习题课 排列、组合的综合问题（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦第六章计数原理中的排列组合综合问题，涵盖捆绑法、插空法、倍缩法、隔板法等核心解题策略。课堂从高考必考题特点切入，通过“问题提出-原理阐释-例题示范-跟踪训练”的学习支架，帮助学生衔接计数原理基础，构建系统解题思路。 其亮点在于以生活情境问题（如排队、分配名额）引导学生用数学眼光观察数量关系，通过分步推理（如捆绑法先整体排列再内部排序）培养数学思维，用符号化表达（如排列数A、组合数C）和模型构建（如隔板法分堆模型）强化数学语言。实例如“七盏路灯亮三盏不相邻”用插空法求解，助力学生掌握解题方法，教师可直接用于教学提升效率。

第六章　计数原理 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 习题课　排列、组合的综合问题 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 排列、组合问题是高考的必考题，它联系实际、生动有趣，但题型多样、思路灵活，不易掌握．实践证明，掌握题型和解题方法、识别模式、熟练运用，是解决排列、组合应用题的有效途径．下面就谈一谈排列、组合应用题的解题策略． 类型一　相邻排列——捆绑法 n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？ 先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有A eq \o\al(n－k＋1,n－k＋1) 种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有A eq \o\al(k,k) 种方法．由分步乘法计数原理得符合条件的排法共A eq \o\al(n－k＋1,n－k＋1) ·A eq \o\al(k,k) 种． [例1]　有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？ 解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素 ，两个元素排列成一个整体共有A eq \o\al(2,2) 种排法；女生内部的排法有A eq \o\al(3,3) 种，男生内部的排法有A eq \o\al(4,4) 种．故合题意的排法有A eq \o\al(2,2) ·A eq \o\al(3,3) ·A eq \o\al(4,4) ＝288(种). 4个男同学和3个女同学(其中含有甲、乙、丙)站成一排，若甲、乙两人相相邻，但都不与丙相邻，则不同的排法的种数是(　　) A．320　　　　　　　　 B．640 C．960 D．1 280 解析：选C　先排甲、乙、丙在3人以外的其他4人，有A eq \o\al(4,4) 种排法； 由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A eq \o\al(2,2) 种排法； 最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空位当中，则有A eq \o\al(2,5) 种排法． 所以共有A eq \o\al(4,4) A eq \o\al(2,2) A eq \o\al(2,5) ＝960(种)不同的排法． 类型二　相离排列——插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素之间的空位和两端． 将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k)，有多少种排法？ 先把(n－k)个元素排成一排，共有A eq \o\al(n－k,n－k) 种排法，然后把k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，共有排法A eq \o\al(k,n－k＋1) 种，故符合条件的排法共有A eq \o\al(n－k,n－k) ·A eq \o\al(k,n－k＋1) 种． [例2]　五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？ 解析：先把科学家作排列，共有A eq \o\al(5,5) 种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有A eq \o\al(5,6) 种排法． 故符合条件的站法共有A eq \o\al(5,5) ·A eq \o\al(5,6) ＝86 400(种). 1．七人并排站成一行，如果甲、乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是(　　) A．1 440种 B．3 600种 C．4 820种 D．4 800种 解：选B　除甲、乙外，其余5个排列组合为A eq \o\al(5,5) 种，再用甲、乙去插6个空位有A eq \o\al(2,6) 种，不同的排法种数是A eq \o\al(5,5) A eq \o\al(2,6) ＝3600种，选B. 2．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏灯不相邻，则不同的开灯方案有(　　) A.10种 B．12种 C．15种 D．18种 解析：选A　四盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盏亮灯，即不同的开灯方案有C eq \o\al(3,5) ＝10(种). 类型三　定序问题——倍缩法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法，此法也被叫消序法． 将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同的排法？ n个不同元素排列成一排，共有A eq \o\al(n,n) 种排法；k个不同元素排列成一排共有A eq \o\al(k,k) 种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的A eq \o\al(k,k) 分之一．故符合条件的排法共eq \o\al(n,n) eq \f(A,A eq \o\al(k,k) ) 种． [例3]　a，b，c，d，e五人并排站成一排，如果b必须站有a的右边(a，b可以不相邻)，那么不同的排法种数是(　　) A．24种 B．60种 C．90种 D．120种 解析：选B　b在a的右边与b在a的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 eq \f(1,2) A eq \o\al(5,5) ＝60(种)，选B. 1．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7有顺序一定，则有________个七位数符合条件． 解析：若1，3，5，7有顺序不定，有A eq \o\al(4,4) ＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的 eq \f(1,24) ，故 eq \f(1,24) A eq \o\al(7,7) ＝210(个)七位数符合条件． 答案：210种 2．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同珠安排方法共有________种． 解析：首先把5个班分成4组，即2，1，1，1，有eq \o\al(2,5) eq \f(CC eq \o\al(1,3) C eq \o\al(1,2) C eq \o\al(1,1) ,A eq \o\al(3,3) ) 种方法，然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A eq \o\al(4,4) 种方法．由分步乘法计数原理可得不同和安排方法有eq \o\al(2,5) eq \f(CC eq \o\al(1,3) C eq \o\al(1,2) C eq \o\al(1,1) ,A eq \o\al(3,3) ) ·A eq \o\al(4,4) ＝240(种). 答案：240 类型四　“隔板法”在计数问题中的妙用 (1)排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中(n≥m)，每个对象至少有一个元素．这为类问题必须满足三个条件：①元素必须相同；②对象必须不同；③每个对象至少有一个元素．当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法． (2)通过对隔板法的应用，可得下列结论． 结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排同成一排，从n－1个间隙中，选出m－1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝C eq \o\al(m－1,n－1) . 结论2：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，某些组允许落空，则可将m－1个隔板和n个元素排成一排，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝C eq \o\al(m－1,m＋n－1) . [例4]　将7个相同的小球放入4个不同的盒子中， (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？ 解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有C eq \o\al(3,6) ＝20(种). (2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C eq \o\al(3,10) ＝120(种)放入方式． 某市教委准备在当地的9所重点中学中选派12名优秀青年教师参加中职培训，每所学校至少一个名额，求不同的分配方案的种数． 解：该问题的实质为将12个相同的元素分成9堆，每一堆至少一个元素，“隔板法分堆”，即在12个相同元素构成的11个空中插入8个隔板，其方法有C eq \o\al(8,11) ＝165(种).故不同的分配方案种数为165. $