1.2　等腰三角形第2课时　等腰三角形的判定与反证法课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定（等角对等边）与反证法，通过复习等腰三角形性质（等边对等角、三线合一等）导入，搭建性质与判定的互逆联系，引导学生从已知探究未知。 其亮点是以探究驱动学习，构造全等三角形证明判定定理培养推理能力，反证法通过实例（如证三角形不能有两直角）明晰步骤，符号语言与表格归纳提升表达。助力学生理解逻辑关系，教师可借丰富例题提升教学效率。

北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 2　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定与反证法 1 复习导入 (1)等腰三角形的两底角________． (2)等腰三角形_____________、____________及_____________重合． (3)等边三角形的三个内角都_______，并且每个内角都是_______． 相等 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高 相等 60° 【探究1】等腰三角形的判定 探究新知 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等. 反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? A B C 可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形. A B C 如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC， 只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为 对应边就可以了. 如何证明这一结论呢? 如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°. A B C D 在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD(AAS)， ∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等). 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). B C A 符号语言：在△ABC中，∵ ∠B =∠C ，∴ AB =AC . 注意：（1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中. （2）在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 等腰三角形判定方法归纳： 判定方法 边 角 两条边相等的三角形是等腰三角形 两个角相等的三角形是等腰三角形 例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴ △ABD≌△DCA(SSS). ∴ ∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等). ∴ AE=DE(等角对等边). ∴ △AED是等腰三角形. 解题通法 “等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法.在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等. 9 【探究2】反证法 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为小明这个结论成立吗? 小明的思考过程如下.你能理解他的推理过程吗? B C A 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法. 注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的; 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°. 于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 13 注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件. 解题通法 用反证法证明的一般步骤 (1) 先假设结论的反面是正确的； (2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果； (3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 应用举例 C 【例2】用反证法证明某一命题的结论“a>b”时，应假设 ( ) A．a<b B．a≥b C．a＝b D．a≤b 【例3】在△ABC中，∠A＝100°.若∠B＝______，则△ABC是等腰三角形． D 40° 【例4】如图，AB＝DC，BD＝CA.求证：△AED是等腰三角形． 证明：在△ABD和△DCA中， ∴△ABD≌△DCA(SSS)， ∴∠ADB＝∠DAC， ∴AE＝DE， ∴△AED是等腰三角形． 【方法指导】要证明△AED是等腰三角形，可以通过△ABD≌△DCA得到∠DAE＝∠ADE. 【例5】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F，交AC于点E，求证：△AEF是等腰三角形． 【方法指导】根据角平分线和余角的性质，可得相等的角，再根据等角对等边得到等腰三角形． 证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°， ∴∠1＝∠C. 又∵BE平分∠ABC， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3. 又∵∠AFE＝∠1＋∠2，∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形． 【例6】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C不能有两个角是钝角． 【方法指导】利用“反证法”的一般步骤：(1)假设；(2)归谬；(3)结论来证明． 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角都是钝角，不妨设∠A和∠B是钝角，即∠A＞90°，∠B＞90°， 于是∠A＋∠B＋∠C＞180°， 这与三角形内角和定理相矛盾． 因此“∠A和∠B是钝角”的假设不成立， 所以，一个三角形中不能有两个角是钝角． 归纳总结 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为“等角对等边” 等腰三角形的判定 反证法 判定定理 有两条边相等的三角形是等腰三角形 定义法 引入 随堂练习 1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 B 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° B 3．用反证法证明结论“a，b，c至少有一个是正数”，应先假设 ( ) A．a，b，c都是正数 B．a，b，c都不是正数 C．a，b，c至多有一个正数 D．a，b，c至多有两个正数 B 4. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由. 解：△BDE是等腰三角形.理由如下： ∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠EBD=∠CBD. ∵ DE∥ BC， ∴ ∠EDB=∠CBD， ∴ ∠EBD=∠EDB， ∴ EB=ED(等角对等边)， ∴ △BDE是等腰三角形. 5. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少 有一个数大于或等于. 证明：假设这五个正数分别为a1，a2，a3，a4，a5，其中没有 一个大于或等于，即都小于， 则a1+a2+a3+a4+a5<1. 这与已知a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾， 所以假设不成立. 所以，这五个正数中至少有一个数大于或等于. 这节课的收获是什么？ 课堂小结 课本P21习题1.2中的T6、T7. 课后作业 29 $