7.3.2 离散型随机变量的方差（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差，围绕偏离程度与方差的关系展开，通过课前预习、课堂互动、课时作业构建学习支架，衔接数字特征前备知识，引导学生从概念理解到符号表达逐步深化。 其亮点在于以问题驱动课堂互动，引导学生用数学眼光观察现实数据波动，结合方差\(\sigma^2\)的规范表达培养数学语言的符号意识，通过修正笔误强化推理严谨性，助力学生用数学思维分析关系，教师可依托完整环节提升教学效率，学生能在实践中深化理解。

第七章　随机变量及其分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.2　 离散型随机变量的方差 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十四） Part 03 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 偏离程度 越小 越大 a2D(X) 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课时作业（十四） 点击进入word 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质； 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 1．通过离散型随机变量方差概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．通过随机变量方差的应用，提升数学运算、数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　离散型随机变量的方差 [问题]　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P eq \f(6,10) eq \f(1,10) eq \f(3,10) Y 0 1 2 P eq \f(5,10) eq \f(3,10) eq \f(2,10) (1) 试求E(X)，E(Y). 答：E(X)＝0× eq \f(6,10) ＋1× eq \f(1,10) ＋2× eq \f(3,10) ＝ eq \f(7,10) ， E(Y)＝0× eq \f(5,10) ＋1× eq \f(3,10) ＋2× eq \f(2,10) ＝ eq \f(7,10) . (2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ 答：不能，因为E(X)＝E(Y). (3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ 答：方差． ►知识填空 1．离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义： 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ eq \i\su(i＝1,n, ) (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 eq \r(D(X)) 为随机变量X的标准差，记为σ(X). (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的____________，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差________，随机变量的取值越集中；方差或标准差________，随机变量的取值越分散． 2. 离散型随机变量的方差的性质： D(aX＋b)＝___________． [点睛] 方差也可以用公式D(X)＝ eq \i\su(i＝1,n,x) eq \o\al(2,i) pi－(E(X))2计算(可由D(X)＝ eq \i\su(i＝1,n, ) (xi－E(X))2pi展开得到). [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数， 则D(a)＝0.(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：选B　因为D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 3．(多选)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 则下列式子正确的是(　　) A．E(X)＝－ eq \f(1,3) B．D(X)＝ eq \f(23,27) C．P(X＝0)＝ eq \f(1,3) D．P(X≥0)＝ eq \f(1,2) 解析：选ACD　由分布列可知，E(X)＝(－1)× eq \f(1,2) ＋0× eq \f(1,3) ＋1× eq \f(1,6) ＝－ eq \f(1,3) ，故A正确；D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,6) ＝ eq \f(5,9) ，故B不正确，C、D显然正确． 4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________． X －1 0 1 2 P a b c eq \f(1,12) 解析：由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,a＋c＋\f(1,3)＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4)．)) 答案： eq \f(5,12) 　 eq \f(1,4) 题型一　求离散型随机变量的方差 [例1]　(1)设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,6) eq \f(1,4) 则D(X)等于(　　) A． eq \f(29,12) 　　　 B． eq \f(121,144) C． eq \f(179,144) D． eq \f(17,12) 解析：选C　由题意知，E(X)＝1× eq \f(1,4) ＋2× eq \f(1,3) ＋3× eq \f(1,6) ＋4× eq \f(1,4) ＝ eq \f(29,12) ， 故D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,4) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,6) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(179,144) . [反思感悟] 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差． 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P eq \f(1,5) p eq \f(3,10) 且E(X)＝1.1，则D(X)＝________． 解析：由随机变量分布列的性质可得p＝1－ eq \f(1,5) － eq \f(3,10) ＝ eq \f(1,2) .又E(X)＝0× eq \f(1,5) ＋1× eq \f(1,2) ＋x× eq \f(3,10) ＝1.1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2× eq \f(1,5) ＋(1－1.1)2× eq \f(1,2) ＋(2－1.1)2× eq \f(3,10) ＝0.49. 答案：0.49 题型二　方差的性质 [例2]　已知随机变量X的分布列为： X 0 1 x P eq \f(1,2) eq \f(1,3) p 若E(X)＝ eq \f(2,3) ，则： (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求 eq \r(D(Y)) 的值． 解：由分布列的性质，得 eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＋p＝1，解得p＝ eq \f(1,6) ， ∵E(X)＝0× eq \f(1,2) ＋1× eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,6) x＝ eq \f(2,3) ， ∴x＝2. (1)D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,6) ＝ eq \f(15,27) ＝ eq \f(5,9) . (2)∵Y＝3X－2， ∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5， ∴ eq \r(D(Y)) ＝ eq \r(5) . [反思感悟] 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错．在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X). 设随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,6) eq \f(1,3) eq \f(1,2) 若Y＝2X＋2，则D(Y)＝(　　) A．－ eq \f(1,3) B． eq \f(5,9) C． eq \f(10,9) D． eq \f(20,9) 解析：选D　由题意知，E(X)＝－1× eq \f(1,6) ＋0× eq \f(1,3) ＋1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,3) ， 故D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,6) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) eq \s\up20(2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(5,9) ， D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4× eq \f(5,9) ＝ eq \f(20,9) . 题型三　方差的实际应用 [例3]　为选拔全运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． 解：(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1. ∵乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴X，Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又∵D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． ∴甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． [反思感悟] 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度. 通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论． 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，甲、乙两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数分别为X，Y，且X和Y的分布列如下： X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平． 解：甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些． [课堂小结] 求离散型随机变量X的均值、方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值． (2)求X取每一个值的概率． (3)写出随机变量X的分布列． (4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X). $