10.4双曲线讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线核心考点，涵盖定义应用、标准方程求解、焦点三角形、离心率、渐近线及最值范围六大题型，按“定义—性质—综合应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法提炼（如待定系数法、焦点三角形结论）、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 讲义突出题型分类与方法指导，如离心率求解中转化a,b,c关系培养数学思维，焦点三角形用正余弦定理强化推理能力。设置分层练习（基础例题到强化训练），结合核心素养中的运算能力与模型意识，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

§10.4 双曲线 目录 题型1：双曲线定义的应用 3 题型2：双曲线标准方程的求解 3 题型3：双曲线的焦点三角形 5 题型4：双曲线的离心率 7 题型5：双曲线的渐近线 11 题型6：与双曲线有关的最值范围问题 12 【强化训练】 15 1. 双曲线的定义 在平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，分左右两支.这两个定点,叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 如果平面上的动点，满足(定长), ①当时，动点的轨迹是双曲线。 ②当时，动点的轨迹是分别以为端点，指向所在直线两侧的射线。 ③当时，动点的轨迹不存在。 ④当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线。 ⑤如果不含绝对值，则动点的轨迹为双曲线的一支。 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 性质 图形 性质 范围 或 或 对称性 关于轴对称，关于原点对称 顶点坐标 实轴长、虚轴长 实轴长：；虚轴长：. 离心率 越大，双曲线的“张口”越大。 渐近线方程 的关系 题型1：双曲线定义的应用 【例1.1.】 已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【例1.2.】 双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【例1.3.】 复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 【例1.4.】 已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【例1.5.】 已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 题型2：双曲线标准方程的求解 方法提炼 (1) 用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤： (2) 与双曲线共焦点的双曲线方程可设为. (3) 与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为. (4) 若渐近线方程为或或的形式，则双曲线的方程可设为. (5) 已知的双曲线方程设为. (6) 已知离心率为的双曲线方程可设为或. 【例2.1.】 已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【例2.5.】 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型3：双曲线的焦点三角形 方法提炼 (1) 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立与的联系. (2) 有关焦点三角形的常用结论 令， ①。 ②由余弦定理得：。 ③。 ④。 (3) 有关焦半径的常用结论 ①若为双曲线上任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，(i)当点P在双曲线的左支上时，，；(ii)当点P在双曲线的右支上时，，(左加右减). ②双曲线的焦半径同侧最小为，异侧最小为(实轴两端点取到). 【例3.1.】 已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【例3.2.】 已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 . 【例3.3.】 过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【例3.4.】 已知、分别为双曲线的左、右焦点，直线过且与双曲线的左支交于，两点.若，且的周长为24，则双曲线的焦距为 . 【例3.5.】 （多选）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【例3.6.】 （多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【例3.7.】 （多选）如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（   ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 【例3.8.】 已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 题型4：双曲线的离心率 方法提炼 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).在建立不等式求e时经常用到结论:双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为。 求离心率的常用方法有： (1) 若可求得a,c的值或其满足的等式,则直接利用得解; (2) 若可求得a,b的值或其满足的等式,则直接利用 得解.特别地，若已知渐近线方程为，若焦点不确定，或，因此离心率有两种可能. (3) 方程法：根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,并用代替式子中的b，将式子化为a,c的齐次方程(或不等式),然后将等式(或不等式)两边同时除以a的n次方,从而利用转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意。 (4) 利用离心率的三角公式求离心率 如图，在焦点三角形中，， 则。 【例4.1.】 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知F是双曲线C：（，）的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【例4.4.】 双曲线的两个焦点分别为，，点P在靠近的一支上，若，且有，则的离心率的值为 . 【例4.5.】 已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【例4.6.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【例4.7.】 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例4.8.】 过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 【例4.9.】 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例4.10.】 