精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市临河区巴彦淖尔市衡越实验学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期第三次学情调研诊断 九年级数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，A选项错误，所以A选项不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，B选项错误，所以B选项不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，C选项错误，所以C选项不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，D选项正确，所以D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念． 2. 已知的半径为，点在外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系是关键：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．根据点和圆的位置关系判断即可． 【详解】解：的半径为，点在外， ， 选项中只有， 的长可能是， 故选：D． 3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 与x轴没有交点 D. 对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二次函数的解析式为顶点式形式，通过分析开口方向、顶点坐标、判别式及对称轴判断各选项正误． 【详解】解：∵二次函数， ，开口向上，故A正确； 顶点坐标为，故B正确； 令，得，即，无实数解， ∴ 与x轴没有交点，故C正确； 对称轴为直线，故D错误， 故选：D． 4. 点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，当时，在每一个象限内随的增大而增大，由于、在第二象限，，则；在第四象限，，从而得到答案． 【详解】解：点、、都在反比例函数的图像上， 当时，在每一个象限内随的增大而增大， 、在第二象限，， ， 在第四象限，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键． 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是掌握垂径定理．由垂径定理可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 水位高为， 故选：B． 6. 如图， △内接于⊙O,是⊙O的直径，∠.则∠的度数是 （ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数． 【详解】连接BD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∵∠BCD＝54°， ∴∠D＝90°−∠BCD＝36°， ∴∠A＝∠D＝36°． 故选A． 【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 7. 如图，在中，，，，为中点．分别以为半径作弧，与分别交于、两点，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积，先算出，再结合图中阴影部分的面积，分别代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵分别以为半径作弧，与、分别交于、两点， ∴图中阴影部分的面积 ． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵四边形为矩形，的中点为D， ∴设点D的坐标为：，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把直接代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 11. 已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，n）和B（–1，–6），如图所示．则不等式kx+b＞的解集为__________． 【答案】–1<x<0或x＞2 【解析】 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】观察函数图象，发现：当–1<x<0或x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式kx+b＞的解集是–1<x<0或x＞2． 故答案为–1<x<0或x＞2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 12. 2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到_________千米/小时． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式．设，根据题意求出k，然后代入即可求得答案． 【详解】解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． 三、解答题（共64分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用求根公式法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点O成中心对称的； （3）在（1）的条件下，求出点C经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，中心对称作图，弧长公式．掌握旋转和中心对称的作法是解题的关键． （1）根据旋转的性质确定出点的位置，然后顺次连接即可求解； （2）根据中心对称的性质确定出点的位置，然后顺次连接即可求解． （3）点C经过的路径是以点A为圆心，半径为，圆心角为的一段弧，据此进行解答即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由题意可得， ∵点C经过的路径是以点A为圆心，半径为，圆心角为的一段弧， ∴点C经过的路径长为． 15. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在直线上方的抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点的坐标，不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（）将分别代入抛物线即可． （）先利用待定系数法求出直线的解析式，再计算出的面积，结合题意得到的面积；设出点的坐标，作辅助线轴交于，表示出线段的长度，再根据三角形面积公式列出方程，求解参数后得到点的坐标，判断点是否存在． 【小问1详解】 解：将分别代入抛物线， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 存在． 理由：设直线的解析式为，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 设， 过作轴交于，则， ∴ 整理得， 用求根公式解得：， 当时，， 即， 当时，， 即． 综上可知，或 16. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ， ； （2） 证明：连接，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 17. 在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，连接，则线段与的数量关系是_________，位置关系是________； （2）如图2，当点在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并加以证明； （3）如图3，在四边形中，．若，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）， 理由是：如图2，     ∵， ∴， 在和中， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，将绕点A逆时针旋转至，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， 中， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键． 18. 根据背景素材，探索解决实际问题 素材一 乒乓球发球机的运动路线 如图1所示，乒乓球台规格约是长为宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时达到最高点，此时球与桌面的距离是h． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M的坐标为__________； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球着落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 【答案】（1）；（2）0.5；（3）球能落到对方台面上，落球点为（0.475，0） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与坐标轴的交点，求直线关系式， （1）将代入，求出解即可； （2）设反弹后抛物线解析式为，再将点代入关系式，求出解； （3）反弹后最高点为，球擦网点为，再求出过这两点的直线解析式，然后令，求出，则此题可解． 【详解】解：（1）将代入，得 ， 解得或， ∴． （2）设反弹后抛物线解析式为 由题意得 解得， ， 的值为； （3）能．理由如下： 反弹后最高点为，球擦网点为 设过这两点的直线解析式为，依题意得： 解得 令，得 解得． 所以球能落到对方台面上，落球点为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第三次学情调研诊断 九年级数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，点在外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 与x轴没有交点 D. 对称轴是直线 4. 点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， △内接于⊙O,是⊙O的直径，∠.则∠的度数是 （ 　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，为中点．分别以为半径作弧，与分别交于、两点，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 10. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 11. 已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，n）和B（–1，–6），如图所示．则不等式kx+b＞的解集为__________． 12. 2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到_________千米/小时． 三、解答题（共64分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点O成中心对称的； （3）在（1）的条件下，求出点C经过的路径长． 15. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在直线上方的抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点的坐标，不存在请说明理由． 16. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 17. 在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，连接，则线段与的数量关系是_________，位置关系是________； （2）如图2，当点在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并加以证明； （3）如图3，在四边形中，．若，请直接写出的长． 18. 根据背景素材，探索解决实际问题 素材一 乒乓球发球机的运动路线 如图1所示，乒乓球台规格约是长为宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时达到最高点，此时球与桌面的距离是h． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M的坐标为__________； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球着落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $