1.4 线段的垂直平分线第2课时 三角形三边的垂直平分线课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形三边垂直平分线的性质、尺规作图及应用，通过折纸情境导入和复习线段垂直平分线性质判定定理，衔接旧知，引导探究三角形三边垂直平分线交点性质，搭建从基础到综合的学习支架。 其特色是以探究活动驱动，通过作等腰三角形、过直线外一点作垂线等尺规作图培养几何直观与空间观念，结合外心性质证明发展推理能力，选址问题体现应用意识。学生在动手操作中深化理解，教师可借助资料高效落实核心素养，提升教学效果。

北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 4　线段的垂直平分线 第2课时　三角形三边的垂直平分线 1 情境导入 如图，看这些漂亮的折纸，是多么精致的手工啊，大家羡慕吧！今天我们也来上一节折纸课，秀一秀我们的巧手．下列图形具有哪些共同的特征呢？ 置疑导入 问题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么？ 问题2：你能作出三角形三条边的垂直平分线吗？这三条垂直平分线有什么特点？画一画，议一议． 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 探究新知 ◆活动1　 (1)尺规作图作三角形三条边的垂直平分线． 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等． 思考 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗? 能，这样的三角形能画出无数个，因为高的位置可以不同，所以它们不都全等. (2) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个? 因为等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边，所以能用尺规作出满足条件的等腰三角形，且这样的三角形只有一个. 探究新知 作法 图形 已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. △ABC就是所要作的等腰三角形． a h a l A B C h D 1．作线段BC，使BC ＝a． 2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D． 3．在l上作线段DA，使DA＝h． 4．连接AB，AC． 思考： A B M l P 如果点P在直线l外呢?此时，还能运用这种转化的方法吗? • 还记得用尺规过直线l上一点P作的垂线的方法吗? 这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题. 作法 图形 已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P. A B m l P Q • • 1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. 2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧， 交直线l于点A和点B. 3. 作线段 AB的垂直平分线m. 直线m就是所要作的直线. 为什么直线m经过点P? 因为点P到直线上点A，B的距离相等， 所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上. 例1 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E. 求证：边AC的垂直平分线经过点P. 分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论? B A C P E D 证明：如图，连接PA，PB，PC. B A C P E D ∵ 点P在边AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB=PC. ∴ PA=PB=PC. ∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P. 跟踪训练 1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B＝_____． 2.如图，O是△ABC的三边垂直平分线的交点，如果∠A＝65°，那么∠OBC＝____． 30° 25° 根据线段垂直平分线的性质得到相等的线段，结合等边对等角或全等的证明方法，解决其他相关的综合问题． 探究新知 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由． E C B A D F 解：DE＝BF，DE⊥BF. G 理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G. ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°， E C B A D F G ∴∠ABC＝67.5°， ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴BC＝DC. 又∵CE＝CF，∠BCD＝∠DCE＝90°， ∴△ECD≌△FCB(SAS)， ∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB. ∵∠CFB＋∠CBF＝90°， ∴∠CED＋∠CBF＝90°， ∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF. 跟踪训练 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若CD∶BD＝3∶5，则CD的长为______． 4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E.若AE＝3，△ABC的周长为15，则△ABD的周长等于____． 9 6cm 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P， 且PA＝PB＝PC. P A B C 探究1 【三角形三条边垂直平分线的性质的证明】 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. ◆活动2　 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)． 同理，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， 即边AC的垂直平分线经过点P. P A B C 归纳总结 符号语言： ∵ 直线MN，EF，PQ分别垂直平 分线段BC，AB，AC， ∴ 直线MN，EF，PQ相交于点O， 且OA=OB=OC. 三角形三条边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 这个点叫作三角形的外心. 三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下： 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点 钝角三角形 三角形外部 锐角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的内部，直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的外部．