已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例4.11.】 设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ． 【例4.12.】 已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 【例4.13.】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例4.14.】 已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ． 【例4.15.】 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交双曲线右支于点（在第一象限），的内心为，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为 ． 【例4.16.】 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.17.】 已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为 题型5：双曲线的渐近线 方法提炼 (1) 求双曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程. (2) 与双曲线渐近线有关的结论 ①焦点到渐近线的距离恒为； ②顶点到渐近线的距离恒为； ③双曲线上任一点到两条渐近线的距离乘积为。 【例5.1.】 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【例5.6.】 已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【例5.7.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 题型6：与双曲线有关的最值范围问题 方法提炼 与双曲线有关最值(范围)问题的常见类型： (1) 焦半径范围：设为双曲线的右焦点，若在右支上，则；若在左支上，则。 (2) 距离最值：利用双曲线的定义转化为三点共线问题。 (3) 面积最值：利用参数法或基本不等式。 【例6.1.】 设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【例6.6.】 已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6.7.】 已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【例6.8.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【例6.9.】 费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线的两个焦点为，，则双曲线在点处的切线平分.已知是坐标原点，点为双曲线：的左焦点，点在的右支上，点为的中点，直线是在点处的切线，直线与相交于点，则的取值范围是 . 【例6.10.】 （多选）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 【例6.11.】 （多选）已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时，的面积为 【例6.12.】 （多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【强化训练】 1. 双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 2. 已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3. 已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为（    ） A． B． C． D． 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5. 已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（   ） A． B．或 C． D． 6. （多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为（    ） A．实轴长为4 B． C．的面积为3 D． 7. （多选）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（    ） A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆：上一点，的最大值为3 8. （多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（） 9. （多选）双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B．过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C．若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D．若点为该双曲线上的一点，且，则 10. （多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（    ） A． B．的最小值为 C．点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小 D．取得最小值时，的面积为 11. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为 . 12. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 13. 设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §10.4 双曲线 目录 题型1：双曲线定义的应用 3 题型2：双曲线标准方程的求解 5 题型3：双曲线的焦点三角形 9 题型4：双曲线的离心率 20 题型5：双曲线的渐近线 40 题型6：与双曲线有关的最值范围问题 47 【强化训练】 60 1. 双曲线的定义 在平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，分左右两支.这两个定点,叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 如果平面上的动点，满足(定长), ①当时，动点的轨迹是双曲线。 ②当时，动点的轨迹是分别以为端点，指向所在直线两侧的射线。 ③当时，动点的轨迹不存在。 ④当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线。 ⑤如果不含绝对值，则动点的轨迹为双曲线的一支。 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 性质 图形 性质 范围 或 或 对称性 关于轴对称，关于原点对称 顶点坐标 实轴长、虚轴长 实轴长：；虚轴长：. 离心率 越大，双曲线的“张口”越大。 渐近线方程 的关系 题型1：双曲线定义的应用 【例1.1.】 已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 【例1.2.】 