数学一模突破卷05（浙江专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 4．已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 5．单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（   ） A．42 B．49 C．56 D．64 6．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 7．已知定义在R上的函数满足，对任意，有，则（   ） A． B．1 C． D． 8．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 10．已知菱形的边长为，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．棱的长为 D．异面直线与所成角的余弦值为 11．我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为.则下列说法正确的是（    ） A．当时，为双曲线的一部分 B．当时，存在一种建系方式，使得符合方程 C．当时，与底面直径围成的图形面积小于 D．当时，的离心率大于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 13．已知，则 . 14．已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 数列中，，，. (1)证明：是等差数列； (2)设，求. 16．（15分） 已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 17．（15分） 如图所示的四棱锥中，平面，， (1)证明：平面平面； (2)若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 18．（17分） 已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 19．（17分） 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 4．已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 5．单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（   ） A．42 B．49 C．56 D．64 6．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 7．已知定义在R上的函数满足，对任意，有，则（   ） A． B．1 C． D． 8．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 10．已知菱形的边长为，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．棱的长为 D．异面直线与所成角的余弦值为 11．我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为.则下列说法正确的是（    ） A．当时，为双曲线的一部分 B．当时，存在一种建系方式，使得符合方程 C．当时，与底面直径围成的图形面积小于 D．当时，的离心率大于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 13．已知，则 . 14．已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 数列中，，，. (1)证明：是等差数列； (2)设，求. 16．（15分） 已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 17．（15分） 如图所示的四棱锥中，平面，， (1)证明：平面平面； (2)若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 18．（17分） 已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 19．（17分） 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】或. 则；，则. 又注意到，则. 故选：B 2．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以. 故选：A. 3．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【解析】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 4．已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 5．单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（   ） A．42 B．49 C．56 D．64 【答案】B 【解析】设，则， 所以， 因为， 所以， 当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有， 则，因此所求的最大值为49． 故选：B． 6．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 【答案】A 【解析】由，则其前20项和为． 设写错项为，则，解得，故写错之前这个数为. 故选：A 7．已知定义在R上的函数满足，对任意，有，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】在中，令，得，且，故； 令，得，所以． 所以， 所以. 故选：A． 8．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】由随机变量，且，得，解得， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】AC 【解析】因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，故A正确； 当，满足，但，故B错误； 若，则，则即，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：AC 10．已知菱形的边长为，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．棱的长为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】因为是棱上靠近的三等分点，是的中点，所以． 