专题03 圆（期末复习讲义，20知识点+15题型）九年级数学上学期浙教版

该初中数学圆专题复习讲义通过表格系统归纳核心考点、复习目标与考情规律，以思维导图梳理圆的相关概念、位置关系、定理应用等知识脉络，突出垂径定理、圆周角定理等核心考点，清晰呈现知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与解题技巧指导，如垂径定理专题通过“半径、弦心距、弦长”关系构造直角三角形计算，圆周角定理结合直径构造直角三角形推理角度，培养推理能力与应用意识。基础通关、重难突破、综合拓展三层练习满足不同学生需求，教师可据此实施分层教学，助力学生系统掌握圆的知识与方法。

专题03 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的相关概念 理解圆心、半径、直径、弧、弦、等弧、同心圆、等圆等基本概念，并能在图形中准确识别。 基础概念题，常在选择题或填空题中直接考查，要求对概念掌握清晰。 点与圆的位置关系 掌握点与圆的三种位置关系（点在圆内、圆上、圆外）的判断方法（比较点到圆心的距离d与半径r的大小）。 基础考点，常单独出题或与坐标系结合考查，要求会判断或求参数范围。 三角形的外接圆 理解三角形外接圆的定义，掌握三角形外心（三边垂直平分线的交点）的性质，会作已知三角形的外接圆。 常与三角形性质结合考查，多出现在选择题或填空题中，要求理解外心到三角形三个顶点距离相等。 图形的旋转 理解旋转的概念，掌握旋转的基本性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角）。 作为图形变换的基础，常与其他几何知识（如圆、三角形）结合考查，要求能识别和描述旋转关系。 垂径定理 掌握垂径定理及其推论（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧），并能用于计算弦长、半径、弦心距等。 核心高频考点，是圆中计算和证明的重要工具，常出现在计算题或证明题中。 圆心角及定理运用 理解圆心角的概念，掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”这一定理及其逆定理。 常与弧长、弦长计算结合考查，是证明圆中线段相等或弧相等的依据之一。 圆周角及定理运用 掌握圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等）。 核心必考考点，几乎贯穿所有圆的综合题，广泛用于角度计算和几何证明，要求熟练掌握。 圆内接四边形 掌握圆内接四边形的性质（对角互补，任何一个外角都等于它的内对角），并能利用此性质求角度或进行证明。 中档考点，常在综合题中作为求角度或证明角相等的关键一步。 正多边形与圆 理解正多边形与圆的关系（正多边形的外接圆与内切圆），会计算正多边形的中心角、半径、边心距、边长和面积。 计算类考点，常以填空题或解答题形式出现，要求熟记相关公式并能灵活运用。 弧长及扇形面积 熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算。 中考必考计算题型，常与现实背景（如跑道、纸扇）结合，考查公式应用能力。 直线与圆的位置关系 掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的判定方法（比较圆心到直线的距离d与半径r的大小）。 基础考点，常作为判断位置关系或根据位置关系求参数（如半径、距离）的题目出现。 切线性质定理及其应用 掌握圆的切线性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），并能运用此性质进行线段或角度的计算与证明。 高频核心考点，是证明垂直关系和进行相关计算的基石，常在解答题中出现。 切线长定理 掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）。 常与三角形的周长、面积计算结合考查，多出现在中档解答题中，要求理解并应用。 三角形的内切圆 理解三角形内切圆的定义，掌握三角形内心（三条角平分线的交点）的性质，会作已知三角形的内切圆，并能进行相关计算（如内切圆半径与三角形面积、周长的关系）。 综合性考点，常与面积计算（公式结合，出现在中档解答题中。 知识点一、圆的概念 1、圆的定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 知识点二、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. 易错点： 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点三、弧、弦、圆心角的关系 1、圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. 2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 易错点： （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 知识点四、 垂径定理 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 2、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： 3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 4、垂径定理的推论： （1）垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） （3）垂径定理的几个基本图形： 知识点五、 圆周角的概念 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 知识点六、 圆周角定理及其推论 1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图： 即∠ABC =∠AOC 3、圆周角定理的推论 圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点七、 圆内接四边形及其性质 1、圆内接四边形：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. 2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 知识点八、 正多边形的相关概念 1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. 2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. 3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识点九、 正多边形的有关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点十、 正多边形的画法 1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接 正多边形. 2、等分圆周的方法： （1）用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点； （2）顺次连接各等分点. 知识点十一、 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 易错点： ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点十二、 扇形及扇形的面积公式 1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 易错点： ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 知识点十三、 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点十四、 圆的确定 1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才 唯一确定； 2、过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. 