7.4.2 超几何分布（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(十六) [基础达标练] 1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：选B　由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝. 2．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做试验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B　X服从超几何分布，P(X＝2)＝. 3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为(　　) A． B． C．1－ D．1－ 解析：选D　从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－. 4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 解析：选B　本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球，故选B. 5．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示) 解析：二级品不多于1台，即一级品有3台或4台． 答案： 6．盒子中共有8件产品，其中有2件次品，现从中随机选取3件产品，记次品的件数为X，则X的均值为________． 解析：因为X服从超几何分布，所以E(X)＝＝. 答案： 7．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下表： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列． 解：设Ai(i＝0，1，2，3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0，1)表示摸到j个蓝球． (1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝. (2)X的所有可能值为0，10，50，200，且： P(X＝200)＝·＝，P(X＝50)＝·＝， P(X＝10)＝·＝＝，P(X＝0)＝1－－－＝. 综上可知，X的分布列为 X 0 10 50 200 P 8.某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研． (1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率； (2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值． 解：(1)共50名学生代表，抽取2名样本点总数为C＝1 225. 记M＝“2名学生代表来自不同年级”，则事件M包含的样本点个数为CC＋CC＋CC＝775. 根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝＝. (2)高一、高二年级分别有10，15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的期望值E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.8. [能力提升练] 9．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 解析：选C　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4). 所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， P(X＝4)＝，故选C. 10．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有(　　) A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 解析：选C　设语文课本有n本，则数学课本有7－n本(n≥2)，则2本都是语文课本的概率为＝，解得n＝4. 11．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝___________________． 解析：P(X＝3)＝＝. 答案： 12．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________． 解析：由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝. 答案： 13．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018. (2)分数在[80，90)，[90，100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)， 所以ξ的可能取值为0，1，2，其服从参数为N＝13，M＝3，n＝2的超几何分布． 则P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P [素养拓展练] 14．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ. (1)求ξ的分布列和期望； (2)求他至多试开3次的概率． 解：(1)ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5， 且P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝. 因此ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5)×＝3. (2)由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $