6.2.3&6.2.4 第1课时 组合与组合数（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦“组合与组合数”核心内容，涵盖组合定义、与排列的区别、组合数公式及应用。通过“取数运算”等问题导入，引导学生对比排列与组合，衔接排列知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动数学抽象，通过概念辨析、公式计算、实际问题等题型培养逻辑推理与数学运算素养。课堂小结系统梳理知识联系，助力学生构建体系，既提升学生核心素养，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第六章　计数原理 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 6.2　排列与组合 6.2.3　组合　6.2.4　组合数 第1课时　组合与组合数 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（五） Part 03 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 作为一组 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 所有不同组 合的个数 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 1 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课时作业（五） 点击进入word 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系； 2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算； 3．会解决一些简单的组合问题． 1．通过对组合概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．组合数公式的应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养； 3．通过利用组合与组合数公式解决简单的实际问题，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点一　组合的定义 [问题]　从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘． (1) 所得商和积的个数相同吗？ 答： 不相同． (2)它们是排列吗？ 答： 从1，3，5，7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列． ►知识填空 1．组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合与排列的区别：组合无序，排列有序． [点睛] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题． 知识点二　 [问题]　从1，3，5，7中任取两个数相除，可得到A eq \o\al(2,4) 个商数，也可用分步法求商的个数，按照下列步骤得到： 第1步，从这四个数中任取两个数，有C eq \o\al(2,4) 种方法； 第2步，将每个组合中的两个数排列，有A eq \o\al(2,2) 种排法． 由分步乘法计数原理，可得商的个数为C eq \o\al(2,4) A eq \o\al(2,2) ，由此你能得到C eq \o\al(2,4) 和A eq \o\al(2,4) 的关系吗？ 答：C eq \o\al(2,4) ＝eq \o\al(2,4) eq \f(A,A eq \o\al(2,2) ) ＝6. ►知识填空 组合数及组合数公式： 组合数定 义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________ ___________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C eq \o\al(m,n) 表示 组合数公式 乘积 形式 C eq \o\al(m,n) ＝ eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！) 阶乘 形式 C eq \o\al(m,n) ＝ eq \f(n！,m！(n－m)！) 性质 C eq \o\al(m,n) ＝_______ C eq \o\al(m,n＋1) ＝_______＋_______ 备注 规定C eq \o\al(0,n) ＝_____ C eq \o\al(n－m,n) C eq \o\al(m,n) C eq \o\al(m－1,n) [点睛] (1)组合数与组合是两个不同的概念．根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数． (2)组合数公式可以由排列数公式表示，但要注意公式的结构． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)C eq \o\al(3,5) ＝5×4×3＝60.(　　) (2)C eq \o\al(2016,2017) ＝C eq \o\al(1,2017) ＝2017.(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　　) A．a，b，c与b，c，a B．a，b，c与a，c，b C．a，c，d与d，a，c D．a，b，c与a，b，d 解析：选ABC　元素相同，组合相同． 3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　) A．14 B．24 C．28 D．48 解析：选A　从6人中任选4人的选法种数为C eq \o\al(4,6) ＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14. 4．计算：C eq \o\al(48,50) ＋C eq \o\al(49,50) ＝________． 解析：C eq \o\al(48,50) ＋C eq \o\al(49,50) ＝C eq \o\al(49,51) ＝C eq \o\al(2,51) ＝ eq \f(51×50,2×1) ＝1 275. 答案：1 275 题型一　组合的概念 [例1]　判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？ 解：(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的． (2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别． (3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的． [反思感悟] 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合． 