双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、双曲线定义的理解 【分析】先根据双曲线的焦距求出，再根据双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意可得，即，又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以． 故选：C. 【例1.3.】 复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、双曲线定义的理解 【分析】根据复数的几何意义，可将条件转化为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】设， 根据复数的几何意义知，表示复平面内点与点的距离， 表示复平面内点与点的距离， 则， 则由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的左支， 故复平面内对应的点的轨迹为双曲线的一支. 故选：B 【例1.4.】 已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、立体几何中的轨迹问题 【分析】由题意得在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，进一步即可求解. 【详解】直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为， 因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上. 故选：D. 【例1.5.】 已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是. 故选：A 题型2：双曲线标准方程的求解 方法提炼 (1) 用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤： (2) 与双曲线共焦点的双曲线方程可设为. (3) 与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为. (4) 若渐近线方程为或或的形式，则双曲线的方程可设为. (5) 已知的双曲线方程设为. (6) 已知离心率为的双曲线方程可设为或. 【例2.1.】 已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 【例2.2.】 双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】利用待定系数法设的方程为，，代入即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，则， 则方程为，即. 故选：B. 【例2.3.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 【例2.4.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据可得，根据点在渐近线上可得，求出后可得标准方程. 【详解】设半焦距为， 因为，故， 故，而渐近线方程为，故， 而，故，故双曲线的标准方程为：. 故答案为： 【例2.5.】 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 题型3：双曲线的焦点三角形 方法提炼 (1) 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立与的联系. (2) 有关焦点三角形的常用结论 令， ①。 ②由余弦定理得：。 ③。 ④。 (3) 有关焦半径的常用结论 ①若为双曲线上任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，(i)当点P在双曲线的左支上时，，；(ii)当点P在双曲线的右支上时，，(左加右减). ②双曲线的焦半径同侧最小为，异侧最小为(实轴两端点取到). 【例3.1.】 已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 【例3.2.】 已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长， 而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故答案为：. 【例3.3.】 过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D 【例3.4.】 已知、分别为双曲线的左、右焦点，直线过且与双曲线的左支交于，两点.若，且的周长为24，则双曲线的焦距为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的焦距、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据题干，利用双曲线的定义和的周长为24可得，，利用，可得，最后利用勾股定理算出的边长，即可在中计算. 【详解】由题知，， ， 的周长为， ，， 由得， 即，， 故，， ，，， 在中，，解得，焦距为.    故答案为： 【例3.5.】 （多选）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】由题意得的齐次方程，从而求得离心率，判断选项A；由不可能为等边三角形，判断选项B；分析可得当，的外接圆的面积取到最小值，据此求得的面积，判断选项C；求出内心所在的直线，求得斜率之比为定值，可判断选项D. 【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且. 若为等腰直角三角形，则. 由，得，即. 对于A，因为离心率，所以，所以选项A正确； 对于B，因为，所以不可能为等边三角形，所以的内心与外心不可能重合，所以选项B不正确； 对于C，设的外接圆的半径为R，则，即. 当，即时，半径R取得最小值c，的外接圆的面积取到最小值. 此时，，所以的面积为.所以选项C正确； 对于D，设点是的内心，过点分别作的垂线，垂足为， 则，所以. 所以点是双曲线的右顶点，点在直线上. 设，则直线的斜率之比为，为常数.所以选项D正确. 故选：ACD. 【例3.6.】 （多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到，，再利用余弦定理求出，利用向量中线定理得到，再结合向量数量积的定义求出，最后求解判断C，先点到轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解距离判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 由题意得到的距离为，得到，解得， 又渐近线方程为，则，而， 联立方程组，解得， 则双曲线的方程为，故A错误． 对于B，如图，作出符合题意的图形，    因为为的平分线，所以由角平分线定理得2，故B正确， 对于C，由已知得，由双曲线定义可得， 而为在第一象限的点，可得， 则，解得，，而， 在中，由余弦定理得， 因为是的中点，所以， 则，可得， 而， 可得，解得，故C错误， 对于D，在中，由同角三角函数的基本关系得， 设点到轴的距离为，由等面积公式得， 得到，解得，故D正确． 故选：BD 【例3.7.】 （多选）如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（   ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据直角三角形的性质计算判断A；延长交于点H，结合直角三角形的性质，根据正弦定理及两角差的正余弦公式求解，进一步求解，判断B，利用双曲线定义求出，进而求出离心率判断C，利用直角三角形面积求解面积判断D. 