7.2 离散型随机变量及其分布列（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦“随机变量及其分布”核心内容，涵盖离散型随机变量及其分布列等知识点。通过课前预习搭建基础认知，课堂互动深化概念理解，课时作业巩固应用技能，形成“预习-互动-作业”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以结构化学习流程为框架，引导学生用数学眼光抽象随机现象（如离散型随机变量“有限或可列举”的特征），用数学语言表达分布规律（如分布列性质），培养数学思维。教师可依托此资料提升教学效率，学生能在实践中发展应用意识与理性精神。

第七章　随机变量及其分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 7.2　离散型随机变量及其分布列 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十二） Part 03 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 唯一 有限个或可以一一列举 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 pi ≥ 1 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课时作业（十二） 点击进入word 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．理解离散型随机变量的含义，会用离散型随机变量描述随机现象； 2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质，了解两点分布． 1．通过离散型随机变量及其分布列概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．在求离散型随机变量分布列的过程中，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　随机变量 [问题]　(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ 答：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上． (2)在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？ 答：x＝0，1，2，3，…，10. ►知识填空 随机变量：(1)随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为________________________的随机变量，称之为离散型随机变量． (3)字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. [点睛] 离散型随机变量的特征： (1)可用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值；(4)试验结果能一一列出． 知识点二　离散型随机变量的分布列 [问题]　掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？ 答：(1)X＝1，2，3，4，5，6，概率均为 eq \f(1,6) . (2)X与P的对应关系为 X 1 2 3 4 5 6 P eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) ►知识填空 1．分布列的概念 (1)定义：设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝______，i＝1，2，…，n，为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示方法：①表格；②概率分布图． (3)性质：①pi_____0，i＝1，2，3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝_____． 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， eq \x\to(A) 表示“失败”，定义X＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，\x\to(A)发生．)) 如果P(A)＝p，则P( eq \x\to(A) )＝1－p，那么X的分布列如下表表示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． [点睛] (1)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (2)离散型随机变量的分布列的性质②可以检查所写分布列是否正确． (3)两点分布的特点：①两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；②由对立事件的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　) (3)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 解析：选C　对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量． 3．设离散型随机变量X的概率分布列如下表： X 1 2 3 4 P eq \f(1,6) eq \f(1,3) eq \f(1,6) p 则p的值为(　　) A． eq \f(1,2) 　　　 B． eq \f(1,6) C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,4) 解析：选C　由分布列的性质，知 eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,6) ＋p＝1，故p＝ eq \f(1,3) . 4．(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 解析：选ABD　易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C错误，其余都正确． 题型一　离散型随机变量的判定 [例1]　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某超市5月份每天的销售额； (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ. 解析：(1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． (2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能一一列举． [反思感悟] “三步法”判定离散型随机变量 (1)依据具体情境分析变量是否为随机变量． (2)由条件求解随机变量的值域． (3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量． (多选)下列问题中的ξ是离散型随机变量的是(　　) A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C．体积为1000 cm3的球的半径长 D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分 解析：选ABD　由题意知C中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而A、B、D是离散型随机变量． 题型二　离散型随机变量分布列的性质及应用 [例2]　设随机变量X的分布列为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5))) ＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； (2)求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5))) ； (3)求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10))) . 