7.1.2 全概率公式 （课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，通过两箱摸球等问题情境导入，衔接条件概率基础，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解公式推导及应用脉络。 其亮点在于以问题驱动公式抽象，设计分层题型（简单计算到综合应用），结合公司员工抽样、产品质量检测等实际案例，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。学生能提升运算与应用能力，教师可依托系统资源实施高效教学。

第七章　随机变量及其分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.2　 全概率公式 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十一） Part 03 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课时作业（十一） 点击进入word 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．理解全概率公式及其推导过程； 2．结合古典概型，利用全概率公式求事件的概率． 1．通过对全概率公式的推导，培养数学抽象的核心素养； 2．通过全概率公式的应用，提升数学运算、逻辑和推理和数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点一　全概率公式 [问题]　甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、4个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，B为“从乙箱里摸出白球”． (1)试求P(A), P(AB)，P(A eq \x\to(B) )； 答：P(A)＝ eq \f(3,5) ，P(AB)＝ eq \f(3×2,5×6) ＝ eq \f(1,5) ，P(A eq \x\to(B) )＝ eq \f(3×4,5×6) ＝ eq \f(2,5) . (2)P(A), P(AB)，P(A eq \x\to(B) )有什么关系？ 答：P(A)＝_P(AB)＋P(A eq \x\to(B) ). ►知识填空 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ eq \i\su(i＝1,n,P) (Ai)P(B|Ai). 称上面的公式为全概率公式． [点睛] 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可． 知识点二　贝叶斯公式 [问题]　 1．设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B) ＝ eq \f(P(Ai)P(B|Ai),P(B)) ＝_____________________，i＝1，2，…，n. 2．在贝叶斯公式中，P(Ai)与P(Ai|B)分别称为先验概率和后验概率． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件B的概率求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．(　　) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) )P(B| eq \o(A,\s\up16(－)) ).(　　) (3)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．(　　) 答案：(1)√　 (2)√　(3)√ 2．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为(　　) A． eq \f(3,5) 　　　　　　 B． eq \f(19,49) C． eq \f(20,49) D． eq \f(2,5) 解析：选D　设A＝“第一个人取得黄球”，B＝“第二个人取得黄球”，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\to(A) )P(B| eq \x\to(A) )＝ eq \f(2,5) × eq \f(19,49) ＋ eq \f(3,5) × eq \f(20,49) ＝ eq \f(2,5) . 3．已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.6，P(B| eq \o(A,\s\up16(－)) )＝0.1，则P(B)＝__________________． 解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\to(A) )P(B| eq \x\to(A) )＝0.8×0.6＋0.2×0.1＝0.5. 答案：0.5 4．有两箱同一种产品，第一箱内有50件，其中10件优质品，第二箱内有30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________． 解析：设A＝“取到的是优质品”，Bi＝“打开的是第i箱”(i＝1，2)，则P(B1)＝P(B2)＝ eq \f(1,2) ，P(A|B1)＝ eq \f(10,50) ＝ eq \f(1,5) ，P(A|B2)＝ eq \f(18,30) ＝ eq \f(3,5) . 直接利用全概率公式：P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝ eq \f(2,5) . 答案： eq \f(2,5) 题型一　全概率公式的简单应用 [例1]　(1)已知P( eq \o(A,\s\up16(－)) )＝0.4，P( eq \o(B,\s\up16(－)) |A)＝0.6，求P(AB). (2)已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.4，P(B| eq \o(A,\s\up16(－)) )＝0.1，求P(B)和P(A|B). 解：(1)因为P( eq \x\to(A) )＝0.4，所以P(A)＝0.6， P(A eq \x\to(B) )＝P(A)P( eq \x\to(B) |A)＝0.6×0.6＝0.36， P(AB)＝P(A)－P(A eq \x\to(B) )＝0.6－0.36＝0.24. (2)由题意可知，P( eq \x\to(A) )＝1－0.8＝0.2，所以 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\to(A) )P(B| eq \x\to(A) )＝0.8×0.4＋0.2×0.1＝0.34， P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.4＝0.32， 所以P(A|B)＝ eq \f(P(AB),P(B)) ＝ eq \f(0.32,0.34) ＝ eq \f(16,17) . [反思感悟] 解决此类问题，要熟练应用以下公式并且注意各事件间的关系： (1)P(A)＝P(AB)＋P(A eq \x\to(B) )； (2)条件概率公式和乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，P(B|A)＝ eq \f(P(AB),P(A)) ； (3)全概率公式：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \o(A,\s\up16(－)) )P(B| eq \o(A,\s\up16(－)) ). 已知P( eq \o(A,\s\up16(－)) )＝0.9，P(B|A)＝0.6，P(B| eq \o(A,\s\up16(－)) )＝0.4，求P( eq \o(B,\s\up16(－)) )，P(A|B). 解：由题意可得P(A)＝1－P( eq \x\to(A) )＝0.1， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\to(A) )P(B| eq \x\to(A) )＝0.1×0.6＋0.9×0.4＝0.42. P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.1×0.6＝0.06， 所以P(A|B)＝ eq \f(P(AB),P(B)) ＝ eq \f(0.06,0.42) ＝ eq \f(1,7) . 