【详解】对于A，因为，O为中点，所以． 已知双曲线焦距为8，即，所以，A正确. 对于B，因为，Q为的平分线上一点，所以， 记，则，在中，由正弦定理得， 所以，从而，延长交于点H， 则，且H为线段的中点，在中，， 所以， 所以，B错误. 对于C，由B可得，， 所以，所以，所以， 所以离心率，C正确． 对于D，的面积，D正确． 故选：ACD 【例3.8.】 已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）先得到，由圆到直线距离公式得到方程，求出，，得到双曲线方程； （2）设直线，它与E的另一个交点记为C，由对称性可知，四边形面积等于三角形面积，设，联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三角形面积得到方程，求出或，经检验不合要求，时，求出交点纵坐标，得到的值. 【详解】（1）由题意得，解得， ∵双曲线的渐近线为， ∴，解得，所以，故双曲线方程为：； （2）由同向可知，直线、与E均有两个交点. 设直线，它与E的另一个交点记为C. 由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积， 所以四边形面积等于三角形面积. 设， 联立方程：，得， ， 三角形面积， 整理得，解得或， 经检验时，，故均在轴上方或下方， 不妨令，此时， 解得或， 画出图象如下： 此时反向，故舍去； 同理可得也不满足要求， 当时，可验证得同向，符合题意， 若，由，解得或， 由于，所以，， 故， 若，同理可得， 综上，. 题型4：双曲线的离心率 方法提炼 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).在建立不等式求e时经常用到结论:双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为。 求离心率的常用方法有： (1) 若可求得a,c的值或其满足的等式,则直接利用得解; (2) 若可求得a,b的值或其满足的等式,则直接利用 得解.特别地，若已知渐近线方程为，若焦点不确定，或，因此离心率有两种可能. (3) 方程法：根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,并用代替式子中的b，将式子化为a,c的齐次方程(或不等式),然后将等式(或不等式)两边同时除以a的n次方,从而利用转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意。 (4) 利用离心率的三角公式求离心率 如图，在焦点三角形中，， 则。 【例4.1.】 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 【例4.2.】 已知F是双曲线C：（，）的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，结合题意可得为等边三角形．解法一：求出点P的坐标，代入双曲线方程，化简即可求得答案；解法二：利用双曲线定义可求得的关系，即得答案. 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以在中，， 又直线的倾斜角为60°，所以，所以为等边三角形． 设． 解法一 ：由为等边三角形得点P的坐标为， 由点P在双曲线C上，可得，又， 化简可得，所以，即， 将当成一个整体，利用求根公式得，又，所以， 所以，． 解法二 ：设为C的左焦点，连接， 在中，得， 所以，又，所以， 即，所以． 故选： C 【例4.3.】 已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨设直线的方程为，与的方程联立得的坐标，由得的坐标，将的坐标代入双曲线方程即可求解. 【详解】 由题意，得渐近线的方程为． 不妨设直线的方程为，． 由解得． 又，且 解得，代入双曲线，得， 解得双曲线的离心率． 故选：A． 【例4.4.】 双曲线的两个焦点分别为，，点P在靠近的一支上，若，且有，则的离心率的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据及双曲线定义可知：.过作，垂足为M，则，即，即可求解双曲线离心率. 【详解】 由题可知：，则由双曲线定义可知：. 过作，垂足为M，则，即， 即，所以. 故答案为：. 【例4.5.】 已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率. 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 【例4.6.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用双曲线的定义结合中位线可求，故可求离心率. 【详解】不妨设在右支上，则， 因为，故，故， 取的中点为，则，而，在直线上， 而，故在的延长线上， 由，可得，而为角平分线， 故，故， 故，故，所以即， 故， 故选：D. 【例4.7.】 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设切点为，，连接，过点作⊥轴于点E，由三角形面积公式及双曲线定义得到，，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 设切点为，，连接， 则，， 过点作⊥轴于点E， 则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得， 所以，解得， 所以离心率. 故选：B 【例4.8.】 过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率. 【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理. 由，两式相减整理得， 所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以， 所以，， 由，得，所以. 故选：C. 【例4.9.】 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、二倍角的正切公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 【例4.10.】 已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 【例4.11.】 设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ． 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线的焦半径与焦点弦问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设在第一象限，则点也在第一象限，根据得到，由两种方法求解的面积，得到方程，求出，结合，求出，由两点间距离公式得到，求出，故，代入双曲线方程，求出，得到离心率. 【详解】不妨设在第一象限，则点也在第一象限， 设，， 因为，所以， 故， ， 又， 故，解得， 由双曲线定义得， 故，， 又 ， 又，故，故， 又，故，，故， 将代入中，得， 解得，所以的离心率为. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 【例4.12.】 已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据题意作图，取的中点，连接，得到，，利用两角和的正切公式求得直线的斜率，再利用点差法求得，根据离心率的公式计算即可. 【详解】 如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则， 因为，所以， 由直线的斜率，得， 则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 化简得即， 则. 故答案为：. 【例4.13.】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、双曲线的对称性 【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示： 由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形； 由可设，则; 由双曲线定义可知，所以，所以； 又，所以； 因为， 在中，，且， 所以，解得； 即，所以； 在中，，即， 解得，即. 故选：B 【例4.14.】 已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】设另一个焦点为，连接，设，然后结合双曲线的定义表示出，再由双曲线的对称性结合题意可得，在中利用勾股定理得，再在中利用勾股定理列方程化简可求得离心率. 【详解】设另一个焦点为，连接，设，则， 由双曲线的定义可得， 由双曲线的对称性可得是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形为矩形， 所以， 所以在中，， 所以，化简得， 在中，，则， 所以，得， 所以， 所以离心率. 故答案为： 【例4.15.】 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交双曲线右支于点（在第一象限），的内心为，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】作出图形，设，可得，易知，利用余弦定理求得，设内切圆半径为，可得出点到轴的距离为，由可得出关于、的齐次等式，即可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设，则， 又直线的斜率为，可知， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 设内切圆的半径为，因为，所以，点到轴的距离为， ，即， 可得，解得， 所以，即， 整理可得，故该双曲线的离心率为. 故答案为：. 【例4.16.】 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【例4.17.】 已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设点，由双曲线的渐近线斜率为，求出点与渐近线平行的直线方程，解得点坐标，进而得，利用恒成立即可求解. 【详解】设点，双曲线的渐近线斜率为， 过点与一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 所以， 所以 ， ， 由恒成立， 所以恒成立，所以，即， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 题型5：双曲线的渐近线 方法提炼 (1) 求双曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程. (2) 与双曲线渐近线有关的结论 ①焦点到渐近线的距离恒为； ②顶点到渐近线的距离恒为； ③双曲线上任一点到两条渐近线的距离乘积为。 【例5.1.】 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据焦点坐标求出，根据双曲线定义及双曲线上一点求出，再根据求出，最后根据双曲线渐近线方程为即可求解. 【详解】双曲线一个焦点的坐标为，可知双曲线交点在轴上， 所以，另一个焦点坐标为， 因为点在该双曲线上，根据双曲线定义可知：， ，， 所以，解得，又因为， 即，解得， 所以双曲线渐近线方程为. 故选：A 【例5.2.】 已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】由过点的直线与双曲线C交于一支或两支分类讨论，结合双曲线定义即可求解； 【详解】设双曲线的方程为，因为双曲线C的焦点为，所以． （1）当过点的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示． 由，设， 则，由双曲线的定义知 ，所以， 在中，， 在中，， 即，解得， 所以双曲线C的方程为，双曲线的渐近线方程为：． （2）当过点的直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示． 由，得 与双曲线定义不符，故此种情况不成立． 综合（1）（2）两种情况：双曲线的渐近线方程为， 故选：A． 【例5.3.】 已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由题意得出四边形为矩形，利用双曲线定义求出，进而在直角中利用勾股定理求出，从而求出即可求解. 【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形. 因为，所以，故四边形为矩形， 由双曲线定义得，在直角中，， 由，得，解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 【例5.4.】 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】由题意求得，，，，结合余弦定理求得即可. 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 【例5.5.】 已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 【例5.6.】 已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离、双曲线中的定值问题 【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案. 【详解】由于，故在圆上， 其中，由垂直关系可得切线l的斜率为， 由渐近线方程的斜率为得， 由双曲线定义可知，解得， 故，双曲线方程为，两渐近线方程为， 设，则， 点M到双曲线两条渐近线的距离之积为. 故答案为： 【例5.7.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的定义可结合第一空，由条件确定为的内心，再结合得到，进而可求解. 【详解】依题意，，，则；则； 先证在中，若，则为的内心． 由， 可得：， 整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 所以由条件可知：点为的内心，设的内切圆半径为， 则，故，故， 而， 故，故，则，， 故所求渐近线方程为. 故答案为：2； 题型6：与双曲线有关的最值范围问题 方法提炼 与双曲线有关最值(范围)问题的常见类型： (1) 焦半径范围：设为双曲线的右焦点，若在右支上，则；若在左支上，则。 (2) 距离最值：利用双曲线的定义转化为三点共线问题。 (3) 面积最值：利用参数法或基本不等式。 【例6.1.】 设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 【例6.2.】 在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解. 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 【例6.3.】 