课时作业(2) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

课时作业（二） 第一类，千位是2的有2×4×3=24（个）： 第二类，千位是3的有3×4X3=36(个)： 1.C解析分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的 第三类，千位是4的有2×4×3-24（个）： 两位数的个数为4X4=16.故选C项. 第四类，千位是5的有3×4×3=36（个）. 2.D解析完成这件事可以分为三步：第一步确定首字符，共 根据分类加法计数原理，无重复数字且比2000大的四位 有2种方法：第二步确定第二个字符，共有3种方法：第三步 偶数有24+36十24十36=120（个）. 确定第三个字符，共有3种方法.所以不同的编号共有2X 11.BD解析由于生物在B层班级，所以只能选第2或第3 3×3=18(个).故选D项. 节，故分两类：若生物选第2节，则地理可安排在第1,3节， 3.B解析方法一若黄瓜种在第一块土地上，则有3X2= 有2种选法，其他任意选即可，故有2×2=4（种）（此种情况 6(种)不同的种植方法，同理，黄瓜种在第二块、第三块土地 自习课可出现在第1,3,4节中的某节)：若生物选第3节， 上均有3×2=6（种）不同的种植方法，故不同的种植方法共 则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选在第 有6×3=18（种）.故选B项. 2节，故有1种.根据分类加法计数原理，共有4十1一5（种） 方法二从4种蔬莱中选出3种种在三块土地上，有4X3× 不同的选课方式，由以上分析可知，自习课可安排在4节课 2=24(种)方法，其中不种黄瓜有3X2×1=6(种)方法，故共 中的任一节.故选BD项， 有不同的种植方法24一6=18（种）.故选B项. 12.C解析当平面SAB与平面SDC同色时，平面ABCD有4 4.C解析A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3 种染色方法，平面SDC有3种染色方法，平面SAD有2种 种涂法，共有4×3×3×3=108（种）涂法.故选C项. 染色方法，平面SAB有1种染色方法，平面SBC有2种染 5.B解析若从A地到B地选车次G87,则B地到C地可选 色方法，共有4×3×2×1×2=48（种）染色方法；当平面 车次G2811,G653,G501,共3种方案：若从A地到B地选车 SAB与平面SDC不同色时，平面ABCD有4种柒色方法， 次G91,则B地到C地可选车次G653,G501,共2种方案：若 则平面SDC有3种染色方法，平面SAD有2种染色方法， 从A地到B地选车次G93,则B地到C地可选车次G501, 平面SAB有1种染色方法，平面SBC有1种染色方法，共 共1种方案；按照分类加法计数原理可得，此人这天乘坐高 有4×3×2×1×1=24（种）染色方法.所以不同的染色方法 铁列车从A地到C地不同的乘车方案有3十2十1=6（种）. 共有48十24=72（种）.故选C项. 故选B项. 13.解折(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. 6解析王老师有3种水果，李老师有4种水果，其中苹果是重 复的，所以应该先分类后分步，第一类，如果小华在王老师那 (2)比am=341小的数有两类。 ①首位是1或2： 里拿到苹采，那么在李老师那里只能从刺下的3种水果中 拿，则可能的情况有1×3一3（种）：第二类，如果小华在王老 1 师那里拿到的不是苹果，那么就有2种情况，在李老师那里 ②首位是3： 有4种情况，则可能的情况有2X4=8(种).根据分类加法计 数原理，小华拿到两种不同水果的情况共有3十8=11（种）. 答案11 7解析由直线经过坐标原点可知C=0,所以下面只需安排A, B.从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A,B的值，分 故共有2×4×4十1×3×4=44（项）. 为两步：第一步取一个数作为A,有6种：第二步从剩下的5 个数中取一个数作为B,有5种.根据分步乘法计数原理，满 因此am=341是该数列的第45项，即n=45. 足题意的直线共有6X5=30(条). 14.解析(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5 答案30 种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4 8解析因为每个接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有 种方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6X5X 一个接点脱落，系统就不能正常工作，所以接点脱落的可能 4×4=480(种). 情况共有28一1=63（种）. (2)由题意知，为①区城着色时有n种方法，为②区城着色 答索63 时有(n一1)种方法，为③区域着色时有(n一2)种方法，为④ 9.解析(1)每名学生都可以从4项体育项目中任选1项，有4 区域着色时有（一3）种方法，根据分步乘法计效原理，不同 种选法，故5名学生不同的参赛方法有4×4×4×4×4= 的着色方法数为n(m一1)·(n一2)·(n-3). 1024(种). 所以n(n-1)(n-2)(n-3)=120, (2)每个冠军皆有可能被5名学生中任1名获得，则冠军获 即(2-3n)(2-3n+2)-120=0, 得者的不同情况有5×5×5×5=625（种）. 即(n2-3n)2+2(m2-3n)-120=0. 10.解析方法一按末位是0,2,4分为三类. 所以m2-3n-10=0或m2-3m+12=0(舍去). 第一类，末位是0的有4×4×3=48（个）： 又n∈N”,所以n=5. 第二类，末位是2的有3×4×3=36（个）： 15.AC解析根据题意，对于四位回文数，有1001,1111,1221，， 第三类，末位是4的有3×4×3=36（个）. 