题型二　全概率公式的实际应用 [例2]　已知某公司有甲、乙两个分公司，男、女员工人数如下表所示： 公司 男员工人数 女员工人数 甲 240 120 乙 100 40 公司按照分层随机抽样的方法抽取了50名员工组成职工委员会，现从该职工委员会中随机抽取一名员工参加上级工会会议，求该员工为女员工的概率． 解：法一：由题意可知，该公司的职工委员会中甲分公司的男员工有240× eq \f(50,500) ＝24人，女员工有120× eq \f(50,500) ＝12人， 乙分公司的男员工有100× eq \f(50,500) ＝10人，女员工有40× eq \f(50,500) ＝4人， 用A和 eq \x\to(A) 分别表示该员工来自甲分公司和乙分公司，用B表示该员工为女员工， 则P(A)＝ eq \f(12＋24,50) ＝ eq \f(18,25) ，P( eq \x\to(A) )＝ eq \f(10＋4,50) ＝ eq \f(7,25) ， 且P(B|A)＝ eq \f(12,12＋24) ＝ eq \f(1,3) ，P(B| eq \x\to(A) )＝ eq \f(4,10＋4) ＝ eq \f(2,7) ， 由全概率公式可得，该员工为女员工的概率为 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\to(A) )P(B| eq \x\to(A) )＝ eq \f(18,25) × eq \f(1,3) ＋ eq \f(7,25) × eq \f(2,7) ＝ eq \f(8,25) . 法二：由题意可知， 该公司的职工委员会中甲分公司的女员工有120× eq \f(50,500) ＝12人， 乙分公司的女员工有40× eq \f(50,500) ＝4人，所以共有女员工16人， 用B表示该员工为女员工， 则该员工为女员工的概率为P(B)＝ eq \f(16,50) ＝ eq \f(8,25) . [反思感悟] 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂的事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果．用树状图表示如下： 某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%，2%，3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率． 解：设A1＝“抽到甲厂的产品”，A2＝“抽到乙厂的产品”，A3＝“抽到丙厂的产品”，B＝“抽到不合格产品”， 则A1，A2，A3两两互斥，且Ω＝A1∪A2∪A3， 于是B＝B(A1∪A2∪A3)＝BA1∪BA2∪BA3. 由题意得P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.45，P(A3)＝0.15， P(B|A1)＝0.01，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.03， 所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.4×0.01＋0.45×0.02＋0.15×0.03＝0.017 5. 题型三　贝叶斯公式 [例3]　在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的．若已知接收信号为0，求发送的信号是1的概率． 解：设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收的信号为0”，则 eq \x\to(A) ＝“发送的信号为1”， eq \x\to(B) ＝“接收的信号为1”， 由题意得，P(A)＝P( eq \x\to(A) )＝0.5，P(B|A)＝0.8，P( eq \x\to(B) |A)＝0.2， P(B| eq \x\to(A) )＝0.1，P( eq \x\to(B) | eq \x\to(A) )＝0.9. 由贝叶斯公式有 P( eq \x\to(A) |B)＝ eq \f(P(\x\to(A))P(B|\x\to(A)),P(\x\to(A))P(B|\x\to(A))＋P(A)P(B|A)) ＝ eq \f(0.5×0.1,0.5×0.1＋0.5×0.8) ＝ eq \f(1,9) . [反思感悟] 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． 解：设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P(A1|B)＝ eq \f(P(A1)P(B|A1),P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)) ＝ eq \f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01) ＝0.8. 题型四　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 [例4]　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.9，0.8，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？ 解：设事件A表示“取到的产品的正品”，B1，B2，B3，分别表示“产品由甲厂生产”“产品由乙厂生产”“产品由丙厂生产”． 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9， P(A|B3)＝0.8. (1)由全概率公式得 P(A)＝ eq \i\su(i＝1,3, ) P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝ eq \f(P(B1)P(A|B1),P(A)) ＝ eq \f(0.2×0.95,0.86) ≈0.220 9， P(B2|A)＝ eq \f(P(B2)P(A|B2),P(A)) ＝ eq \f(0.3×0.9,0.86) ≈0.314 0， P(B3|A)＝ eq \f(P(B3)P(A|B3),P(A)) ＝ eq \f(0.5×0.8,0.86) ≈0.465 1， 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大． [反思感悟] P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． 一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为 eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ， eq \f(1,12) . (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率． 解：设A＝“迟到”；B1＝“乘飞机”；B2＝“乘动车”；B3＝“乘非机动车”． (1)所求概率为P(A)，由全概率公式得： P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝ eq \f(1,5) × eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(3,10) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(13,60) . (2)所求概率为P(B1|A)，由贝叶斯公式得： P(B1|A)＝ eq \f(P(AB1),P(A)) ＝ eq \f(P(B1)P(A|B1),P(A)) ＝ eq \f(\f(1,5)×\f(1,3),\f(13,60)) ＝ eq \f(4,13) . [课堂小结] 应用全概率公式解决实际应用问题的步骤： 第一步：用字母表示各相关事件； 第二步：写出各相关事件的概率； 第三步：把所求概率的事件分解为互斥的事件； 第四步：代入全概率公式计算． $