6.2.3&6.2.4 第2课时 组合与组合数的应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦组合与组合数的应用，涵盖有限制条件的组合、几何组合及分组分配问题，通过课前预习铺垫基础，课堂互动以医疗队选派等实例导入，衔接排列与组合知识，构建“实例-方法-总结”的学习支架。 其亮点在于以具体问题（如四棱锥取点、书籍分组）为载体，通过分类讨论与间接法培养数学思维，反思感悟总结解题策略强化数学建模与运算能力。学生能提升实际问题解决能力，教师可直接利用系统的题型与训练资源。

第六章　计数原理 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 6.2　排列与组合 6.2.3　组合　6.2.4　组合数 第2课时　组合与组合数的应用 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（六） Part 03 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课时作业（六） 点击进入word 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题； 2．能解决有限制条件的组合问题． 在利用组合数与排列数公式解决组合及排列组合的实际应用问题的过程中，提升数学建模、数学运算的核心素养． 题型一　有限制条件的组合问题 [例1]　某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队． (1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？ 解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C eq \o\al(3,18) ＝816种． (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C eq \o\al(5,18) ＝8 568种． (3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C eq \o\al(1,2) ·C eq \o\al(4,18) 种选法；甲、乙两人都参加，则有C eq \o\al(3,18) 种选法．故共有C eq \o\al(1,2) ·C eq \o\al(4,18) ＋C eq \o\al(3,18) ＝6 936种． (4)法一：(直接法)男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女． 所以共有C eq \o\al(1,12) ·C eq \o\al(4,8) ＋C eq \o\al(2,12) ·C eq \o\al(3,8) ＋C eq \o\al(3,12) ·C eq \o\al(2,8) ＋C eq \o\al(4,12) ·C eq \o\al(1,8) ＝14 656种． 法二：(间接法)由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得C eq \o\al(5,20) －(C eq \o\al(5,8) ＋C eq \o\al(5,12) )＝14 656种． [反思感悟] 有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题， 主要有两类： (1)“含”与“不含”问题， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取， 分步计数； (2)“至多”“至少”问题， 其解法常有两种解决思路：一是直接分类法， 但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏． 课外活动小组共13人，其中男生8人、女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生当选； (2)两名队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选． 解：(1)一名女生，四名男生．故共有C eq \o\al(1,5) ·C eq \o\al(4,8) ＝350种． (2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C eq \o\al(2,2) ·C eq \o\al(3,11) ＝165种． (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长． 故共有：C eq \o\al(1,2) ·C eq \o\al(4,11) ＋C eq \o\al(2,2) ·C eq \o\al(3,11) ＝825种，或采用排除法，有C eq \o\al(5,13) －C eq \o\al(5,11) ＝825种． (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生． 故选法为：C eq \o\al(2,5) ·C eq \o\al(3,8) ＋C eq \o\al(1,5) ·C eq \o\al(4,8) ＋C eq \o\al(5,8) ＝966种． 题型二　几何中的组合问题 [例2]　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 解：(1)法一：可作出三角形C eq \o\al(3,6) ＋C eq \o\al(1,6) ·C eq \o\al(2,4) ＋C eq \o\al(2,6) ·C eq \o\al(1,4) ＝116(个). 法二：可作出三角形C eq \o\al(3,10) －C eq \o\al(3,4) ＝116(个). 其中以C1为顶点的三角形有C eq \o\al(2,5) ＋C eq \o\al(1,5) ·C eq \o\al(1,4) ＋C eq \o\al(2,4) ＝36(个). (2)可作出四边形C eq \o\al(4,6) ＋C eq \o\al(3,6) ·C eq \o\al(1,6) ＋C eq \o\al(2,6) ·C eq \o\al(2,6) ＝360(个). [反思感悟] 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强. (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． 在四棱锥P­ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有(　　) A．40种　　　　　　　　 B．48种 C．56种 D．62种 解析：选C　满足要求的点的取法可分为3类： 第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C eq \o\al(3,5) 种取法； 第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C eq \o\al(3,4) 种取法； 第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C eq \o\al(1,2) 种取法． 所以满足题意的不同取法共有4C eq \o\al(3,5) ＋2C eq \o\al(3,4) ＋4C eq \o\al(1,2) ＝56种，选C. 题型三　分组、分配问题 [例3]　有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？ (1)分成三组，每组分别有1本、2本、3本； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本． (3)分成三组，每组都是2本，有多少种不同的分法？ (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法？ 解：(1)分三步：先选一本有C eq \o\al(1,6) 种选法，再从余下的5本中选两本有C eq \o\al(2,5) 种选法，最后余下的三本全选有C eq \o\al(3,3) 种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C eq \o\al(1,6) ·C eq \o\al(2,5) ·C eq \o\al(3,3) ＝60种． (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C eq \o\al(1,6) ·C eq \o\al(2,5) ·C eq \o\al(3,3) ·A eq \o\al(3,3) ＝360种． (3)先分三组，有C eq \o\al(2,6) C eq \o\al(2,4) C eq \o\al(2,2) 种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但C eq \o\al(2,6) C eq \o\al(2,4) C eq \o\al(2,2) 种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A eq \o\al(3,3) 种情况，而这A eq \o\al(3,3) 种情况只能作为一种分法，故分配方式有eq \o\al(2,6) eq \f(CC eq \o\al(2,4) C eq \o\al(2,2) ,A eq \o\al(3,3) ) ＝15种． (4)先平均分成三组，有eq \o\al(2,6) eq \f(CC eq \o\al(2,4) C eq \o\al(2,2) ,A eq \o\al(3,3) ) 种分法，再分给3个人，所以分配方式共有eq \o\al(2,6) eq \f(CC eq \o\al(2,4) C eq \o\al(2,2) ,A eq \o\al(3,3) ) ·A eq \o\al(3,3) ＝90种． [反思感悟] 分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种． ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题．可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C eq \o\al(3,5) ＝10(种)放法． (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2人空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C eq \o\al(2,5) 种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C eq \o\al(1,4) 种插法，故共有C eq \o\al(2,5) ·C eq \o\al(1,4) ＝40(种)放法． (3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C eq \o\al(1,5) 种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子． 如||00||0000|，有C eq \o\al(2,3) 种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C eq \o\al(1,3) 种插法． 故共有C eq \o\al(1,5) ·(C eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(1,3) )＝30(种)放法． [课堂小结] 1．“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准． 2．几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决． 3．分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的． $