1.2　等腰三角形第3课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦等边三角形的判定（三个角相等、等腰三角形含60°角）及含30°角直角三角形的性质，通过生活中交通安全警示标志的等边三角形实例导入，衔接等腰三角形旧知，以探究活动为支架构建新知。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如标志实例），通过拼接三角尺实验和分情况证明（如等腰+60°角两种情况）培养推理意识，结合自动扶梯等实际例题强化应用意识。学生能提升探究与应用能力，教师可依托清晰流程与丰富例题优化教学。

北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 2　等腰三角形 第3课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1 复习导入 这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志． 图中的三角形都是________三角形． 等边 【探究1】等边三角形的判定方法 探究新知 一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请证明自己的结论. （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C. 求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB. ∵∠A＝∠C，∴BC＝AB， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形． A B C （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 A B C 证明： ①若 AB =AC，∠A =60°， 60° 则∠B = ∠C = (180°– ∠A)÷2=60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC 是等边三角形。 A B C 60° 证明： ②若AB＝AC，∠B= 60°， （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 ∴∠C=∠B=60°。 则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC 是等边三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°) ∴△ABC是等边三角形 等边三角形的判定 等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳： 等腰三角形 等边三角形 边 角 三条边都相等的三角形是等边三角形 两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 两条边相等的三角形是等腰三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 证明等边三角形的思路： 三角形 等边 三角形 等腰三角形 有一个角等于60° 等腰三角形的判定 思路1：三边相等 思路2：三角相等 【探究2】含30°角的直角三角形的性质 (1) 用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 两个完全相同的含 30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形. 尝试·思考 (2) 在上述拼接过程中，你发现了什么结论?请证明你的结论. 由此可以发现： 30°角的对边等于三角尺斜边的一半. 已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB. A B C 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接 AD. ∵ ∠ACB=90°， ∴ ∠ ACD=90°. ∵ AC=AC， ∴ △ABC≌△ADC(SAS). ∴ AB=AD(全等三角形的对应边相等). A B C D 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理). A B C D ∵ ∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴ ∠B=180°-30°- 90°=60°. ∴ △ABD是等边三角形(有一个角等于60° 的等腰三角形是等边三角形). ∴ BC=BD=AB. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： A B C 30° 含30°角的直角三角形的性质： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵∠A=30°， ∴BC= AB 例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高. 求证：CD=AB. A B C D 证明：在△ABC中，∵ AB=AC，∠B=15°， A B C ∴ ∠ADC=90°. ∴ ∠ACB=∠B=15°(等边对等角). ∴ ∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30° (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和). ∵ CD是腰 AB上的高， ∴ CD=AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半). ∴ CD=AB. 应用举例 【例1】如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E,DE的反向延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°. 求证：△ABC是等边三角形． 【方法指导】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，从而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可证明△ABC是等边三角形． 证明：∵CD＝CF， ∴∠CDF＝∠F. 又∵∠CDF＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠F. ∵DE⊥AB， ∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°， ∴∠A＝∠B， ∴△ABC是等腰三角形． 又∵∠F＝30°， ∴∠B＝90°－∠F＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【例2】求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半． 【方法指导】这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝AC. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高． 求证：CD＝AB. 证明：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB＝∠B＝15°， ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC＝90°. ∴CD＝AC. ∴CD＝AB. 归纳总结 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 等边三角形的判定 定义法 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 判定定理 直角三角形的性质定理 三条边都相等的三角形是等边三角形 随堂练习 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE.下列结论：①△ADE是等边三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°.其中正确的有 ( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ D 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是 ( ) A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 A 3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是____． 4．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有__________．(填序号) 5 ①②③④ 5 ．如图，∠B＝90°，AB＝6 cm，∠BAC＝30°，D为BC延长线上一点，AC＝DC，则AD＝____cm. 12 6．如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5 m，自动扶梯的倾斜角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5 m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为____s. 26 7.如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求证：△OCD是等边三角形． 证明：∵OA＝OB，∠A＝60°， ∴∠B＝∠A＝60°. 又∵AB∥CD， ∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°， ∴△OCD是等边三角形． ∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°， 8. 已知：如图，BD∥AC，∠C=60°，DA平分∠BDC. 求证：△ACD是等边三角形. 证明：∵ BD∥ AC， ∴ ∠C+∠BDC=180°，∠DAC=∠ADB. ∵ ∠C=60°， ∴ ∠BDC=120°. ∵ DA平分∠BDC， ∴ ∠ADC=∠ADB=∠BDC=60°， ∴ ∠ADC=∠C=∠DAC， ∴ △ACD是等边三角形. 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长. 解：∵ CD是△ABC的高， ∴ CD⊥AB， ∴ ∠BDC=90°. 在Rt△BDC中，∠B=60°， ∴ ∠BCD=90°-60° =30°， ∴ BD=BC. ∵ BD=1， ∴ BC=2BD=2×1=2. 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=60°， ∴ ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°， ∴ BC=AB， ∴ AB=2BC=2×2=4. ∴ AD=AB-BD=4-1=3. 这节课的收获是什么？ 课堂小结 课本P21－22习题1.2中的T8、T9. 课后作业 35 $