋8)－P(3－4<X≤3＋4)] ＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. (3)∵P(X≥11)＝P(X≤－5)， ∴P(X≥11)＝[1－P(－5<X≤11)]＝[1－P(3－8<X≤3＋8)] ＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]＝(1－0.954 5)＝0.022 75. 8．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(min)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 解：还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率为 P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝＋P(μ－2σ<X≤μ＋2σ). 若选第二条路线，即X～N(6，0.16)，能及时到达的概率为 P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝＋P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ). 因为P1<P2，所以应选第二条路线． 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线． [能力提升练] 9．(多选)某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为(　　) A.上午生产情况正常 B．下午生产情况异常 C．下午生产情况正常 D．上午生产情况异常 解析：选AB　因测量值X为随机变量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2， 记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4，10.6)，则9.9∈I，9.3∉I. 10．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C　函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点，则4－4ξ＜0，即ξ＞1.因为ξ～N(1，σ2)，所以μ＝1，P(ξ＞1)＝. 11．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2，3]内的概率为________． 解析：由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以正态密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值．根据正态密度曲线的特点可知1为f(x)的极大值点．由X～N(1，1)知P(2＜X≤3)＝[P(－1＜X≤3)－P(0＜X≤2)]＝[P(1－2×1＜X≤1＋2×1)－P(1－1＜X≤1＋1)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. 答案：1　0.135 9 12．某班有50名学生，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(105，102)，已知P(95≤X≤105)＝0.32，试估计该班学生数学成绩在115分以上(含115分)的人数为________． 解析：∵考试的成绩X服从正态分布N(105，102)， ∴正态曲线关于直线x＝105对称， ∵P(95≤X≤105)＝0.32， ∴P(X≥115)＝×(1－0.64)＝0.18， ∴该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9. 答案：9 13．从某企业生产的某种产品中抽取到500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图： (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)； ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8，212.2]的产品数，利用①的结果，求E(X). 附：≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7， 则P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8≤Z≤212.2)＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)≈0.682 7. ②由①知，一件产品的质量指标值位于区间[187.8，212.2]的概率为0.682 7，依题意知X～B(100，0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27. [素养拓展练] 14．在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表： 组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 5 18 28 26 17 6 (1)求抽取的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)已知这次考试共有2 000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2 000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：≈12.7，若z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<z<μ＋2σ)＝0.954 5) (3)已知样本中成绩在区间[90，100]内的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为X，求X的分布列与数学期望E(X). 解：(1)样本平均数和样本方差s2分别为 ＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70， s2＝(－25)2×0.05＋(－15)2×0.18＋(－5)2×0.28＋52×0.26＋152×0.17＋252×0.06＝161. (2)由(1)知，z～N(70，161)， 从而P(z>82.7)＝＝0.158 65， 所以能进入复试的人数为2 000×0.158 65≈317(人). (3)显然X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝×1＋×2＋×3＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $