6.2.3&6.2.4 第2课时 组合与组合数的应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(六)

 [基础达标练]

1．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　)

A．2　　　　　　　 B．3

C．4    D．5

解析：选A　设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C－C＝16.即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人．

2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)

A．30种    B．35种

C．42种    D．48种

解析：选A　法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有CC种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有CC种．故选法共有CC＋CC＝18＋12＝30种．

法二：从7门选修课中选修3门的选法有C种，其中3门课都为A类的选法有C种，都为B类的选法有C种，故选法共有C－C－C＝30种．

3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)

A．140种    B．120种

C．35种    D．34种

解析：选D　从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.

4．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　)

A．30    B．21

C．10    D．15

解析：选D　用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位中选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法．

5．将5名北京冬奥会志愿者分配花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)

A．60种     B．120种

C．240种    D．480种

解析：选C　根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有C×4！＝240种不同的分配方案．

6．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)

解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此，不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.

答案：336

7．(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？

(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？

解：(1)正方体8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体的个数为C－12＝58个．

(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥的个数为12C＝48个．

8．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：

(1)能组成多少个不同的四位数？

(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？

(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示).

解：(1)易知四位数共有CCA＝216个．

(2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108个．

(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108个．

[能力提升练]

9．从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为(　　)

A．24    B．12

C．56    D．28

解析：选B　由分层随机抽样知，应从4名女生中抽取2名，从2名男生中抽取1名，所以按照分步乘法计数原理知，抽取2名女生和1名男生的方法数为CC＝12.

10．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为(　　)