8.3 列联表与独立性检验（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦“成对数据的统计分析”，核心涵盖列联表、等高堆积条形图及独立性检验，通过性别与课外活动方式等实际问题导入，从直观分析到定量检验，构建从具体到抽象的学习支架，衔接统计相关性与独立性检验的知识脉络。 其亮点是结合铅中毒病人尿棕色素检测、学生文理科与外语兴趣等实例，以“问题-探究-总结”模式培养数学抽象、数据分析、数学运算核心素养。学生提升数据处理与逻辑推理能力，教师可依托完整教学流程高效实施教学。

第八章　成对数据的统计分析 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 8.1　成对数据的统计相关性 8.3　列联表与独立性检验 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二十） Part 03 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 不同类别 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 频数表 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 频率 频率稳定于概率 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 课时作业（二十） 点击进入word 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义； 2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用． 1．通过列联表和独立性检验概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．在对分类变量进行独立性检验的过程中，提升数据分析和数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　独立性检验 [问题]　(1)山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表： 性别 活动方式 合计 体育 文娱 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合计 270 520 790 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？ 答：可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断． ►知识填空 1．分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的____________，像这样的变量称为分类变量． 2．列联表 (1)定义：列出的两个分类变量的__________，称为列联表． (2)抽样数据列联表 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d [点睛] 2×2列联表用于研究两类变量之间是否相互独立，它适用于分析两类变量之间的关系，是对两类变量进行独立性检验的基础． 3．等高堆积条形图 等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列表数据的________特征，依据__________________的原理，我们可以推断结果． 4．独立性检验 (1)χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)) . (2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (3)应用独立性检验解决实际问题包括以下几个环节： ①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； ③根据检验规则得出推断结论； ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 5．临界值 忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(χ2≥xα)＝α，我们称xα为α的临界值． [点睛] 独立性检验类似于数学中的反证法，要确认“两个变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，在假设下，我们构造的统计量χ2应用很小，如果由观测数据计算得到的χ2值很大，由在一定程度上说明假设不合理，再根据不合理的程度与临界值的关系作出判断． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)列联表中的数据是两个事件的频数．(　　) (2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.(　　) (3)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．(　　) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是(　　) 解析：选D　由等高堆积条形图易知，D选项两个分类变量关系最强． 3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，由认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过(　　) A.0.1%　　　　　　　　 B．1% C．99% D．99.9% 解析：选B　∵χ2＝7.069＞6.635＝x0.01， ∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%. 4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表： 班别 数学成绩 合计 优秀 及格 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 合计 19 71 90 则随机变量χ2的值约为(　　) A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004 解析：选A　根据列联表中的数据，可得χ2＝ eq \f(90×(11×37－34×8)2,45×45×19×71) ≈0.600.故选A. 题型一　等高堆积条形图及应用 [例1]　为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关联，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下： 组别 尿棕色素 合计 阳性数 阴性数 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 合计 38 35 73 试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关联？ 解：等高条形图如图所示： 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率． 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关联． [反思感悟] 在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例 eq \f(a,a＋b) ，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例 eq \f(c,c＋d) .两个比例的值相差越大，X与Y有关联成立的可能性就越大． 某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高堆积条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系． 解：作列联表如下： 考前 心情 性格 合计 内向 外向 紧张 332 213 545 不紧张 94 381 475 合计 426 594 1 020 相应的等高堆积条形图如图所示： 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前心情紧张与性格类型有关． 题型二　两个分类变量无关联的独立性检验 [例2]　为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析学生选报文、理科与是否喜欢外语有关联． 解：零假设为H0：学生选报文、理科与喜欢外语没有关联， 列出2×2列联表 兴趣 选择 合计 理 文 有兴趣 138 73 211 无兴趣 98 52 150 合计 236 125 361 代入公式得χ2＝ eq \f(361×(138×52－73×98)2,236×125×211×150) ≈1.871×10－4＜2.076＝x0.1， 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分的证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为学生选报文、理科与是否喜欢外语没有关联． [反思感悟] 根据题意列出2×2列联表，计算χ2的值，如果χ2的值很大，说明两个事件有关的可能性很大；如果χ2的值比较小，则认为没有充分的证据显示两个事件有关．这需要给出正确的计算，避免计算失误． 某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？ 性别 课外活动 合计 喜欢体育 喜欢文娱 男 21 23 44 女 6 29 35 合计 27 52 79 解：零假设为H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系． ∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79， ∴χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)) ＝ eq \f(79×(21×29－23×6)2,44×35×27×52) ≈8.106＜10.828＝x0.001. 根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0成立，即认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系． 题型三　两个分类变量有关联的独立性检验 [例3]　某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． (1)根据以上数据建立一个列联表； (2)依据小概率值α＝0.05，能否推断青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上有差异？ 解：(1)列联表如下所示： 教师 态度 合计 赞同 不赞同 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 (2)零假设为H0：青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上没有差异，由公式得χ2＝ eq \f(50×(10×6－24×10)2,34×16×20×30) ≈4.963＞3.841＝x0.05，我们推断H0不成立，即认为青年教师和老教师在新课程教学模式的使用上有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05. [反思感悟] (1)先利用χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)) 求出χ2的值．再利用小概率值α以及对应的临界值来判断有多大的把握判断两个事件有关． (2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断． 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3), 得下表： 　　SO2 PM2.5 [0，50] (50，150] (150，475] [0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表： 　　　　SO2 PM2.5 [0，150] (150，475] [0，75] (75，115] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)) ， P(χ2≥xα) 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为 eq \f(64,100) ＝0.64. (2)根据抽查数据，可得2×2列联表： 　　　　SO2 PM2.5 [0，150] (150，475) [0，75] 64 16 (75，115] 10 10 (3)根据(2)的列联表得χ2＝ eq \f(100×(64×10－16×10)2,80×20×74×26) ≈7.484. 由于7.484＞6.635＝x0.010，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关． [课堂小结] 1．列联表与等高条形图 列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有相关关系． 2．对独立性检验思想的理解 独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量χ2的值，如果χ2的值很大，说明假设不合理．χ2越大，两个分类变量有关联的可能性越大． $