上述结论可作为判定三角形类型的依据． 探究新知 5.如果三角形的两条边的垂直平分线交点在第三条边上，那么这个三角形是 ( ) A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 6.如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点位于三角形的内部，那么这个三角形是____(填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形． 跟踪训练 C 锐角 三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．常常利用这个定理解决一些选址问题． 探究新知 探究2 【已知等腰三角形的底边及底边上的高，求作等腰三角形．】 1．议一议： (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ A1 D C B A a h ( ) D C B A a h A1 D C B A a h A1 可以画出无数个三角形 (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ 11111111 已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个，如图. C D A E B O 注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底边的中点在底边上，此时不能构成三角形． (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？ 如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图. C A B D h h 2．尺规作出等腰三角形 如图，已知线段a，h，求作△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h. a h 作法： （1）作线段 BC = a. （2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D. （3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h. （4）连接 AB，AC. △ABC为所求的等腰三角形. B C D A l 探究3 【过直线外一点作已知直线的垂线】 如图，已知△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD. 作法：(1)以点A为圆心，适当长为半径画弧， 交直线BC于点M，N； (2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为 半径画弧，两弧相交于点P； (3)作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求作的△ABC的边BC上的高． 求证：AD是△ABC的高． A B C D M N P A B C D M N P 证明：连接AM，AN，PM，PN，易得AM＝AN，PM＝PN， ∴点A和点P在MN的垂直平分线上， ∴即AP垂直平分MN， ∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高． 探究新知 例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P. (1)若∠A＝35°，则∠BPC＝________； (2)若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周长为________cm. A D P B C ◆活动3 32 【方法指导】 A D P B C (1)70° (2)8 (1)∵DP垂直平分AB，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP，∴∠ABP＝35°，∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝35°＋35°＝70°； (2)∵AB＝AC＝5 cm，AC＝AP＋PC，∴AP＋PC＝5 cm.∵AP＝BP，∴BP＋PC＝5 cm，∴△PBC的周长为BP＋PC＋BC＝5＋3＝8(cm). 例4 如图，靠河边有一块三角形菜地，要分给甲、乙、丙、丁四 家，为了分配合理，需要所分的面积相等，而且每家的菜地都要有靠河边的位置，便于取水浇地．你能想办法将菜地合理分配吗？ (保留作图痕迹) A B C 【方法指导】根据题意，要想将△ABC的面积四等分，需将线段BC四等分，因此在BC边上作三条垂直平分线即可． 如图所示，△ABD，△ADE，△AEF，△AFC就是分给甲、乙、丙、丁四家等面积且都有靠河边的菜地． A B C D E F 解：①作线段BC的垂直平分线交BC于点E ②作线段BE的垂直平分线交BE于点D ③作线段CE的垂直平分线交CE于点F ④连接AD、AE、AF即可得到四个等底等高的三角形 随堂练习 1．P为△ABC内一点，且点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P是 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三个角的平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在这个三角形外，那么这个三角形是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 C D 3.尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)． (1)如图①，作出直线l的垂线PQ； (2)如图②，作出△ABC的边BC上的高AD. 解：(1)如图①，PQ即为所求． (2)如图②，AD即为所求． Q P l 图① A B C D 图② 37 4．如图，已知线段a，b，h(h<b)，请用尺规作图法作锐角三角形ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h.(保留作图痕迹，不写作法) a b h 解：第一步：作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ； 第二步：在DM上截取线段AD＝h； 第三步：以A为圆心，b为半径画弧交射线DP于C，连接AC； 第四步：以C为圆心，a为半径画弧，交射线BP于B，连接AB； 则△ABC即为所求． M A Q B D C P 5．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了实现村民子女就近入学，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置. 解：作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线MN； ②连接BC，作线段BC的垂直平分线M′N′，MN与M′N′交于点P，点P就是所求学校的位置． A B C M N M′ N′ P 1．你这节课的主要收获是什么？ 2．在探索三角形三边垂直平分线的性质过程中，我们运用了哪些方法？ 课堂小结 课本P37－38习题1.4中的T1、T2、T6、T7. 课后作业 42 $