已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可. 【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 【例6.4.】 已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的定义，将点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线的距离，进而得出结果. 【详解】已知双曲线，可知，则， 所以，分别为的左、右焦点，则，即， 设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则. 故选：A. 【例6.5.】 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、切线长、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 【例6.6.】 已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线、利用双曲线定义求方程、由方程研究曲线的性质 【分析】根据双曲线的定义及直线与双曲线相交求解的取值范围. 【详解】由，知，. 因为点满足：，即 ，且， 所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为， 则其焦距，实轴长，所以，，所以， 所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为. 由曲线方程得. 因为曲线上存在点满足：， 所以直线与双曲线的左支有交点，所以. 故选：A. 【例6.7.】 已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、求双曲线中的最值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 【例6.8.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【答案】18 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当三点共线时取得最小值为，得出，再利用基本不等式求出，最后将的面积表示为即可. 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 【例6.9.】 费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线的两个焦点为，，则双曲线在点处的切线平分.已知是坐标原点，点为双曲线：的左焦点，点在的右支上，点为的中点，直线是在点处的切线，直线与相交于点，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中的最值问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】首先根据题意画出图象，然后根据图象的特征可知，然后根据的范围，即可求得取值范围. 【详解】根据题意画出图象为： 因为是的中点，是的中点，所以是三角形的中位线， 所以，所以， 又是双曲线在点处的切线，所以为的角平分线， 所以. 所以. 因为点在双曲线的右支，且由题意知点不与右顶点重合， 所以. 所以. 故答案为：. 【例6.10.】 （多选）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据条件，确定双曲线的方程，进而确定的坐标，利用两点间的距离公式，可判断A的真假；利用平面向量的坐标表示，可判断B的真假；利用三角形的边的关系，结合两点间的距离公式，可判断C的真假；结合双曲线的定义和两点间的距离公式，可判断D的真假. 【详解】对双曲线：，，所以. 双曲线在一、三象限的渐近线方程为. 如图： 直线所在的直线方程为：. 由，即. 由且，即. 又，所以. 对A：因为，所以，，所以，故A正确； 对B：因为，，所以不成立，故B错误； 对C：,当三点共线时取等号，故C正确； 对D：设双曲线左焦点为，则， 所以，当三点共线时取等号.故D正确。 故选：ACD 【例6.11.】 （多选）已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时，的面积为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、基本不等式求和的最小值、双曲线中的定值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】    由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 为定值，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D正确； 故选：BCD 【例6.12.】 （多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由焦点三角形面积公式可得A错误；由双曲线的定义可得B正确；当点位于右顶点时可得C正确；由向量的数量积和基本不等式可得D错误. 【详解】圆的圆心为，半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A错误； 对于B，由双曲线的定义可得，当三点共线时取等号，故B正确； 对于C，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点位于右顶点时，最小， 所以，所以四边形面积的最小值为，故C正确； 对于D， ，当时取等号，但，所以取不到等号，故D错误. 故选：BC 【强化训练】 1. 双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 2. 已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、利用双曲线定义求方程、利用椭圆定义求方程 【分析】先由两曲线有公共焦点得，接着由线段的垂直平分线求得，再结合椭圆和双曲线定义以及勾股定理依次求得和即可由渐近线定义得解. 【详解】设，则由题：， 又的离心率为，所以， 即，，即， 令线段的垂直平分线与线段的交点为M，则M是线段的中点， 又O是的中点，则，所以， 又，所以， 所以，则，即， 所以的渐近线方程为. 故选：B. 3. 已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的焦距、已知两点求斜率 【分析】先设，再根据平行得出斜率，进而应用面积计算得，最后点在双曲线上得出，计算得出即可. 【详解】因为，所以点在的右支上，由对称性设在第一象限， 设，，，则，由，， 得解得 所以，所以，即， 因为在的右支上，所以， 所以， 设的半焦距为，则，即，所以焦距为． 故选:D． 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设双曲线的半焦距为，结合双曲线的渐近线方程为，可得，设，结合双曲线定义，余弦定理列关系式可得，结合角平分线性质求结论. 【详解】设的半焦距为， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，故，. 设，，， 由余弦定理有， 化简得，则， 因为为的角平分线， 所以，又， 所以， 所以. 故选：D. 5. 已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先由椭圆的离心率求出渐近线方程为，再由点到直线距离公式解关于方程即可. 