1.2　等腰三角形第1课时　等腰三角形与等边三角形的性质课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形与等边三角形性质，通过情景导入题回顾“等边对等角”“三线合一”旧知，引导学生探究证明性质，构建从已有认知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养推理意识，如通过构造全等三角形证明“等边对等角”，用等面积法推导距离关系体现模型意识。表格归纳性质对比，助力知识结构化，帮助学生发展逻辑推理与应用能力，为教师提供清晰教学脉络。

北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 2　等腰三角形 第1课时　等腰三角形与等边三角形的性质 1 情景导入 已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题： (1)∵AB＝AC，∴∠B＝______．根据是____________； (2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，则CD＝____．根据是___________； (3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝_______； (4)若BD＝CD，则AD____BC，∠BAD＝___________. ∠C 等边对等角 4 三线合一 20° ⊥ ∠CAD 【探究1】等腰三角形的性质 探究新知 我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，请你选择其中一条性质进行证明. 定理 等腰三角形的两个底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 分析：有哪些结论可以证明两个角相等? 还记得利用折纸的方法探索等腰三 角形的性质吗?这对你有什么启发? A B C 轴对称的性质、全等三角形的对应角相等. 构造全等三角形来推导角相等. 证明：如图，取BC的中点D，连接AD. ∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD(SSS). ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). A B C D 还有其他证法吗? 有. 如图所示，作等腰三角形ABC顶角的平分线AD. ∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD(SAS)， ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). A B C D 由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征?为什么? A B C D 思考·交流 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， AD是中线. 根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD， 所以 AD是等腰三角形ABC 顶角的角平分线. A B C D 根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB=∠ADC， 因为∠ADB+∠ADC=180°， 所以∠ADB=∠ADC=90°. 所以AD⊥BC， 即AD是等腰三角形ABC底边上的高. 等腰三角形的性质定理 ： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”). 注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”. A B C D 符号语言： 在△ABC中，∵ AB=AC， ∠1=∠2 (已知)， ∴ BD=CD，AD⊥BC (“三线合一”). 1 2 A B C D 或∵ AB=AC， BD=CD (已知)， ∴ ∠1=∠2，AD⊥BC (“三线合一”). 或∵ AB=AC， AD⊥BC (已知)， ∴ BD=CD，∠1=∠2 (“三线合一”). 有关等腰三角形性质的一些结论 (1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等. 如图，DE+DF=CH. 等面积法：∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC， ∴ ·AB·CH=·AB·DE+·AC·DF. 又∵ AB=AC，∴ DE+DF=CH. (2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半. 如图，∠HCB=∠BAC. 证明：在Rt△BHC中，∠B=90°-∠HCB， 在等腰三角形ABC中，∠B=(180°-∠BAC)= 90°-∠BAC， ∴90°-∠HCB=90°-∠BAC，即 ∠HCB=∠BAC. 13 【探究2】等边三角形的性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？ A B C 尝试·交流 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C(等边对等角). 又∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B(等边对等角)， ∴∠A＝∠B＝∠C. 在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. A B C 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合. B C A 等腰三角形 等边三角形 边 角 三线 合一 对称性 每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条) 三个角都相等，且都是60° 轴对称图形(3条对称轴) 轴对称图形(1条对称轴) 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条) 两腰相等 三条边都相等 等边三角形与等腰三角形的性质归纳 回顾·反思 回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？ 一般会先研究一般图形的性质，然后再研究特殊图形的性质，并围绕其边、角进行研究，若是三角形，还要研究其高、中线、角平分线的性质. 应用举例 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数． 【方法指导】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数． 解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD. 设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°， 解得x＝36°， ∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°. 【例2】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD. 【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD. 证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD. 在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD(SAS)， ∴AE＝CD. 【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________. 15° 【方法指导】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°. 又∵CG＝GD， ∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°. 又∵DF＝DE，∴∠E＝15°. 【例4】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC. 证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°. ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. ∴△DBC≌△EAC(SAS). 又∵∠DBC＝∠BCA＝60°， ∴∠BCA＝∠EAC. ∴AE∥BC. ∴∠DBC＝∠EAC. 归纳总结 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简述为“三线合一” 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60° 等腰三角形 等边三角形 性质定理 等腰三角形的两个底角相等，简述为“等边对等角” 性质定理 随堂练习 1．如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为 ( ) A．3　　　　　　　 B．6　　　　　　　 C．3　　　　　　　 D．3 D 2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______． 3．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是_____________________． 25 70°和40°或55°和55° 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE. (1)求∠ECD的度数； 解：(1)∵DE是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE. 又∵∠A＝36°，∴∠ECD＝∠A＝36°. 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE. (2)若CE＝5，求BC的长． (2)∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°. ∵∠ECD＝36°， ∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°. ∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE＝72°＝∠B. ∴BC＝CE＝5. 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8，求CD的长. A B C D 解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴ AD是△ABC底边BC上的中线， ∴ CD=BC=×8=4. 6. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数. 解：∵ △ADE是等边三角形， ∴ AD=DE=EA，∠ADE=∠DAE=60°. 又D，E是BC的三等分点， ∴ BD=DE=EC，∴ AD=BD，∴ ∠B=∠BAD. ∵ ∠ADE=∠B+∠BAD=60°， ∴ ∠BAD=∠B=30°.同理可得∠EAC=∠C=30°， ∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°. 这节课的收获是什么？ 课堂小结 课本P20－21习题1.2中的T1、T2、T3、T4. 课后作业 35 $