判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)已知集合P＝{1，2，3，4}，则集合P含有3个元素的子集有多少个？ (2)5个人中每2个人都要握一次手，共握多少次手？ (3)从a，b，c，d4个景点中选出2个作为浏览区，有多少种选择方案？ (4)把4本相同的数字书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？ (5)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ 解：(1)因为集合中取出元素具有“无序性”，故这是组合问题； (2)因为两人握手是相互的，没有顺序之分，所以这是组合问题； (3)选出2个景点作为浏览区，这和两个景点的顺序无关，所以是组合问题； (4)由于4本数字书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关，是组合问题； (5)因为5种工作是不同的，分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，是排列问题． 题型二　组合数公式及应用 [例2]　(1)计算：C eq \o\al(5,8) ＋C eq \o\al(98,100) ·C eq \o\al(7,7) . (2)若eq \o\al(3,n) eq \f(1,C) －eq \o\al(4,n) eq \f(1,C) <eq \o\al(5,n) eq \f(2,C) ，求n的取值集合． 解：(1)原式＝C eq \o\al(3,8) ＋C eq \o\al(2,100) ×1＝ eq \f(8×7×6,3×2×1) ＋ eq \f(100×99,2×1) ＝56＋4 950＝5 006. (2)由 eq \f(6,n(n－1)(n－2)) － eq \f(24,n(n－1)(n－2)(n－3)) ＜ eq \f(240,n(n－1)(n－2)(n－3)(n－4)) ， 可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12. 又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5，6，7，8，9，10，11}． 所以n的取值集合为{5，6，7，8，9，10，11}． [反思感悟] (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N*. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式以及组合数的性质．求解时，要注意由C eq \o\al(m,n) 中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意． (1)计算：C eq \o\al(98,100) ＋C eq \o\al(199,200) ； (2)证明：C eq \o\al(m,n) ＝ eq \f(n,n－m) C eq \o\al(m,n－1) . 解： (1)C eq \o\al(98,100) ＋C eq \o\al(199,200) ＝C eq \o\al(2,100) ＋C eq \o\al(1,200) ＝ eq \f(100×99,2) ＋200＝4 950 ＋200＝5 150. (2)证明： eq \f(n,n－m) C eq \o\al(m,n－1) ＝ eq \f(n,n－m) · eq \f((n－1)！,m！(n－1－m)！) ＝ eq \f(n！,m！(n－m)！) ＝C eq \o\al(m,n) . 题型三　简单的组合问题 [例3]　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加． 解：(1)从中任取5人是组合问题，共有C eq \o\al(5,12) ＝792种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C eq \o\al(2,9) ＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C eq \o\al(5,9) ＝126种不同的选法． (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C eq \o\al(1,3) ＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C eq \o\al(4,9) 种选法．共有C eq \o\al(1,3) C eq \o\al(4,9) ＝378种不同的选法． [反思感悟] 解答简单的组合问题的方法 (1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果． 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 解析：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C eq \o\al(2,10) ＝eq \o\al(2,10) eq \f(A,A eq \o\al(2,2) ) ＝ eq \f(10×9,2×1) ＝45. (2)可把问题分两类情况： 第一类，选出的2名是男教师有C eq \o\al(2,6) 种方法； 第二类，选出的2名是女教师有C eq \o\al(2,4) 种方法． 根据分类加法计数原理，共有C eq \o\al(2,6) ＋C eq \o\al(2,4) ＝eq \o\al(2,6) eq \f(A,A eq \o\al(2,2) ) ＋eq \o\al(2,4) eq \f(A,A eq \o\al(2,2) ) ＝ eq \f(6×5,2×1) ＋ eq \f(4×3,2×1) ＝15＋6＝21(种)不同的选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C eq \o\al(2,6) 种，从4名女教师选2名的选法有C eq \o\al(2,4) 种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C eq \o\al(2,6) ×C eq \o\al(2,4) ＝eq \o\al(2,6) eq \f(A,A eq \o\al(2,2) ) ×eq \o\al(2,4) eq \f(A,A eq \o\al(2,2) ) ＝ eq \f(6×5,2×1) × eq \f(4×3,2×1) ＝90(种). 答案：(1)45　(2)21　(3)90 [课堂小结] 1．排列与组合的联系与区别 (1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算 (1)涉及具体数字的可以直接用公式 C eq \o\al(m,n) ＝eq \o\al(m,n) eq \f(A,A eq \o\al(m,m) ) ＝ eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！) 计算； (2)涉及字母的可以用阶乘式C eq \o\al(m,n) ＝ eq \f(n！,m！(n－m)！) 计算． $