7.5 正态分布（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦正态分布核心内容，涵盖正态曲线、分布特征、均值方差及3σ原则，通过误差模型和频率分布直方图导入，结合自主梳理与问题解答，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接随机变量知识脉络。 其亮点在于以数学抽象为核心，通过函数图像分析推导μ、σ含义，结合考试成绩、零件直径等实例提升数学运算与直观想象素养。采用题型分类教学与跟踪训练，小结提炼对称法和3σ法，助力学生系统掌握，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第七章　随机变量及其分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 7.5　 正态分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十七） Part 03 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 某个区间甚至整个实轴 0 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 f(x)＝ x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数 X～N(μ,σ2) 标准正态分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 x＝μ 1 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 平移 瘦高 集中 矮胖 分散 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 μ σ2 0.682 7 0.954 5 0.997 3 [μ－3σ,μ＋3σ] 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课时作业（十七） 点击进入word 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念； 2．通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义； 3．了解正态分布的均值、方差及其含义； 4．会用正态分布解决实际问题． 1．通过正态分布相关概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．通过运用正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率，提升数学运算、直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　正态分布 [问题]　函数，x∈R的图象如下图所示． (3)由以上的讨论得到函数f(x)的解析式是什么？ 答： (1)由图可得到函数f(x)的图象关于哪条直线对称？ 答：直线x＝72. (2)函数f(x)取得最大值时，x的值是什么？由此可以得到μ的值是什么？ 答：x＝72，μ＝72. ►知识填空 1．连续型随机变量 如果随机变量不是离散型的，它们的取值充满____________________，但取一点的概率为______，称这类随机变量为连续型随机变量． 2．正态曲线和正态分布 (1)正态曲线：函数____________________________________________，称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态分布：若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为______________，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从________________． (3)正态曲线的特点： ①曲线是单峰的，它关于直线________对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值___________； ③曲线与x轴之间的面积为______． ④当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． eq \f(1,σ\r(2π)) (4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响： ①当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴________．如图(1). ②当μ一定时，曲线的形状可确定．当σ较小时，峰值高，曲线“________”，表示随机变量X的分布比较________；当σ较大时，峰值低，曲线“________”，表示随机变量X的分布比较________．如图(2) 3．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝______，D(X)＝______． 4．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________． 通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取___________________的值，这在统计学中称为3σ原则． [点睛] (1)正态曲线关于直线x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高，两边低的特点； (2)正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖廋”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　) (4)若X～N(μ，σ2)，则P(X＜μ)＝ eq \f(1,2) .(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝(　　) A．0.85　　　　　　 B．0.70 C．0.35 D．0.15 解析：选C　P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35. 3．如图是正态分布N(μ，σ eq \o\al(2,1) )，N(μ，σ eq \o\al(2,2) )，N(μ，σ eq \o\al(2,3) )(σ1，σ2，σ3＞0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2 D．σ2＞σ1＞σ3 解析：选A　由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1＞σ2＞σ3. 4．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　由正态曲线的对称性可知c＋1＋c－1＝2×2，得c＝2. 题型一　正态曲线及其性质 [例1]　(多选)某次我市高三教学质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图所示曲线可得下列说法中正确的项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数相同 解析：选AD　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. [反思感悟] 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值 eq \f(1,σ\r(2π)) ，由此性质结合图象可求σ. (3)由σ的大小区分曲线的胖瘦． 若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 eq \f(1,4\r(2π)) ，求该正态分布的概率密度函数的解析式． 解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是 eq \f(1,4\r(2π)) ，所以 eq \f(1,\r(2π)·σ) ＝ eq \f(1,4\r(2π)) ，解得σ＝4. 故函数的解析式为φμ，σ(x)＝ eq \f(1,4\r(2π)) ·，x∈(－∞，＋∞). 题型二　利用正态曲线的对称性求概率 [例2]　设X～N(1，22)，试求： (1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X>5). 解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827. (2)因为P(3<X≤5)＝P(－3≤X<－1)， 所以P(3<X≤5)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3))) ＝ eq \f(1,2) [P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝ eq \f(1,2) [P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝ eq \f(1,2) ×(0.9545－0.6827)＝0.1359. (3)P(X>5)＝P(X≤－3)＝ eq \f(1,2) [1－P(－3<X≤5)] ＝ eq \f(1,2) [1－P(1－4<X≤1＋4)]＝0.022 75. [反思感悟] 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且曲线与x轴的面积为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解． 设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1). (1)求c的值； (2)求P(－4<X≤8). 解：(1)由X～N(2，9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示). ∵P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2. (2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5. 题型三　正态分布的实际应用 [例3]　在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即X～N(100，100)，已知满分为150分． (1)试求考试成绩X位于区间(80，120]内的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解：(1)由X～N(100，100)，知μ＝100，σ＝10. ∴P(80＜X≤120)＝P(100－20＜X≤100＋20)＝0.954 5， 即考试成绩位于区间(80，120]内的概率为0.954 5. (2)∵P(90＜X≤110)＝P(100－10＜X≤100＋10)＝0.682 7， ∴P(X＞110)＝ eq \f(1,2) ×(1－0.682 7)＝0.158 65， ∴P(X≥90)＝0.682 7＋0.158 65＝0.841 35. ∴及格人数为2 000×0.841 35≈1 683(人). [反思感悟] 正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ), (μ－2σ，μ＋2σ), (μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想． 某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为 3.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？ 解：由于X服从正态分布N(4，0.052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4，0.052)在(4－3×0.05，4＋3×0.05)之外的取值的概率只有0.0027，3.7∉(3.85，4.15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的． [课堂小结] 　正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点． ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等． ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，若b<μ，则P(X<μ－b)＝ eq \f(1－P(μ－b<X<μ＋b),2) . $