6.3.1 二项式定理（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(七) [基础达标练] 1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　　) A．9　　　　　　　　 B．10 C．11 D．8 解析：选C　∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11. 2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为(　　) A．－210 B．210 C．－120i D．－210i 解析：选A　由通项得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210. 3．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C＝(　　) A．2n B．2n－1 C．3n D．1 解析：选C　原式＝(2＋1)n＝3n. 4．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　) A．33 B．29 C．23 D．19 解析：选B　∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b， 又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12. ∴a＋b＝29. 5．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案) 解析：x2y7＝x·(xy7)，其系数为C， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C， ∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20. 答案：－20 6．若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于________，此时常数项为________． 解析：二项式的通项为Tk＋1＝C(2x3)n－k＝C2n－kx，令3n－＝0，得k＝n，又k∈N*，∴n为7的整数倍，即最小的正整数n等于7，此时常数项为T7＝C×2＝14. 答案：7　14 7．已知二项式，求： (1)展开式中的第6项； (2)展开式中的第3项的系数； (3)展开式中的含x9项； (4)展开式中的常数项． 解：二项式的通项为Tk＋1＝Cx2(9－k)·＝Cx18－3k. (1)T6＝Cx18－3×5＝－x3. (2)T3＝Cx18－3×2＝9x12，即第3项的系数为9. (3)令18－3k＝9，得k＝3， 即含x9的项为T4＝Cx9＝ －x9. (4)令18－3k＝0，得k＝6， 即常数项为T7＝Cx0＝. 8．已知在的展开式中，第9项为常数项，求： (1)n的值； (2)展开式中x5的系数； (3)含x的整数次幂的项的个数． 解：已知二项展开式的通项Tk＋1＝C·＝(－1)kCx2n－k. (1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10. (2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6， 所以x5的系数为(－1)6C＝. (3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项． [能力提升练] 9．(多选)对于二项式(n∈N*)，以下四种判断正确的是(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 解析：选AD　二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项． 10.(1＋x)4展开式中含x2的项的系数为(　　) A．4 B．6 C．10 D．12 解析：选C　根据乘法公式，得：(1)因式1＋中的1和(1＋x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；(2)因式1＋中的和(1＋x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项． (1＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0，1，…，4)，故·(1＋x)4展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2项的系数为10. 11．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)等于(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：选C　因为f(m，n)＝CC， 所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 12．2 01910除以8的余数为________． 解析：2 01910＝(8×252＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同． 又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因素， ∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1. 答案：1 13．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 解：(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.依题意得＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23，因为n<15，所以n＝14. (2)展开式的通项Tk＋1＝Cx·x＝C·x 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，0≤k≤14， 所以展开式中的有理项共3项是： k＝0，T1＝Cx7＝x7； k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； k＝12，T13＝Cx5＝91x5. [素养拓展练] 14．(1)求多项式的展开式； (2)求(1＋x)2·(1－x)5的展开式中x3的系数． 解：(1)∵x2＋－2＝x2－2＋＝， ∴＝ ＝Cx6＋Cx5·＋Cx4＋Cx3·＋Cx2·＋Cx·＋C·＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. (2)法一：(1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)， ∴x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5. 令k1＋k2＝3， 则有或或 故x3的系数为－C·C＋C·C－C＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $