7.4.1 二项分布（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项分布核心内容，涵盖n重伯努利试验定义、二项分布分布列及数字特征，通过射击、天气预报等实例导入，衔接随机变量基础，为后续超几何分布学习搭建支架。 其亮点在于以问题链引导概念抽象，结合射击命中、交通岗遇红灯等实例培养数学建模与运算素养，题型分层且含跟踪训练。学生能深化知识理解，教师可依托系统结构提升教学效率。

第七章　随机变量及其分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　 二项分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十五） Part 03 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 两个试验 重复 重复 相互独立 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 B(n，p) 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 np np(1－p) 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课时作业（十五） 点击进入word 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．通过具体实例，了解伯努利试验； 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 1．通过对伯努利试验和二项分布等概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．利用二项分布解决实际应用问题，提升数学运算和数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点一　n重伯努利试验 [问题]　要研究抛掷硬币时出现的统计规律性，需要在相同的条件下多次重复做此试验． (1)试验结果有哪些？ 答：正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． (2)各次试验的结果有无影响？ 答：无，即各次试验相互独立． ►知识填空 1．伯努利试验：只包含____________结果的试验叫做伯努利试验． 2．n重伯努利试验 (1)定义：将一个伯努利试验独立地________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)n重伯努利试验的特征：①同一个伯努利试验________做n次；②各次试验的结果____________． 知识点二　二项分布 [问题]　射击比赛时，某射击运动员连续射击3次，每次击中靶心的概率都是0.8，用Ai(i＝1，2，3)表示第i次击中靶心这个事件，用Bk表示事件仅击中k次． (1)用Ai如何表示B1，并求P(B1). 答：B1＝(A1 eq \x\to(A) 2 eq \x\to(A) 3)∪( eq \x\to(A) 1A2 eq \x\to(A) 3)∪( eq \x\to(A) 1 eq \x\to(A) 2A3)， 因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1 eq \x\to(A) 2 eq \x\to(A) 3， eq \x\to(A) 1A2 eq \x\to(A) 3， eq \x\to(A) 1 eq \x\to(A) 2A3两两互斥， 故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.　 (2)P(B2)和P(B3)的值是什么？ 答：P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(B3)＝0.83＝0.512. (3)由以上问题的结果你能得出什么结论？ 答：P(Bk)＝C eq \o\al(k,3) 0.8k0.23－k(k＝0，1，2，3). ►知识填空 1．二项分布 (1)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝________________，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～___________. (2)性质： eq \i\su(k＝0,n,P) (X＝k)＝1. C eq \o\al(k,n) pk(1－p)n－k 2．二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝______，D(X)＝___________． [点睛] 两点分布与二项分布的联系 (1)两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果． (2)两点分布是n＝1时的二项分布． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的．(　　) (2)n重伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果.(　　) (3)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．下列事件： ①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”； ②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”； ③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”； ④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标． 其中是n重伯努利试验的是(　　) A．①　 B．② C．③ D．④ 解析：选D　①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是n重伯努利试验． 3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 eq \f(4,5) ，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　) A． eq \f(12,125) B． eq \f(48,125) C． eq \f(16,125) D． eq \f(96,125) 解析：选B　播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C eq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up20(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5))) ＝ eq \f(48,125) . 4．设如果X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4,5))) ，那么E(X)＝________，D(X)＝________． 解析：E(X)＝4× eq \f(4,5) ＝ eq \f(16,5) ，D(X)＝4× eq \f(4,5) × eq \f(1,5) ＝ eq \f(16,25) . 答案： eq \f(16,5) 　 eq \f(16,25) 题型一　求n重伯努利试验的概率 [例1]　某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 eq \f(3,5) ，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次．求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率． 解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝ eq \f(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5))) × eq \f(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5))) × eq \f(3,5) ＝ eq \f(108,3125) ； (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C eq \o\al(3,5) 种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n重伯努利试验概率模型．故所求概率为P＝C eq \o\al(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up20(3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5))) eq \s\up20(2) ＝ eq \f(216,625) . [反思感悟] n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． 解：(1)记A＝“预报一次准确”，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5次伯努利试验． “恰有2次准确”的概率为 P＝C eq \o\al(2,5) ×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为 P＝C eq \o\al(0,5) ×0.25＋C eq \o\al(1,5) ×0.8×0.24＝0.006 72. 所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 题型二　求二项分布的分布列、均值和方差 [例2]　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列、均值和方差． 解：有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0，1，2，3.