6.2.1&6.2.2 第1课时 排列与排列数（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦选择性必修第三册第六章“计数原理”中的排列与排列数，通过课前预习梳理“一定的顺序”“完全相同”等关键词导入，课堂互动构建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接计数原理基础与排列定义、排列数公式的推导。 其亮点是以“课前预习-课堂互动-课时作业”为框架，通过“不同排列”辨析和排列数公式（n!、n(n-1)...(n-m+1)）推导，培养学生用数学眼光发现顺序关系、用数学思维推理公式逻辑、用数学语言表达数量规律。助力学生构建知识体系，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第六章　计数原理 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 6.2　排列与组合 6．2.1　排列　6.2.2　排列数 第1课时　排列与排列数 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（三） Part 03 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 一定的顺序 完全相同 排列顺序 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 不同排列 n！ 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！ 1 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课时作业（三） 点击进入word 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．了解排列的概念； 2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题． 1．通过排列概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．利用排列数公式计算和证明恒等式，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　排列的定义 [问题]　从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．让你安排这项活动需要分几步？ 答：分两步．第一步确定上午的同学；第二步确定下午的同学． ►知识填空 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照____________排列一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)相同排列：两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素____________，且元素的____________也相同． (3)全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫作n个元素的一个全排列． [点睛] 排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排成一列”． 知识点二　排列数与排列公式 [问题]　两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数字游戏． (1)从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？ 答：4×3＝12个无重复数字的两位数． (2)从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ 答：4×3×2＝24个无重复数字的三位数． (3)从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？ 答：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法． ►知识填空 排列数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 阶乘 正整数从1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作________ 排列数乘积式 A eq \o\al(m,n) ＝_________________________________ 公式 阶乘式 A eq \o\al(m,n) ＝ eq \f(n！,n－m！) 性质 A eq \o\al(n,n) ＝______，0！＝_____ 备注 n，m∈N*，m≤n [点睛] 1．排列与排列数的区别 “排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数． 2．排列数公式的特征 m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式是的m，n应该满足n，m∈N*，m≤n，当m＞n时不成立． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．(　　) (2)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　　) (3)从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数运算，按照计算结果，可以看作排列问题的运算为(　　) A．加法　　　　　　　　 B．减法 C．乘法 D．除法 解析：选 BD　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题． 3．89×90×91×…×100可表示为(　　) A．A eq \o\al(10,100) B．A eq \o\al(11,100) C．A eq \o\al(12,100) D．A eq \o\al(13,100) 解析：选C　A eq \o\al(12,100) ＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89. 4．从5名同学中选出正、副组长各1名，有____________种不同的选法(用数字作答). 解析：从5名同学中选出正、副组长各1名，即从5个不同元素中选出2个元素进行排列，不同的选法种数为A eq \o\al(2,5) ＝5×4＝20. 答案：20 题型一　排列的概念 [例1]　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)； (2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (3)某班40名学生在假期相互通信． 解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题． [反思感悟] 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 判断下列问题是否为排列问题． (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1? (3)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题． 若方程 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定； 在双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1中，不管a>b还是a<b，方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 题型二　排列的列举问题 [例2]　某药品研究所研制了五种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，四种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法． 解：如图 由树状图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种． [反思感悟] 在排列个数不多的情况下，树状图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树状图写出排列． 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能的站法． 解：由题意作“树状图”，如下， 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 题型三　排列数公式及应用 [例3]　(1)计算：eq \o\al(6,7) eq \f(A－A eq \o\al(5,6) ,A eq \o\al(4,5) ) ＝(　　) A．12　　　　　　　　 B．24 C．30 D．36 (2)求证：A eq \o\al(n,n) ＝A eq \o\al(m,n) ·A eq \o\al(n－m,n－m) . 解：(1)选D　因为A eq \o\al(6,7) ＝＝7×6×A eq \o\al(4,5) ，A eq \o\al(5,6) ＝6×A eq \o\al(4,5) ， 所以原式＝eq \o\al(4,5) eq \f(36A,A eq \o\al(4,5) ) ＝36. (2)证明：∵A eq \o\al(m,n) ·A eq \o\al(n－m,n－m) ＝ eq \f(n！,(n－m)！) (n－m)！＝n！＝A eq \o\al(n,n) ，∴等式成立． [反思感悟] 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式． 不等式A eq \o\al(x,8) <6A eq \o\al(x－2,8) 的解集为(　　) A．[2，8] B．[2，6] C．(7，12) D．{8} 解析：选D　由A eq \o\al(x,8) <6A eq \o\al(x－2,8) ，得 eq \f(8！,(8－x)！) ＜6× eq \f(8！,(10－x)！) ， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，① 又 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，)) 所以2≤x≤8，② 由①②及x∈N*，得x＝8. [课堂小结] 1．在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题． 2．排列数的第一个公式A eq \o\al(m,n) ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式；排列数的第二个公式A eq \o\al(m,n) ＝ eq \f(n！,(n－m)！) 用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等． $