1991,2002,2112,2222,…,2992,·,9009,9119,9229,…,9999,其 根据分类加法计数原理，无重复数字且比2000大的四位 首位和个位有9种选法，第二位和第三位有10种选法，故 偶数有48十36十36=120（个）. 共有9×10=90个，则A项正确，B项错误：对于2n十1位 方法二按千位是2,3,4,5分为四类， 回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位 ·190· 数字有10种选法，…，第n十1个数字，即最中间的数字有 10种选法，则共有9×10×10×…×10=9×10种选法，即 芳=1表示焦点在z轴上的椭圈，则必有@>6，a,b的大小 2n十1(n∈N")位回文数有9×10个，故C项正确，D项错 关系一定；在双曲线号一苦-1中，不管a>b还是a<b,方程 误.故选AC项. 16.解析由题意得，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果， 吉一苦-1均表示焦点在x轴上的双尚线，且是不同的双 根据分步乘法计数原理，共有5×5=25（个）不同的数对. 曲线，故是排列问题」 在(m,n)的25个数对中所取两数m>n的数对可以分类来 (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.从5个数中 解.当m=2时，n=1,有1种结果；当m=4时，n=1,3,有 取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则 2种结果：当m=6时，n=1,3,5,有3种结果：当m=8时， 与顺序有关. n=1,3,5,7,有4种结果；当m=10时，n=1,3,5,7,9,有5 11.C解析易知当n≥5时，A的个位数字是0，故S的个位 种结果.综上所述，共有1十2十3十4十5=15（个）数对. 数字取决于前四个排列数，又A十A通十A十A=33,所以S 答率2515 的个位数字是3.故选C项. 课时作业（三） 12匠研由元=9，释是=90，即=90，则有 A 1.ACD解析排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有 万=90X6支形可得a-5a-6)=90,解 ! B项中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关，故 选ACD项. 得n=15或n=一4，又n≥7，所以n=15. 2.C解析A瑞=100×99×…×(100-12+1)=100×99× 答案15 98×…×89.故选C项. (n+1) 13.证明因为A1一A一(m十1-m1厂n一m n！ 3.C解析所有的排法有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙 n! 甲乙，丙乙甲，共6种.故选C项， a·(n1)=a‘+-nm 4.A解析由A点=2A0得m(m-1)(m-2)(m一3)(m-4)= n! 2×m×(m-1)(m-2),故(m-3)(m-4)=2,即2-7m+ （n+1-m1=mA, 10=0,解得m=5或m=2,又m≥5，所以m=5.故选A项. 所以A+1一A=mAw一1 5.B解析首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数用树 14,解析由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙.若甲发球给 状图表示如图所示 乙，其传球方法的树状图如图所示， ,甲< ”乙一丙→甲 两→乙→甲 甲”之一甲 、丙→甲 乙→丙+甲 由图可知，满足题意的甲发球给乙的传球方法共5种. 同样甲发球给丙的传球方法也有5种. 根据分类加法计数原理，共有5十5=10（种）不同的传球 方法 由此可知共有12个.故选B项 6.解折由足1一n=7,得(n一1)(n一2)-n=7,整理得r-4n 15.AB懈扬因为n_中n=,所以A项正确；因 +1 十1 5=0,解得n=5或n=一1（舍去）.所以该方程的解集为{5. n! 答率{5} 为n心=n·年=代，所以B项正 7.解折15×14×13×12×11×10=A,故n=15,m=6. 答案156 确：因为A1=mm+,所以C项错误；因为A 8解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同 n一1一m十1)厅一Gn,所以D项错误故选AB项. (n-1)! -(n-1)1 的莱种中任选4种种在4块不同土质的地上，即为从8个不 16.解析(1)组成三位数分三个步骤： 同的元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有 第一步，选百位上的鼓字，0不能排在首位，有3种不同的选法； 8×7×6×5=1680(种). 第二步，选十位上的数字，有3种不同的选法； 答案1680 第三步，选个位上的数字，有2种不同的选法。 9.解析(1)2A1+A=2×4×3×2+4×3×2×1=72. 根据分步乘法计数原理，共有3×3X2=18(个)不同的三位数 袋+ 2X8×7×6×5×4+7X8×7×6X5 画出树状图，如图所示 8X7×6×5X4X3×2X1-9X8X7×6×5 8×7×6×5×(8+7) 8X7x6x5X24-=1 10.解析(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座” 230302130301120201 问题与顺序有关，故选3个座位安排3位客人是排列问题. 