1.1　三角形内角和定理第2课时　三角形内角和定理的推论课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形外角定义及推论，通过“从三角形顶点‘走出去’”的情景提问导入，衔接内角和定理，引导学生从已有知识自然过渡到外角概念，构建“内角和→外角定义→外角与内角关系”的学习支架。 其亮点在于以探究活动（画外角、证明等量关系）培养几何直观和推理意识，例题分层设计且提供多种证法，结合随堂练习巩固应用，体现数学思维与应用意识。学生能在探究中发展推理能力，教师可借助结构化资源提升教学效率。

北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 1　三角形内角和定理 第2课时　三角形内角和定理的推论 1 情景导入 我们都知道三角形的内角和是180°， 那如果我们从三角形的一个顶点“走出去”(如图)， 这个三角形外的角应该怎么定义？ 一个三角形有几个类似的角呢？ △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角. 外角的一条边是该内角的一边 外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线 外角的顶点是该内角的顶点 【探究1】探究三角形的外角与内角的等量关系 探究新知 如图，∠1是△ABC的一个外角. 问题 你能在图中画出△ABC的其他外角吗? B C A D 4 2 3 1 每一个三角形都有6个外角. 每一个顶点相对应的外角都有2个， 且这2个角为对顶角. ∠1与其他角有什么关系?请证明你的结论. B C A D 4 2 3 1 ∠1 +∠4 =180°， 思考·交流 ∠1=∠2+∠3， ∠1>∠2，∠1>∠3. 证明如下： ∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理)， B C A D 4 2 3 1 ∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的基本性质)， ∵∠1+∠4=180°(平角的定义)， ∴∠1=180°-∠4(等式的基本性质)， ∴ ∠1=∠2+∠3(等量代换)， ∴ ∠1>∠2，∠1>∠3. 6 (1)如图，∠1是由△ABC的边_____和△ABC的边_____的延长线组成的，故∠1是△ABC的一个______角． CB AB 外 试一试 (2)①△ABC的外角是_______，△DEC的外角是______；(均用数字表示角) ②∠3＋∠4＋∠CBA＝_______； ③∠1与∠3，∠4的等量关系是_______________． ∠1 ∠3 180° ∠1＝∠3＋∠4 由三角形内角和定理，可以得到 推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【例1】(1)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABD＝120°，则∠C的度数是 ( ) A．60° B．70° C．80° D．90° B (2)如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为______．　　　　　　 48° 【例2】(1)将一副直角三角尺如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为 ( ) A．75° B．105° C．135° D．165° D (2)如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝_______． 95° 【探究2】探究三角形的外角与内角的不等关系 ①如右图，可得∠1____∠3＋∠4， ②∠1与∠3的大小关系是_________， ∠1与∠4的大小关系是__________． 推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. ＝ ∠1>∠3 ∠1>∠4 【例3】(1)如图，下列结论正确的是 ( ) A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B　　　 D (2)如图，下列结论：①∠A＞∠ACD；②∠AED＞∠B＋∠D；③∠B＋∠ACB＜180°；④∠AHE＞∠B.其中正确的是________．(填序号) ②③④ 应用举例 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. C B A D E 【方法指导】要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”． 证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C， C B A D E ∴ ∠C=∠EAC. ∵ AD平分∠EAC， ∴ ∠DAC=∠EAC. ∴ ∠DAC=∠C. ∴ AD∥BC. 还有其他证法吗? 证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ，∠B=∠C(已知) ， C B A D E ∴ ∠B=∠EAC. ∵ AD平分∠EAC， ∴ ∠EAD=∠EAC， ∴ ∠EAD=∠B， ∴ AD∥BC. 例2 如图，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°，求∠DAC的度数． 【方法指导】先利用外角性质得到∠3＝∠1＋∠2，然后根据题目条件得出∠4＝2∠2，再在△ABC中利用三角形内角和定理求出结果． 解：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴∠3＝2∠2. 又∵∠4＝∠3， ∴∠4＝2∠2. 设∠2＝x°，则∠4＝2x°. 在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°， ∴x°＋2x°＋78°＝180°， 解得x＝34. ∴∠3＝∠4＝68°. ∴∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝44°. 例3 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC>∠A. 分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理? 这里能直接使用吗?你遇到的困难是什么? 你能通过添加辅助线，构造出直接使用相 关定理的图形吗? 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 不能直接使用，∠BPC与∠A不是同一个三角形的内、外角. B A C P 证明：如图，延长BP，交AC于点D. B A C P D ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任 何一个和它不相邻的内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴ ∠BPC>∠A. 还有其他证法吗? 有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点 D， B A C P D ∵ ∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD， ∴ ∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD， 即∠BPC>∠BAC. 归纳总结 三角形内角和定理 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 推论 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 随堂练习 1．如图，在△ABC中，点D在边AC上(不与端点重合)，连接BD.则∠1，∠2，∠3的大小关系是 ( ) A． ∠1＜∠2＜∠3 B．∠3＜∠1＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3 A 2. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 C 3. 如图，在△ABC中， ∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数. B C A D 解：∵∠A+∠B=∠DCA=100°，∠A=45°， ∴ ∠B=55°. ∵ ∠DCA+∠ACB=180°，∠DCA=100°， ∴ ∠ACB=80°. 4. 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度? A B C 1 3 2 解：∵ ∠1=∠ABC+∠ACB， ∠2=∠BAC+∠ACB， ∠3=∠ABC+∠BAC， ∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC =2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°. 这节课的收获是什么？ 课堂小结 课本P10习题1.1中的T3、T11、T12. 课后作业 31 $