解：(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝ eq \f(1,15) . (2)∵P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5))) ＝ eq \f(1,15) k(k＝1，2，3，4，5)， ∴P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5))) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5))) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5))) ＋P(X＝1)＝ eq \f(3,15) ＋ eq \f(4,15) ＋ eq \f(5,15) ＝ eq \f(4,5) . (3)当 eq \f(1,10) <X< eq \f(7,10) 时，只有X＝ eq \f(1,5) ， eq \f(2,5) ， eq \f(3,5) 时满足， 故P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10))) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,5))) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(2,5))) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5))) ＝ eq \f(1,15) ＋ eq \f(2,15) ＋ eq \f(3,15) ＝ eq \f(2,5) . [反思感悟] 利用分布列及其性质解题时的两点注意 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的； (2)不仅要注意 eq \i\su(i＝1,n,p) i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n. 1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ eq \f(c,k(k＋1)) ，k＝1，2，3，c为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝________． 解析：随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ eq \f(c,k(k＋1)) ，k＝1，2，3， ∴ eq \f(c,2) ＋ eq \f(c,6) ＋ eq \f(c,12) ＝1，即 eq \f(6c＋2c＋c,12) ＝1，解得c＝ eq \f(4,3) ， ∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ eq \f(c,2) ＋ eq \f(c,6) ＝ eq \f(4,6) × eq \f(4,3) ＝ eq \f(8,9) . 答案： eq \f(8,9) . 2．随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____________，公差d的取值范围是________． 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝ eq \f(1,3) ，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝ eq \f(2,3) .又a＝ eq \f(1,3) －d，c＝ eq \f(1,3) ＋d，根据分布列的性质，得0≤ eq \f(1,3) －d≤ eq \f(2,3) ，0≤ eq \f(1,3) ＋d≤ eq \f(2,3) ，所以－ eq \f(1,3) ≤d≤ eq \f(1,3) . 答案： eq \f(2,3) 　 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) 题型三　求离散型随机变量的分布列 [例3]　袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 eq \f(1,7) ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数． (1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列． 解：(1)设袋中原有n个白球， 由题意知 eq \f(1,7) ＝eq \o\al(2,n) eq \f(C,C eq \o\al(2,7) ) ＝ eq \f(\f(n(n－1),2),\f(7×6,2)) ＝ eq \f(n(n－1),7×6) ， 可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5. P(ξ＝1)＝ eq \f(3,7) ；P(ξ＝2)＝ eq \f(4×3,7×6) ＝ eq \f(2,7) ； P(ξ＝3)＝ eq \f(4×3×3,7×6×5) ＝ eq \f(6,35) ；P(ξ＝4)＝ eq \f(4×3×2×3,7×6×5×4) ＝ eq \f(3,35) ； P(ξ＝5)＝ eq \f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3) ＝ eq \f(1,35) . 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P eq \f(3,7) eq \f(2,7) eq \f(6,35) eq \f(3,35) eq \f(1,35) [反思感悟] 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2…)以及每个取值所表示的意义； (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)； (3)写出分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验． 1．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列． 解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4， 则X的可能取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝eq \o\al(1,10) eq \f(C,C eq \o\al(1,45) ) ＝ eq \f(2,9) ，P(X＝2)＝eq \o\al(1,12) eq \f(C,C eq \o\al(1,45) ) ＝ eq \f(4,15) ， P(X＝3)＝eq \o\al(1,8) eq \f(C,C eq \o\al(1,45) ) ＝ eq \f(8,45) ，P(X＝4)＝eq \o\al(1,15) eq \f(C,C eq \o\al(1,45) ) ＝ eq \f(1,3) . 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P eq \f(2,9) eq \f(4,15) eq \f(8,45) eq \f(1,3) 2.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码． (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率． 解：(1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6， P(X＝3)＝eq \o\al(3,3) eq \f(C,C eq \o\al(3,6) ) ＝ eq \f(1,20) ， P(X＝4)＝eq \o\al(1,1) eq \f(CC eq \o\al(2,3) ,C eq \o\al(3,6) ) ＝ eq \f(3,20) ， P(X＝5)＝eq \o\al(1,1) eq \f(CC eq \o\al(2,4) ,C eq \o\al(3,6) ) ＝ eq \f(3,10) ， P(X＝6)＝eq \o\al(1,1) eq \f(CC eq \o\al(2,5) ,C eq \o\al(3,6) ) ＝ eq \f(1,2) ， 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 6 P eq \f(1,20) eq \f(3,20) eq \f(3,10) eq \f(1,2) (2)X的取值不小于4的概率为 P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝ eq \f(3,20) ＋ eq \f(3,10) ＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(19,20) . 题型四　两点分布 [例4]　在一次购物抽奖活动的10张奖券中，有一等奖奖券1张，二等奖奖券3张，其余6张没有奖品．某顾客从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 解：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两情况． P(X＝1)＝eq \o\al(1,4) eq \f(C,C eq \o\al(1,10) ) ＝ eq \f(4,10) ＝ eq \f(2,5) ， 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－ eq \f(2,5) ＝ eq \f(3,5) . 因此X的分布列为 X 0 1 P eq \f(3,5) eq \f(2,5) [反思感悟] 两点分布的四个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两面结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝eq \o\al(2,199) eq \f(C,C eq \o\al(2,200) ) ＝ eq \f(99,100) ， 所以P(X＝1)＝1－ eq \f(99,100) ＝ eq \f(1,100) . 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P eq \f(99,100) eq \f(1,100) [课堂小结] 1．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值． 2．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况． $