【详解】由题意得则则 所以渐近线方程为 又因为圆的圆心为恒在直线上，半径为2，    由圆与渐近线相切可得 解得 故选：B. 6. （多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为（    ） A．实轴长为4 B． C．的面积为3 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的实轴、虚轴、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据离心率列方程求得，即可判断A，根据中线向量运算及中位线性质得，然后利用双曲线定义得判断B，根据勾股定理及双曲线定义求得，代入面积公式判断C，结合选项C根据完全和平方公式求解判断D. 【详解】由题意知，，解得，所以实轴长为4，故A正确； 因为，所以是线段的中点， 因为是线段的中点，所以， 由双曲线定义知，， 所以，故B错误； 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以的面积为，故C正确； 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 7. （多选）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（    ） A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆：上一点，的最大值为3 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、圆的弦长与中点弦、定点到圆上点的最值（范围）、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】对于A，由题干条件可得，，再结合双曲线中的平方关系，联立可解得，则双曲线的焦距为，由此可判断A；对于B，由A可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理可算得弦长，由此可判断B；对于C，由对称性取任意一条渐近线，先求出垂线方程，与渐近线方程联立求得垂足坐标，再利用两点间的距离公式即可判断；对于D，由双曲线的定义可知，再由三角形两边之和大于第三边可得，由此可判断D. 【详解】对于A，双曲线右支上点到右焦点的最小距离为右顶点到右焦点的距离，即， 当轴时，此时点的横坐标为，代入双曲线方程可得， 由双曲线中的平方关系，联立解得， 所以双曲线的焦距为，故A正确； 对于B，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 圆：的圆心为，半径为，且经过原点， 则圆和两条渐近线关于轴对称，二者所截的弦长相等，取其中一条渐近线， 则圆心到渐近线的距离为， 由垂径定理可知所截的弦长为，故B正确； 对于C，由对称性，过点作双曲线的一条渐近线的垂线， 则垂线方程为，与联立可解得垂足， 则，故C错误； 对于D，圆：的圆心为，半径为1， 由双曲线的定义可知， 则，当且仅当在线段的延长线上取等， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 8. （多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（） 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解 【分析】本题考查双曲线，掌握双曲线的定义，理解双曲线的概念与性质． 【详解】A、由，得，，则，，， 当时，，由，可得，故A不正确； B、焦点的面积公式，将代入可知，故B正确； C、当时，，当时，， 因为为锐角三角形，所以，故C不正确； D、设，（），则（）， 由题设知，，则， 所以点的轨迹方程为，故D正确． 故选：BD. 9. （多选）双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B．过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C．若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D．若点为该双曲线上的一点，且，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】A利用斜率之积为计算；B计算和即可求出；C根据条件写出双曲线和渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式化简即可；D先求证三点均在以为直径的圆上，再利用双曲线的定义以及勾股定理得出即可. 【详解】渐近线方程为，若双曲线的两条渐近线互相垂直，则， 得，故A正确； 由题意可知，点到渐近线的距离为， 又直线的斜率为，则， 则，得，， 故离心率为，故B正确； 由题意可知，，则，则双曲线方程为， 渐近线方程为， 设点，则， 点到两条渐近线的距离之积为， 故C错误； 因，则， 则三点均在以为直径的圆上， 设，由于对称性，不妨设点在第一象限， 则，得， 则，故D正确. 故选：ABD 10. （多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（    ） A． B．的最小值为 C．点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小 D．取得最小值时，的面积为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、用和、差角的正切公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设点P的坐标，再结合斜率公式计算判断A，应用两角和正切公式计算判断B，C，应用基本不等式公式计算结合面积公式计算判断D. 【详解】由题意知，设点P的坐标为，α，，所以，所以，所以A对； 因为，所以无最小值，所以B错， ， 又因为P横坐标逐渐变大时，α也跟着变大，在变小，所以逐渐变小，所以C对， 又当， 当且仅当取得等号，即，即，，，， 所以，所以面积为． 故选：ACD． 11. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】设，则，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合双曲线定义，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为，可设，则， 又因为，在中，由余弦定理有， 即，解得， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 12. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求双曲线的顶点坐标 【分析】根据双曲线C的，得左、右顶点、的坐标，设点P的坐标，列方程组求解即可. 【详解】由双曲线C的方程：，得，所以. 设点，则，化简得：， 即，解得：（增根已舍去），所以. 所以P到x轴的距离为. 故答案为：.    13. 设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】对于双曲线，，，到渐近线的距离，由圆与C的一个公共点为A，与圆相切，在直角三角形中，由勾股定理求解即可. 【详解】 对于双曲线，，， 其渐近线方程为，， 到渐近线的距离， 所以圆的半径， 因为圆与C的一个公共点为A，与圆相切，所以，， 由双曲线定义知，则， 在直角三角形中，根据勾股定理， 而，所以. 即，所以， 因为，解得. 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $