7.4.2 超几何分布（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦超几何分布，系统讲解其定义、分布列、均值及应用。通过课前预习中“100名学生选3人求男生数概率”等实例导入，衔接二项分布，以“问题情境-抽象概念-公式推导”为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学抽象为核心，通过产品次品、学生抽取等实例抽象出分布模型，结合数学建模和数学运算，引导学生用分布列解决电子元件抽取、辩论赛组队等实际问题。采用“实例-辨析-应用”教学法，小结强调参数意义，助力学生结构化认知。学生能提升应用意识，教师可借助完整教学链条高效教学。

第七章　随机变量及其分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.2　 超几何分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十六） Part 03 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 np 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课时作业（十六） 点击进入word 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．通过具体实例，了解超几何分布； 2．能利用超几何分布解决简单的实际问题． 1．通过超几何分布概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．利用超几何分布解决实际应用问题，提升数学运算和数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　超几何分布 [问题]　在含有5名男生的100名学生中，任选3人． (1)求其中恰有1名男生的概率表达式． 答：eq \o\al(1,5) eq \f(CC eq \o\al(2,95) ,C eq \o\al(3,100) ) . (2)求其中恰有2名男生的概率表达式． 答：eq \o\al(2,5) eq \f(CC eq \o\al(1,95) ,C eq \o\al(3,100) ) . ►知识填空 1．超几何分布的定义 假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝eq \o\al(k,M) eq \f(CC eq \o\al(n－k,N－M) ,C eq \o\al(n,N) ) ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N, M∈N*，M≤N，n≤N，则m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品的次品数．令p＝ eq \f(M,N) ，则E(X)＝______＝______． eq \f(nM,N) [点睛] 三点说明 (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)服从超几何分布的随机试验是不放回抽取.(　　) (2)超几何分布的总体里只有两类物品．(　　) (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq \o\al(4,7) eq \f(C×C eq \o\al(6,8) ,C eq \o\al(10,15) ) 的是(　　) A．P(X＝2)　　　　 B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：选C　X服从超几何分布，基本事件总数为C eq \o\al(10,15) ， 所求事件数为C eq \o\al(X,7) C eq \o\al(10－X,8) ，∴P(X＝4)＝eq \o\al(4,7) eq \f(C×C eq \o\al(6,8) ,C eq \o\al(10,15) ) . 3．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　) A．eq \o\al(3,5) eq \f(C,C eq \o\al(3,50) ) B．eq \o\al(1,5) eq \f(C＋C eq \o\al(2,5) ＋C eq \o\al(3,5) ,C eq \o\al(3,50) ) C．1－eq \o\al(3,45) eq \f(C,C eq \o\al(3,50) ) D．eq \o\al(1,5) eq \f(CC eq \o\al(2,5) ＋C eq \o\al(2,5) ＋C eq \o\al(1,45) ,C eq \o\al(3,50) ) 解析：选C　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为eq \o\al(3,45) eq \f(C,C eq \o\al(3,50) ) ，故答案为1－eq \o\al(3,45) eq \f(C,C eq \o\al(3,50) ) . 4．在含有5名男生的100名学生中，任选4人，则恰有2名男生的概率表达式为________． 解析：由几何分布的概率公式得所求概率表达示为eq \o\al(2,5) eq \f(CC eq \o\al(2,95) ,C eq \o\al(4,100) ) . 答案：eq \o\al(2,5) eq \f(CC eq \o\al(2,95) ,C eq \o\al(4,100) ) 题型一　超几何分布的概率 [例1]　一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求出现次品的概率． 解：设抽到次品的件数为X，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝5，n＝2.于是出现次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \o\al(1,5) eq \f(CC eq \o\al(2－1,50－5) ,C eq \o\al(2,50) ) ＋eq \o\al(2,5) eq \f(CC eq \o\al(2－2,50－5) ,C eq \o\al(2,50) ) ＝ eq \f(9,49) ＋ eq \f(2,245) ＝ eq \f(47,245) ，即出现次品的概率为 eq \f(47,245) . [反思感悟] 在超几何分布中，只要知道参数N，M，n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率，再求符合题意的概率. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为____________． 解析：设取到的3件中次品数为X，则X服从超几何分布，且N＝10，M＝4，n＝3.至少有2件次品的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \o\al(2,4) eq \f(CC eq \o\al(1,6) ,C eq \o\al(3,10) ) ＋eq \o\al(3,4) eq \f(C,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(1,3) . 答案： eq \f(1,3) 题型二　超几何分布的分布列、期望 [例2]　老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； (2)他能及格的概率． 解：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X， 则P(X＝r)＝eq \o\al(r,6) eq \f(CC eq \o\al(3－r,4) ,C eq \o\al(3,10) ) (r＝0，1，2，3). 所以P(X＝0)＝eq \o\al(0,6) eq \f(CC eq \o\al(3,4) ,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(1,30) ，P(X＝1)＝eq \o\al(1,6) eq \f(CC eq \o\al(2,4) ,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(3,10) ， P(X＝2)＝eq \o\al(2,6) eq \f(CC eq \o\al(1,4) ,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(1,2) ，P(X＝3)＝eq \o\al(3,6) eq \f(CC eq \o\al(0,4) ,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(1,6) . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,30) eq \f(3,10) eq \f(1,2) eq \f(1,6) E(X)＝3× eq \f(6,10) ＝ eq \f(9,5) . (2)能及格的概率为P(ξ≥2)＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,6) ＝ eq \f(2,3) . [反思感悟] 解决超几何分布问题的三个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． (3)求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式也可直接利用E(X)＝n eq \f(M,N) 求解． 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．现从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 解：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人． 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq \o\al(3,3) eq \f(CC eq \o\al(3,4) ,C eq \o\al(3,6) C eq \o\al(3,6) ) ＝ eq \f(1,100) . 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－ eq \f(1,100) ＝ eq \f(99,100) . (2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3. P(X＝1)＝eq \o\al(1,3) eq \f(CC eq \o\al(3,3) ,C eq \o\al(4,6) ) ＝ eq \f(1,5) ，P(X＝2)＝eq \o\al(2,3) eq \f(CC eq \o\al(2,3) ,C eq \o\al(4,6) ) ＝ eq \f(3,5) ， P(X＝3)＝eq \o\al(3,3) eq \f(CC eq \o\al(1,3) ,C eq \o\al(4,6) ) ＝ eq \f(1,5) . 所以X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) 题型三　超几何分布的综合应用 [例3]　甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求： (1)甲答对试题数X的分布列； (2)乙所得分数Y的分布列． (3)求乙的得分不低于10分的概率． 解：(1)X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝eq \o\al(3,4) eq \f(C,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(4,120) ＝ eq \f(1,30) ，P(X＝1)＝eq \o\al(2,4) eq \f(CC eq \o\al(1,6) ,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(36,120) ＝ eq \f(3,10) ， P(X＝2)＝eq \o\al(1,4) eq \f(CC eq \o\al(2,6) ,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(60,120) ＝ eq \f(1,2) ，P(X＝3)＝eq \o\al(3,6) eq \f(C,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(20,120) ＝ eq \f(1,6) . 所以甲答对试题数X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,30) eq \f(3,10) eq \f(1,2) eq \f(1,6) (2)乙答对试题数可能为1，2，3，所以乙所得分数Y＝5，10，15. P(Y＝5)＝eq \o\al(2,2) eq \f(CC eq \o\al(1,8) ,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(8,120) ＝ eq \f(1,15) ，P(Y＝10)＝eq \o\al(1,2) eq \f(CC eq \o\al(2,8) ,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(56,120) ＝ eq \f(7,15) ，P(Y＝15)＝eq \o\al(3,8) eq \f(C,C eq \o\al(3,10) ) ＝ eq \f(56,120) ＝ eq \f(7,15) . 所以乙所得分数Y的分布列为 Y 5 10 15 P eq \f(1,15) eq \f(7,15) eq \f(7,15) (3)由(2)可知，根据随机变量Y的分布列，可以得到乙的得分不低于10分的概率为P(X≥10)＝P(X＝10)＋P(X＝15)＝ eq \f(7,15) ＋ eq \f(7,15) ＝ eq \f(14,15) . [反思感悟] (1)在求离散型随机变量的分布列时，明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键． (2)求与分布列有关的概率问题，一般是把所求概率的事件分解为几个互斥的事件，然后利用概率的加法公式计算． 袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率． 解：(1)从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分． 故X的可能取值为5，6，7，8， P(X＝5)＝eq \o\al(1,4) eq \f(CC eq \o\al(3,3) ,C eq \o\al(4,7) ) ＝ eq \f(4,35) ， P(X＝6)＝eq \o\al(2,4) eq \f(CC eq \o\al(2,3) ,C eq \o\al(4,7) ) ＝ eq \f(18,35) ， P(X＝7)＝eq \o\al(3,4) eq \f(CC eq \o\al(1,3) ,C eq \o\al(4,7) ) ＝ eq \f(12,35) ，P(X＝8)＝eq \o\al(4,4) eq \f(CC eq \o\al(0,3) ,C eq \o\al(4,7) ) ＝ eq \f(1,35) ， 故所求分布列为 X 5 6 7 8 P eq \f(4,35) eq \f(18,35) eq \f(12,35) eq \f(1,35) (2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝ eq \f(12,35) ＋ eq \f(1,35) ＝ eq \f(13,35) . [课堂小结] 超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝eq \o\al(k,M) eq \f(CC eq \o\al(n－k,N－M) ,C eq \o\al(n,N) ) 求出X取不同值k时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义． $