又每次取到黑球的概率均为 eq \f(1,5) ，3次取球可以看成3重独立重复试验， 则X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5))) . ∴P(X＝0)＝C eq \o\al(0,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up20(0) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(64,125) ， P(X＝1)＝C eq \o\al(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up20(1) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up20(2) ＝ eq \f(48,125) ， P(X＝2)＝C eq \o\al(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up20(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up20(1) ＝ eq \f(12,125) ， P(X＝3)＝C eq \o\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up20(3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up20(0) ＝ eq \f(1,125) . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(64,125) eq \f(48,125) eq \f(12,125) eq \f(1,125) ∵X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5))) ，∴E(X)＝3× eq \f(1,5) ＝ eq \f(3,5) ， D(X)＝3× eq \f(1,5) × eq \f(4,5) ＝ eq \f(12,25) . [反思感悟] 解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝C eq \o\al(k,n) pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“n重伯努利试验”时才能应用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 eq \f(3,4) ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列、均值和方差． 解：由题意可知：X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,4))) ， 所以P(X＝k)＝C eq \o\al(k,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up20(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up20(3－k) (k＝0，1，2，3). P(X＝0)＝C eq \o\al(0,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up20(0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(1,64) ， P(X＝1)＝C eq \o\al(1,3) · eq \f(3,4) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up20(2) ＝ eq \f(9,64) ， P(X＝2)＝C eq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up20(2) · eq \f(1,4) ＝ eq \f(27,64) ， P(X＝3)＝C eq \o\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(27,64) . 所以分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,64) eq \f(9,64) eq \f(27,64) eq \f(27,64) 因为X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,4))) ，所以E(X)＝3× eq \f(3,4) ＝ eq \f(9,4) ，D(X)＝3× eq \f(3,4) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(9,16) . 题型三　二项分布的综合应用 [例3]　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 eq \f(1,3) . (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 解：(1)由ξ～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3))) ，则P(ξ＝k)＝C eq \o\al(k,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(5－k) ， k＝0，1，2，3，4，5. 即P(ξ＝0)＝C eq \o\al(0,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(0) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(5) ＝ eq \f(32,243) ； P(ξ＝1)＝C eq \o\al(1,5) × eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(4) ＝ eq \f(80,243) ； P(ξ＝2)＝C eq \o\al(2,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(80,243) ； P(ξ＝3)＝C eq \o\al(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(2) ＝ eq \f(40,243) ； P(ξ＝4)＝C eq \o\al(4,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(4) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(10,243) ； P(ξ＝5)＝C eq \o\al(5,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(5) ＝ eq \f(1,243) . 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P eq \f(32,243) eq \f(80,243) eq \f(80,243) eq \f(40,243) eq \f(10,243) eq \f(1,243) (2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯， 第k＋1个是红灯)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(k) · eq \f(1,3) ，k＝0，1，2，3，4， 即P(η＝0)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(0) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,3) ；P(η＝1)＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,9) ； P(η＝2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(4,27) ；P(η＝3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(8,81) ； P(η＝4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(4) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(16,243) ； P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(5) ＝ eq \f(32,243) . 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P eq \f(1,3) eq \f(2,9) eq \f(4,27) eq \f(8,81) eq \f(16,243) eq \f(32,243) (3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(5) ＝ eq \f(211,243) . [反思感悟] 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解． 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率这p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差 eq \r(D(X)) 为 eq \f(\r(6),2) . (1)求n和p的值，并写出X的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 解： 由题意知，X～B(n，p)，P(X＝k)＝C eq \o\al(k,n) pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n. (1)由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝ eq \f(3,2) ， 得1－p＝ eq \f(1,2) ，从而n＝6，p＝ eq \f(1,2) . X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P eq \f(1,64) eq \f(3,32) eq \f(15,64) eq \f(5,16) eq \f(15,64) eq \f(3,32) eq \f(1,64) (2)记A＝“需要补种沙柳”，则P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝ eq \f(1,64) ＋ eq \f(3,32) ＋ eq \f(15,64) ＋ eq \f(5,16) ＝ eq \f(21,32) ，或P(A)＝1－P(X＞3)＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,64)＋\f(3,32)＋\f(1,64))) ＝ eq \f(21,32) ， 所以需要补种沙柳的概率为 eq \f(21,32) . [课堂小结] 1．n重伯努利试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝C eq \o\al(k,n) pk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式． $