由树状图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132， 201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321. (2②第一问不是排列问题，第二问是静列问慈芳方程导十 (2)直接画出树状图，如图所示 ·191·课时作业（二） 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 答案见P10 1基础训练 7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取三个元素分别作 一、选择题 为直线方程Ax十By十C=0中的A,B,C,所得直 1.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数 线经过坐标原点的有 条（用数字作答） 的个数是 () 8.如图，某系统由甲、乙、丙 A.25 B.20 C.16 D.12 3个部件组成，其中有6 2.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符从 个接点A,B,C,D,E,F, A,B中选，后两个字符（允许重复）从a,b,c中 如果任一接点脱落，整个 选，则不同的编号共有 系统就不能正常工作.现 用 A.8个B.9个C.12个 D.18个 发现系统不能正常工作，那么接点脱落的可能情 况共有 种（用数字作答）. 3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3 三、解答题 种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必 9.(1)5名学生从4项体育项目中选择参赛，若每一 须种植，不同的种植方法有 名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛 A.24种B.18种C.12种 D.6种 方法？ 4.如图，用4种不同的颜色给图中的矩 (2)若5名学生争夺4项比赛的冠军（每一名学 形A,B,C,D涂色，要求相邻的矩形 生参赛项目不限)，则冠军获得者有几种不同情 涂色不同，则不同的涂法种数为 况（没有并列冠军）？ ( A64 B.98 C.108 D.112 5.某人需要先从A地到B地，再同站转车赶到C 地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如表所 示，那么此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不 同的乘车方案种数为 A地至B地高 B地至C地高 铁列车时刻表 铁列车时刻表 车次 发车 到站 车次 发车 到站 时间 时间 时间 时间 G87 07:00 08:01 G2811 08:25 10:31 10.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且 G91 07:55 08.56 G653 09:24 11:13 比2000大的四位偶数？ G93 09:00 10:01 G501 10:26 12:30 A.9 B.6 C.4 D.3 二、填空题 6.某幼儿园的王老师和李老师给小朋友发水果，王 老师的果篮有草莓、苹果、芒果3种水果，李老师 的果篮里有苹果、樱桃、香蕉、猕猴桃4种水果， 小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果， 小华拿到两种不同水果的情况有 种 ·107· 1能力提升川 14.用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要 11.(选)某校实行选科走班制度，张毅同学选择 求在①，②，③，④四个区域中相邻（有公共边 的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班 界)的区域不用同一种颜色 级，该校周一上午选科走班的课程安排如表所 示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节 上自习，则下列说法正确的是 甲 第1节 第2节 第3节 第4节 (1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同的 化学A层 地理1班 地理2班 化学A层 方法？ 3班 4班 (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n 生物A层 化学B层 生物B层 历史B层 的值。 1班 2班 2班 1班 物理A层 生物A层 物理A层 生物A层 1班 3班 2班 4班 物理B层 生物B层 物理B层 物理A层 2班 1班 1班 4班 政治1班 物理A层 3班 政治2班 政治3班 A.此人有4种不同的选课方式 B.此人有5种不同的选课方式 C.自习课不可能安排在第2节 D.自习课可安排在4节课中的任一节 12.如图，将1个四棱锥的每个 面染上1种颜色，使每两个 具有公共棱的面染成不同 的颜色.如果只有4种颜色 可使用，则不同的染色方法有 A.36种 B.48种 C.72种 D.108种 ‖拓展探究 13.用1,2,3,4四个数字排成三位数（数字可重复使 15.(多选)回文数是指从左到右与从右到左读都一 用)，并把这些三位数由小到大排成一个数列{a. 样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然两 (1)写出这个数列的前11项； 位回文数有9个：11,22,33，…，99：三位回文数 (2)若an=341,求项数n. 有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.下 列说法正确的是 () A.四位回文数有90个 B.四位回文数有45个 C.2n+1(n∈N)位回文数有9×10个 D.2n十1(n∈N)位回文数有10个 16.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9}, 在A中任取一元素m和在B中任取一元素n, 组成数对(m,n),则有 个不同的数对， 其中所取两数m>n的数对有 个 ·108