因为，所以． 因为，所以，故A正确． 因为菱形的边长为，所以． 因为，所以 ，解得，故B正确． 因为，所以． 在三棱锥的侧面中，由余弦定理得，所以，故C错误． 因为，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确． 故选：ABD． 11．我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为.则下列说法正确的是（    ） A．当时，为双曲线的一部分 B．当时，存在一种建系方式，使得符合方程 C．当时，与底面直径围成的图形面积小于 D．当时，的离心率大于 【答案】BCD 【解析】如下图建立空间直角坐标系，截面与圆锥侧面交线上的一点，与轴截面一边交于点，是底面的直径，则，圆锥的高为， 其中截面上构建以为原点，分别为轴的直角坐标系，且， 令且，是在底面上的投影，则，故， 圆锥被平行于底面的平面截得的截面是圆，假设是该圆与截线的一个交点， 该圆离底面高为时，截面圆的半径，而点的高度是，则 所以，且到圆锥轴的距离为， 综上，，整理得，即为在截面上的轨迹方程， A：当时，，即，所以，即两条直线，错； B：当时，，则（应用换元法可化为形式），对； C：当时，，则为椭圆的一部分， 当，则，不妨令， 当，则（负值舍），则， 该椭圆的一部分在半径为1的圆内，故其面积小于，对； D：当时，，则为半椭圆， 所以，则离心率为，对. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 13．已知，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，即， 又， 所以， 所以． 故答案为： 14．已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则 ． 【答案】 【解析】若质点Q位于平面的顶点处，再移动一次， 有的概率会位于平面的顶点处，有的概率位于平面的顶点处， 由题意得， 设，则，所以， 解得，所以， 又，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 数列中，，，. (1)证明：是等差数列； (2)设，求. 15．（13分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）对任意的，， 等式两边同时除以得，即， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，所以， 因为，则， 对任意的，， 所以. 16．（15分） 已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 16．（15分） 【答案】(1); (2) 【解析】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以； （2）根据正弦定理得， 由（1）得，， ，为锐角，所以，， 其中，，即， 综上可知，的取值范围是． 17．（15分） 如图所示的四棱锥中，平面，， (1)证明：平面平面； (2)若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）． 【解析】（1）平面，平面，平面， ，． ，，且平面， 又平面，平面，平面． 平面，平面平面． （2）（i）证明：由(1)知：，，， 以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则有：，，，，， 设，由是球心，可得， ， 解得，，，即． 故点在平面上； （ii）由（i）可得：，． 设直线和直线所成角为． ， 即直线和直线所成角的余弦值为． 18．（17分） 已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 18．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）证明见解析 【解析】（1）当时，， 设，则， 所以函数的单调性如下表所示： 0 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，即. （2）（i）设， 则， 情形1：，则，矛盾， 情形2：，则， 取正整数，使得，则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最小的一个为， 那么对任意，恒有， 理由：假设存在实数使得， 于是在区间内函数存在至少一个零点，这与的定义矛盾， 故对任意，恒有， 故在区间上单调递减，于是，矛盾， 情形3：，则， 取负整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，在区间上单调递增，于是，矛盾， 综上，只可能. 下面证明满足要求， 当时，，满足题目条件. 当时，先证明，． 设，则，故为增函数， 于是当时，， 故，所以，成立， 当时，，故，所以，成立． 当时，，成立. 综上知成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以 由函数在上单调递增， 所以， 当时，成立， 所以当时，， 即， 可见满足要求. （ii）由（i）知，用代替， 得，所以， 于是取， 则， 又因为， 所以， 由于， 所以， 在不等式中，令， 可得：即， 所以，， 因此， 所以 ， 至此不等式得证． 19．（17分） 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 19．（17分） 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【解析】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. / 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 B B B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC ABD BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(1,2] 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)对任意的neN,”9 na.+n(n+1), 等式两边同时除以aa+得导， an+l (n+1 又是=4=2，所以 是以2为首项，1为公差的等差数列.