49.正弦函数的周期性（最小正周期）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 49.正弦函数的周期性（最小正周期）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的周期性与最小正周期 ￮定义表述：设函数的定义域为，若存在一个非零常数，使得对任意的，都有，且恒成立，则称函数为周期函数，非零常数称为这个函数的一个周期。若在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数称为的最小正周期。 ￮数学符号/表达式： 周期函数：，，且； 最小正周期：设是的周期，若，都有，则为的最小正周期。 ￮关键特征：① 周期是非零常数；② 定义域需满足；③ 最小正周期是周期中的最小正数。 ￮跨章节关联：适用于三角函数、周期数列等相关内容，与函数的奇偶性、单调性可结合考查。 2. 【概念2】正弦函数的周期性 ￮定义表述：正弦函数的定义域为，对于任意，都有（）成立，因此是周期函数，其最小正周期为。对于函数（），其最小正周期为。 ￮数学符号/表达式： ：，，最小正周期； ：最小正周期。 ￮关键特征：① 的周期有无穷多个，是最小正周期；② 复合正弦函数的最小正周期只与的绝对值有关，与、无关。 ￮跨章节关联：可与正弦函数的图象变换、奇偶性、单调性结合考查，是三角恒等变换的基础。 三、题型分类与例题精析 题型1：基本正弦函数的最小正周期判断 题型特征：直接考查及简单系数变形（如）的最小正周期，无复合结构，属于基础题型。 解题步骤：1. 识别函数形式为；2. 根据的最小正周期为，判断变形后函数的最小正周期；3. 得出结论。 例题1 判断函数的最小正周期。 举一反三1-1 判断函数的最小正周期。 举一反三1-2 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 举一反三1-3 判断函数的最小正周期，并说明理由。 题型2：复合正弦函数的最小正周期计算 题型特征：考查形如的复合正弦函数的最小正周期，直接应用公式计算，属于中等基础题型。 解题步骤：1. 确定函数中的取值（注意符号）；2. 代入最小正周期公式计算；3. 得出函数的最小正周期。 例题2 求函数的最小正周期。 举一反三2-1 求函数的最小正周期。 举一反三2-2 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 举一反三2-3 求函数的最小正周期。 题型3：含绝对值正弦函数的最小正周期求解 题型特征：考查形如、的含绝对值正弦函数的最小正周期，需结合图象或公式判断，属于基础拔高题型。 解题步骤：1. 识别函数为含绝对值的正弦函数；2. 应用公式（为绝对值内正弦函数的角系数）计算；3. 得出最小正周期。 例题3 求函数的最小正周期。 举一反三3-1 求函数的最小正周期。 举一反三3-2 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 举一反三3-3 求函数的最小正周期。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列函数中，最小正周期为的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 函数的最小正周期是______。 4. 解答题 (1) 求函数的最小正周期。 (2) 已知函数的最小正周期为，求满足条件的的取值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数，下列说法正确的有（） A. 最小正周期为 B. 最小正周期与无关 C. 最小正周期与无关 D. 最小正周期与无关 3. 填空题 函数的最小正周期是______。 4. 解答题 (1) 求函数的最小正周期。 (2) 已知函数（）的最小正周期为，求的取值集合。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列函数中，最小正周期为的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 函数的最小正周期是______。 4. 解答题 (1) 求函数的最小正周期。 (2) 已知函数（）在区间上单调递减，且最小正周期为，求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 49.正弦函数的周期性（最小正周期）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的周期性与最小正周期 ￮定义表述：设函数的定义域为，若存在一个非零常数，使得对任意的，都有，且恒成立，则称函数为周期函数，非零常数称为这个函数的一个周期。若在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数称为的最小正周期。 ￮数学符号/表达式： 周期函数：，，且； 最小正周期：设是的周期，若，都有，则为的最小正周期。 ￮关键特征：① 周期是非零常数；② 定义域需满足；③ 最小正周期是周期中的最小正数。 ￮跨章节关联：适用于三角函数、周期数列等相关内容，与函数的奇偶性、单调性可结合考查。 2. 【概念2】正弦函数的周期性 ￮定义表述：正弦函数的定义域为，对于任意，都有（）成立，因此是周期函数，其最小正周期为。对于函数（），其最小正周期为。 ￮数学符号/表达式： ：，，最小正周期； ：最小正周期。 ￮关键特征：① 的周期有无穷多个，是最小正周期；② 复合正弦函数的最小正周期只与的绝对值有关，与、无关。 ￮跨章节关联：可与正弦函数的图象变换、奇偶性、单调性结合考查，是三角恒等变换的基础。 三、题型分类与例题精析 题型1：基本正弦函数的最小正周期判断 题型特征：直接考查及简单系数变形（如）的最小正周期，无复合结构，属于基础题型。 解题步骤：1. 识别函数形式为；2. 根据的最小正周期为，判断变形后函数的最小正周期；3. 得出结论。 例题1 判断函数的最小正周期。 解析：1. 函数形式为，其中，；2. 根据复合正弦函数最小正周期公式，代入得；3. 因此函数的最小正周期为。 答案： 举一反三1-1 判断函数的最小正周期。 解析：1. 函数形式为，；2. 代入公式得；3. 因此函数的最小正周期为。 答案： 举一反三1-2 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 解析：函数为，，最小正周期，故选B。 答案：B 举一反三1-3 判断函数的最小正周期，并说明理由。 解析：1. 函数形式为，；2. 由公式，得；3. 理由：只影响函数的振幅，不影响周期，因此的最小正周期与相同，为。 答案：，理由见解析 题型2：复合正弦函数的最小正周期计算 题型特征：考查形如的复合正弦函数的最小正周期，直接应用公式计算，属于中等基础题型。 解题步骤：1. 确定函数中的取值（注意符号）；2. 代入最小正周期公式计算；3. 得出函数的最小正周期。 例题2 求函数的最小正周期。 解析：1. 函数为形式，其中；2. 代入公式；3. 因此函数的最小正周期为。 答案： 举一反三2-1 求函数的最小正周期。 解析：1. 函数中，；2. 代入公式得；3. 因此函数的最小正周期为。 答案： 举一反三2-2 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 解析：函数中，，最小正周期，故选C。 答案：C 举一反三2-3 求函数的最小正周期。 解析：1. 确定，；2. 代入公式；3. 因此函数的最小正周期为。 答案： 题型3：含绝对值正弦函数的最小正周期求解 题型特征：考查形如、的含绝对值正弦函数的最小正周期，需结合图象或公式判断，属于基础拔高题型。 解题步骤：1. 识别函数为含绝对值的正弦函数；2. 应用公式（为绝对值内正弦函数的角系数）计算；3. 得出最小正周期。 例题3 求函数的最小正周期。 解析：1. 函数为，；2. 代入含绝对值正弦函数最小正周期公式；3. 因此函数的最小正周期为。 答案： 举一反三3-1 求函数的最小正周期。 解析：1. 函数中绝对值内；2. 代入公式；3. 因此函数的最小正周期为。 答案： 举一反三3-2 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 解析：绝对值内，，最小正周期，故选B。 答案：B 举一反三3-3 求函数的最小正周期。 解析：1. 绝对值内，；2. 代入公式得；3. 因此函数的最小正周期为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 解析：的最小正周期为，选B。 答案：B 2. 多选题 下列函数中，最小正周期为的有（） A. B. C. D. 解析：选项A：，；选项B：化简为，；选项C：；选项D：。故选AB。 答案：AB 3. 填空题 函数的最小正周期是______。 解析：，。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的最小正周期。 解析：函数中，代入公式。 答案： (2) 已知函数的最小正周期为，求满足条件的的取值。 解析：由，解得，即。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 解析：含绝对值正弦函数的最小正周期为，选A。 答案：A 2. 多选题 关于函数，下列说法正确的有（） A. 最小正周期为 B. 最小正周期与无关 C. 最小正周期与无关 D. 最小正周期与无关 解析：，；复合正弦函数最小正周期只与有关，与、无关。故选ABC。 答案：ABC 3. 填空题 函数的最小正周期是______。 解析：绝对值内，，。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的最小正周期。 解析：化简，常数函数无最小正周期。 答案：无最小正周期 (2) 已知函数（）的最小正周期为，求的取值集合。 解析：由，得，，取值集合为。 答案： （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期是（） A. B. C. D. 解析：最小正周期，最小正周期，两个周期函数和的最小正周期为各函数周期的最小公倍数，即，选B。 答案：B 2. 多选题 下列函数中，最小正周期为的有（） A. B. C. D. 解析：选项A：；选项B：；选项C：化简为，；选项D：化简为，。故选ABD。 答案：ABD 3. 填空题 函数的最小正周期是______。 解析：，且不存在更小正数，故最小正周期为。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的最小正周期。 解析：化简，绝对值内最小正周期，含绝对值后最小正周期为。 答案： (2) 已知函数（）在区间上单调递减，且最小正周期为，求的值。 解析：由，得；验证在上，，正弦函数在此区间单调递增，不符合；说明需结合单调性调整，实际不满足，此题无解。 答案：无解 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $