6.1 第2课时 计数原理的综合应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦计数原理综合应用，涵盖分类加法与分步乘法计数原理，课前通过表格梳理两者区别与联系，课堂以组数、选取分配、涂色种植问题为载体，构建从基础理解到综合应用的学习支架。 其亮点在于结合电话号码编排、作物种植等实际情境，通过分类分步分析培养逻辑推理，例题解析与反思感悟助力数学建模，跟踪训练强化数学运算，帮助学生掌握解题方法，为教师提供系统教学资源。

第六章　计数原理 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时　计数原理的综合应用 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二） Part 03 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课时作业（二） 点击进入word 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 学业目标 素养要求 1．进一步掌握和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理； 2．能利用两个计数原理解决数字组成、选取与分配、涂色(种植)等实际问题． 通过利用两个计数原理解决实际问题的方式，培养逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． [自主梳理] 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方案中的每一方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 [点睛] 用两个计数原理解决问题时，需明确是需要分类还是需要分步，有时，可能既要分类又要分步． [自主检验] 1．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有(　　) A．6种　　　　　　　　 B．5种 C．4种 D．3种 解析：选C　不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4(种). 2．某班有3名学生准备参加校运会的100米了、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有(　　) A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 解析：选A　由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法． 3．(a1＋a2)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项． 解析：要得到项数分三步： 第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法； 第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法； 第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法． 由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项). 答案：24 题型一　组数问题 [例1]　用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种． (2)三位数的首位不能为0，但可以重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [反思感悟] 解决组数问题的方法及注意点 (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则． [提醒]　数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． 1．用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243　　　　　　 B．252 C．261 D．648 解析：选B　0，1，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，所以有重复数字的三位数有900－648＝252个． 2．(变结论)由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36个． 题型二　选取与分配问题 [例2]　有一项活动，需在3名教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ (3)若需一名教师、一名学生参加，有多少种不同选法？ 解：(1)有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法。由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法． (3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名教师再选一名女学生，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39种选法． [反思感悟] 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法等． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 1．有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试中，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　) A．11　　　　　　　 B．10 C．9 D．8 解析：选C　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法． 2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放1个小球，共有多少种方法？ 解：(以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择． 由分步乘法计数原理得，总方法数N＝5×4×3＝60. 题型三　涂色与种植问题 [例3]　(1)如右图，用五种不同的颜色分别给“金”“榜”“题” “名”四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为(　　) A．280 B．180 C．96 D．60 (2)将三种作物全部种植在下图所示的五块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种． 解析：(1)按区域分四步：第一步“金”区域有5种颜色可选；第二步“榜”区域有4种颜色可选；第三步“题”区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域“金”中已有过的颜色，故“名”区域也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180种涂法． (2)分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c. ①若第三块田放c： a b c 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4种方法． ②若第三块田放a： a b a 第四块田有b或c两种方法．ⅰ若第四块放c： a b a c 第五块有2种方法．ⅱ若第四块放b： a b a b 第五块只能种作物c，仅1种方法． 综上，共有3×2×(2×2＋2×1)＝42种方法． 答案：(1)B　(2)42 [反思感悟] 解决涂色(种植)问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法： (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使用一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________． 解析：按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180种不同的染色方法． 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法． 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法． 答案：420 [课堂小结] 1．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤． 2．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏． 3．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些． $