(6分) 2》由1)知导=2+a-=n+1,所以a=ra+, 因为刘=++…+兰，则树=上+2++心 aa a. a az a, 111 对任意的kN,ak+可kk+打友k+打' 子+-川g任点点分 1/7 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分) 【解析】(1)由正弦定理得sinA=4 sinCsinAsinB-2 sinAcos(B-C), 因为Ae0,π，所以sinA≠0， 所以1=4 sinBsinC-2cosB-C）, 所以1=2 sinBsinC-2 cosBcosC, 所以cosB+C=号即cosd=,所以4-号0分 (2)根据正弦定理得c_sinC sin+B] “(3 2 cosB+sinB 31, b sinB sinB sinB 2tanB 2 电D得A,B+C玩 3， O<B<π B,C为锐角，所以 0< 2-B< π (62 3 其中tanB∈ 3 2tanB 引 综上可知， 的取值范围是 22 (15分) 17.(15分) 【解析】(I):PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,ABC平面ABCD, PA⊥AD,PA⊥AB.(3分) :AB⊥AD,PA⊥AD,且PAOAB=A,PA,ABC平面PAB, 又：ABc平面PAB,PAC平面PAB,AD⊥平面PAB. ADc平面PAD,:平面PAB⊥平面PAD.(7分) (2)(1)证明：由(I)知：PA⊥AD,PA⊥AB,AB⊥AD, 以A为原点，直线AB、AD、AP方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系.(8分) 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P 则有：A(0,0,0,B2,0,0,C2,2,0,D0,5+1,0,P0,0,2),(9分) 设0(a,b,c,由0是球心，可得0B=0C=0D=0P, (a-√2)2+b2+c2=(a-√2)2+(b-2)2+c2=a2+(b-V3-1)2+c2=a2+b2+(c-√2)2， 解得a=0,b=1,c=0,即0(0，l,0). 故点O在平面ABCD上；(11分) (i)由(i)可得：0P=(0,-1,2),AC=(2,2,0. 设直线AC和直线OP所成角为O. AC.OP cos AC,OP -22 AC,O丽3x63 即直线AC和直线OP所成角的余弦值为V .15分 3 18.(17分) 【解析】(1)当a=e时，f(x=e-1, 设gx=e-1-x,则g'(x=e-1, 所以函数gx)的单调性如下表所示： (-00,0） 0 (0,+0） g'(x) <0 0 >0 g(x 极小值 → 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以gx≥g0)=0,即f(x≥x.(4分) (2)(i)设hx=fx-2x-sin2x=a-1-2x-sin2x≥0， 则h'x=alna-2-sin2x, 情形1：ae(0,1,则h(1=a-1-2-sin21<0,矛盾， 情形2：a∈1，e2),则h'(0)=lna-2<0, 取正整数，使+引>e(品则》-。a-2 2na-2=0, In 于是在区间 +》产内数存在至少个等点，取其中最小的个为， 那么对任意xe(0,x,),恒有h'(x<0, 理由：假设存在实数xe(0,x)使得h'(x)>0, 于是在区间(0，x)内函数h'(x)存在至少一个零点，这与x的定义矛盾， 故对任意xe(0,x),恒有h'x<0, 故h(x在区间x∈(0，x)上单调递减，于是h(x)<h(0)=0,矛盾， 情形3：a∈e2,+o,则h'(0)=lna-2>0, 取负整数，使网k+》<e,(品)： Ina 于是在区同+》0内函数到存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，h(x在区间(x,0)上单调递增，于是h(x2)<h(0)=0,矛盾， 综上，只可能a=e2.(8分) 下面证明a=e2满足要求， 当x<-1时，h(x=e2-2x-1-sin2x>2-1-sin2x=cos2x≥0，满足题目条件 当x2-1时，先证明x2≥sin2x,(*). 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设(x)=x-sinr,则p'(x=1-cosx之0，故(x为增函数， 于是当x∈[-1,0)时，(x<(0)=0, 故x<sinx<0,所以x2>sin2x,(*)成立， 当x∈[0,1)时，(x)≥(0)=0，故x2sinr≥0，所以x2≥sin2x,(*)成立. 当xe[1,+o)时，x2≥1≥sin2x,(*成立. 综上知(*)成立， 令m(x=x-ln(x+1(x>-1), 则m(x)=1-1=x x+1x+1 当-1<x<0时，m'(x<0,当x>0时，m(x>0, 所以函数mx在(-l,0)上单调递减，在(0，+0）上单调递增， 所以m(x≥m(0)=0-n(0+1=0, 所以x≥lnx+1→2x≥2lnx+1 由函数y=e在R上单调递增， 所以e2r≥e2mx=(x+1)2(x>-1), 当=-1时，e4=启>-1+2=0废立， 所以当x≥-1时，e2r≥(x+1)2, 即e2x≥x2+2x+1≥sin2x+2x+1, 可见a=e2满足要求.(12分) (i)由(i)知e2r-2x-1≥sin2x,用-x代替x, 得e+2x-1≥sin2x,所以sinx≤e+e2-2, 2 于是联=h:-23,小 i+1+1-2 则m 1 2i(i+1 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 由于+1-Vf=1 1 +i++ ==√i-√-1， 所以√+1+√-1<2f, 在不等式e'≥y+1中，令y=-lnxx>0), 可得：e之-r+1即nr≥1-， 所以，n+年>1-+巨 2 2 1 i+->1++i(++(+1+-可2+1-22i+可， √i+√f-I <2n5+5…+n中i+ 2+1 √n+√n-1 =2In(n++1)-2In(2+1) n+n+1 2In √2+1 至此不等式得证.(17分) 19.(17分) 【解析】(1)B餐厅样本容量为50，[2,4)区间频数为15，对应频率为5=0.3 50 频率分布直方图组距为2，故2b=0.3,b=0.15 所有区间频率和为2×b+0.20+a+0.05)=1,即a+b+0.25=0.5,解得a=0.1.(4分) (2)A餐厅满意指数平均数x4=3×0.1+5×0.3+7×0.4+9×0.2=6.4.(6分) B餐厅满意指数平均数xg=3×0.3+5×0.2+7×0.4+9×0.1=5.6.(8分) 6/7 窗学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故元4>3 (3)B餐厅第三组6,8)频率为0.4，人数为50×0.4=20，平均数7，方差2； 第四组8,10人数为50×0.1=5，平均数9，方差1 混合数据平均数z=20×7+5×9_37 20+55 (12分) 方-2+得-j门得门0+)0)-g5m 7/7