3、不在同一条直线上的三点确定一个圆. 知识点十五、 三角形的外接圆 1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. 2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 知识点十六、 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 知识点十七、 圆的切线的判定定理 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点十八、 圆的切线的性质定理 1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 知识点十九、 切线长及切线长定理 1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 易错点： ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2、切线长定理: 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 知识点二十、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 易错点： 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. 4、三角形外心、内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1、外心到三顶点的距离相等； 2、外心不一定在三角形的内部． 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1、内心到三边的距离相等； 2、内心在三角形内部． 题型一 圆的相关概念 解｜题｜技｜巧 ☆理解并掌握圆心（确定位置）、半径（确定大小）、直径（最长的弦）、弦（连接圆上两点的线段）、弧（圆上两点间的部分）等基本元素的定义与关系 ☆在复杂图形中，准确识别这些基本元素是解题的第一步 ☆牢记直径是圆中最长的弦，且等于半径的2倍 ☆注意区分“弧”与“弦”，弧是曲线，弦是线段 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 【典例2】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选：B． 【变式1】（22-23九年级上·浙江金华·月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】C 【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可． 【详解】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键． 【变式2（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，熟练掌握“圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可”是解题的关键．根据确定圆的要素，分析各选项是否同时具备圆心和半径即可． 【详解】∵圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小， ∴选项只有圆心，无法确定圆的大小； 选项只有半径，无法确定圆的位置； 选项只有圆上一点，无法确定圆心和半径； 选项同时有圆心和半径，能唯一确定一个圆． 故选：． 题型二 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆点与圆的位置关系由该点到圆心的距离 ( d ) 与圆的半径 ( r ) 的大小决定：( d < r )（点在圆内），( d = r )（点在圆上），( d > r )（点在圆外） ☆计算点到圆心的距离 ( d )（常用两点间距离公式） ☆比较 ( d ) 与 ( r ) 的大小，得出结论 ☆若已知位置关系求参数，可建立关于 ( d ) 和 ( r ) 的方程或不等式求解 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是 ． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·月考）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，关于原点对称的点，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，当取得最大时，有最大值，当点P在的延长线上与交于点P时，最大，即可求出的最大值． 【详解】解：连接，如图： ∵点A、点B关于原点O对称， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即， 当取得最大时，有最大值， ∵点P是上的任意一点， ∴当点P在的延长线上与交于点P时，最大，如图： ∵的半径为2，圆心M的坐标为， ∴， ∴的最大值为14． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在中，已知，，． (1)用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，写出中的劣弧_________； (3)若以点A为圆心作，当的半径r满足________时，点B和点C有且只有一个点在内． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】此题考查了尺规作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，点和圆的位置关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用尺规作出的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆即为所求； （2）根据劣弧的定义求解即可； （3）当经过点C时，求出，然后勾股定理求出，然后求出当经过点B时，，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 连接， 由作图得， ∵， ∴ ∴是的外接圆； （2）解：中的劣弧为，； （3）解：当经过点C时，； ∵，， ∴ 当经过点B时，； ∴当的半径r满足时，点B和点C有且只有一个点在内． 题型三 三角形的外接圆 解｜题｜技｜巧 ☆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径） ☆作外接圆的关键是找到外心，即作出任意两条边的垂直平分线，其交点即为外心 ☆求外接圆半径：直角三角形中，斜边的一半即为半径；一般三角形中，可利用正弦定理，或通过构造直角三角形求解 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可． 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确； 故选：C． 【典例2】（25-26九年级上·浙江舟山·月考）在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径． 根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为 ， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴这个三角形的外接圆直径是． 故选：C． 【典例3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 先根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：，是的平分线 ，且是边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是的垂直平分线 ∵是的中点，过点作交于点， ∴是的垂直平分线， 点O为外接圆的圆心，为外接圆的半径 ， 外接圆的面积为 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 题型四 图形的旋转 解｜题｜技｜巧 ☆在圆中，旋转通常指图形绕圆心（旋转中心）转动，旋转前后对应点到圆心的距离不变，对应点与圆心连线所成的角等于旋转角 ☆识别旋转中心（通常是圆心）和旋转角（通常是对应的圆心角） ☆利用旋转的性质：对应线段相等、对应角相等，且旋转角处处相等 ☆在求阴影部分面积等问题中，常通过旋转将图形移动到便于计算的位置 【典例1】（25-26·浙江宁波·期中）如图，在等边中，是的角平分线，，点E为上一点，将绕点B逆时针旋转得当F，E，C三点恰好在同一直线时，连接与，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，，根据旋转的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，过D作于H，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ，， 将绕点B时针旋转得， ，， ，， ， ， ， ， 过D作于H， ， ， ， ，， ， 故选：B． 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列四个圆形图案，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转一定角度后都能与原图形完全重合．其中旋转角度最小的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一道关于旋转对称图形的题目，可根据旋转对称图形的性质进行解答； 根据周角为，结合每个图形的特点，求出旋转一定角度后，能与原图形完全重合的最小旋转角度，将每个图形的最小旋转角度逐一求出，再进行比较即可得到答案． 【详解】解：B、最小旋转角度； A、最小旋转角度； C、最小旋转角度； D、最小旋转角度． 故选：D． 【典例3】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，的长度为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形旋转，熟练掌握旋转的性质，直角三角形判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，是解题关键． 由旋转得到，可得，得，又由勾股定理得，则可求得答案． 【详解】解：由旋转的性质，可得， 又∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴． 故答案为：． 【典例4】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有，点A、B、C均在小正方形的顶点上． (1)将绕着点C顺时针旋转得到（点A、B的对应点分别为D、E），画出； (2)在正方形网格的格点上找一点F，连接，使的面积等于的面积，并直接写出线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)点见解析，的长为或 【分析】本题考查了作图：旋转变换，三角形的面积问题． （1）根据旋转的性质可知，对应角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形； （2）三角形面积相等时，本题要充分利用等底等高的三角形面积相等这一性质即可构造，再根据网格求线段长即可． 【详解】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点D、E即可，如下图： （2）平移使它过点C，则可得到格点，然后找关于点的对称点，都为所求，如下图： ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，，可得，，进而可得． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 先利用互余计算出，再根据旋转的性质得到，，所以，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即图中阴影部分的面积为． 故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，将绕点B顺时针旋转得到，且点D刚好落在线段上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由旋转的性质可得，即可得，进而利用三角形外角的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出的坐标是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查作图—旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 由图可得，的坐标是． 【变式5】（25-26九年级上·浙江·月考）在中，，点D为平面内一点． (1)【初步感知】如图1，当时，点D为外一点，将绕点B顺时针旋转后得到，若D，E，C三点在一直线上，则_______； (2)【类比探究】如图2，当，点D在上时，将绕点A逆时针旋转后得到，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，已知，点D是内部的一点，，若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)． 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，根据旋转的性质，，，则，可证明是等边三角形，得出，然后根据邻补角的定义求解即可； （2）连接，根据旋转的性质得出，，，，根据等腰三角形的性质求出，则，根据勾股定理即可得出结论； （3）设．将绕点A逆时针旋转后得到，连接，根据旋转的性质得出，，根据全等三角形的性质可得出，，，进而求出，然后根据勾股定理可求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， 是等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， ，，， ， ， 是等边三角形， ， 又D，E，C三点在一直线上， ， 故答案为：． （2）解：连接， 由旋转知： 则，，，， ，， ， ， ， ． （3）解：设．将绕点A逆时针旋转后得到，连接， ，， 又，， ，，， ，， ， 当时，有． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，采取类比的方法是解题的关键． 题型五 垂径定理及其应用 解｜题｜技｜巧 ☆垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。其推论包括：平分弦（非直径）的直径垂直于该弦 ☆见到“直径垂直于弦”或“直径平分弦（非直径）”，立即想到垂径定理 ☆应用垂径定理时，常构造直角三角形（由半径、弦的一半、弦心距构成），利用勾股定理计算未知量 ☆在弓形问题中，垂径定理是求弦长、半径、弦心距的核心工具 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接， 由垂径定理求出，根据题意再求出，最后利用勾股定理计算圆的半径即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 则该干果盘的直径为． 故选：B． 【典例2】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（   ）． A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，理解垂径定理的作用是解题的关键．由垂径定理求得，中利用勾股定理即可求得半径． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， 设圆的半径为， ， ， ， ， ， 解得，． 故选：A． 【典例3】（23-24九年级上·浙江温州·月考）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．    ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·月考）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【答案】(1)①见解析② (2)或 【分析】（1）①由垂径定理知，，，则，，因为，所以，则题目可证； ②设与交于点，连接，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点在线段上时，连接，设，则，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；②点在线段的延长线上时，连接，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ； ②解：设与交于点，连接，如图， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． （2）解：①点在线段上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在线段的延长线上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造等腰三角形与直角三角形是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理，掌握相关的定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，再根据三角形中位线定理证明； （2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的中位线， ； （2）解：设的半径为r，则， 由（1）可知， ， ， 在中，，即， 解得：， 的半径为． 题型六 圆心角及定理运用 解｜题｜技｜巧 ☆在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等 ☆要证弧相等或弦相等，可尝试证明它们所对的圆心角相等 ☆计算弧长或弦长时，先求出对应的圆心角度数 ◎圆心角定理常与等腰三角形（由两条半径构成）的性质结合使用 【典例1】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 【典例2】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆中圆心角、弧、弦之间的关系，需注意“在同圆或等圆中”这一前提条件． 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故①错误； ②相等的弧所对的弦相等，等弧定义隐含同圆或等圆，故②正确； ③相等的弦所对的弧相等，该说法错误，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧通常不相等（除非弦为直径），因此相等的弦所对的弧不一定相等，故③错误； ④半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故是等弧，故④正确， ∴正确的有②和④，共2个， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，垂直平分线的性质，借助辅助线构造等边三角形是解题关键． 连接、、，延长交于点C，利用弦把分成1:3，可计算出，由于，所以，由于点A为的中点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可判断为等边三角形，则，根据，可求的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵弦把分成， ∴， ∵， ∴， ∵点A为的中点， ∴点C为的中点， 即垂直平分， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 答：的度数为． 题型七 圆周角及定理运用 解｜题｜技｜巧 ☆圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。重要推论：直径所对的圆周角是直角（90°）；同弧或等弧所对的圆周角相等 ☆见到直径，立即联想“直径所对的圆周角是直角”，从而构造直角三角形 ☆要证角相等，可寻找它们是否是同弧或等弧所对的圆周角 ◎在复杂图形中，圆周角定理是进行角度转换和计算的桥梁 【典例1】（2021·浙江杭州·二模）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【详解】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：B． 【典例2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 【典例3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，是直径，于点，，则的度数为 °． 【答案】23 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 根据可求出，根据余角的性质，求得，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解： 故答案为：23． 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图，将绕点逆时针旋转得，画出； (2)如图，请画出的角平分线，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查图形的旋转性质，角平分线的作图，圆周角定理，灵活运用圆周角定理是解题关键． （1）利用旋转的性质：旋转后对应点到旋转中心的距离不变，旋转角为，结合网格的垂直特征找出、、，顺次连接即可． （2）利用圆的性质：等弧对等角，结合网格的对称特征作图，找到的中点为点，作射线交于点即可． 【详解】（1）解：如图，即为绕点O逆时针旋转得到的图形． （2）解：如图，射线即为的角平分线． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理， 由圆周角定理得到，，求出，即可得到的度数． 【详解】解：连接， 是圆的直径， ， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，是半圆的直径，，等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，因为是半圆的直径，所以，由，根据圆周角定理得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·期中）已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则 ． 【答案】 【分析】先由确定是半圆直径，取圆心后，结合是弧中点得到圆心角关系；再通过圆周角定理、等边三角形判定求出圆的半径；接着利用平行线性质和含角的直角三角形性质，结合勾股定理求出相关线段长度，最终计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， 取的圆心，连接， ∵点为的圆弧中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形性质，熟练掌握圆的基本性质（直径与圆周角的关系、弧与圆心角的关系）及特殊三角形的性质是解题的关键． 【变式4】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，三角板，角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径． (1)小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O，连接并延长，交圆于点E，则就是所求作的直径．请说明理由． (2)请你在图2中作出圆形纸片的直径，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，90度圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知，，，那么，根据同弧所对的圆周角相等，可知，从而证明即可； （2）过点作交于点E，连接即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O， ∵， ∴， 连接，如图所示： ， ∴， 是直径． （2）解：如图，线段即为所求． 题型八 圆内接四边形 解｜题｜技｜巧 ☆圆内接四边形的对角互补（和为180°），并且任何一个外角都等于它的内对角 ☆要证明一个四边形是圆内接四边形，可尝试证明其对角互补或一个外角等于其内对角 ☆已知圆内接四边形时，直接利用对角互补求角度 ◎此性质常与平行线、三角形内角和等知识结合考查 【典例1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 【典例2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，四边形是的内接四边形，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【典例3】（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意得：， ∵， ， ； （2），， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 【变式1】（23-24九年级上·广东汕头·期末）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，请求出的度数； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长． (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，求与的关系式，并求出的最大值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，二次函数的应用等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，过点A作于H，则，解即可． （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：连接，过点作，交于点．如图： 在中， ，， ， 此时为等腰直角三角形，， 在中， ，， ， ． （3）解：如图，连接， ，， 垂直平分， 为中点， 为的中位线，有，， 设，则，，， 在中，， 在中，， 于是有：，整理得，， ， 当时，． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，外接圆的特点，以及勾股定理的应用，通过平移线段构造矩形，将正方形外接圆直径转化为直角三角形的斜边是解题关键． 通过平移线段构造矩形，将分散线段整合为直角三角形的边，用勾股定理求出正方形对角线，再结合正方形外接圆直径与对角线的关系，得到外接圆半径． 【详解】解：如图，平移至，连接，， 、， ， ，且， 四边形是矩形， ，，，， 在中，，即正方形对角线， 正方形的外接圆直径等于其对角线长， 正方形外接圆半径为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识； （1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论； （2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答． 【详解】（1）证明：为直径，， ， ； （2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 四边形的面积四边形的面积， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形的面积四边形的面积． 题型九 正多边形与圆 解｜题｜技｜巧 ☆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心（圆心称为正多边形的中心）。中心到顶点的距离为外接圆半径 ( R )，到边的距离为内切圆半径r（边心距） ☆将正n边形的问题转化为n个全等的等腰三角形（由中心和两个相邻顶点构成）的问题。 中心角 ☆熟记关系式：边长，边心距，面积 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题的关键，连接、、，由于图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，所以点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点，再根据，，，可得，，即可得到． 【详解】解：连接、、，如下图所示： ∵图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，且点B，点C，点D都是对应点， ∴点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点， 作该正八边形的外接圆，则点B，点C，点D都在上， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【典例2】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的相关概念，包括外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角．本题主要考查了正多边形的外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角的概念，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键．依据各概念的定义判断选项正误即可． 【详解】解：正多边形的中心是外接圆和内切圆的共同圆心，故A正确，不符合题意． 正多边形的半径定义为外接圆的半径，故B正确，不符合题意． 正多边形的边心距是中心到边的距离，等于内切圆的半径，故C正确，不符合题意． 外接圆的圆心角是圆中任意的圆心角，正多边形的中心角是相邻顶点与圆心形成的角（），两者不等价，故D错误，符合题意． 故选：D． 【典例3】（24-25九年级上·福建福州·期中）一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查正多边形中心角度数，掌握正多边形中心角度数计算公式是解题的关键．根据正多边形中心角的计算公式，中心角的度数为，其中为边数．将已知中心角代入公式即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由正多边形中心角的性质可得： 解得： 因此，该正多边形的边数为6． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，内接于，，以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形为（   ） A．正十八边形 B．正十五边形 C．正十二边形 D．正九边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接正多边形等知识，连接，根据圆周角定理确定的度数，然后计算以弦为边所作的内接正多边形的边数，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴， ∴若以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正九边形． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质和线段和最小值问题，正多边形性质等，解题关键是取的中点构造两条中位线． 连接，取的中点，连接、，，根据中位线可得、，而根据三角形两边之和大于第三边可得，当、M、Q三点共线时成立，等号成立，由此即可得出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，，如图1， ∵若P，Q分别是，的中点， ∴，，，， ∵，当、、三点共线时成立，等号成立， ∴当旋转过程中的最大值时，，， 过点作，垂足为H，如图1， ∵在正六边形中，，， ∴，， ∴，，， ∴的最大值为， 当旋转过程中的最大值时，，如图2， 由正六边形性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：将正六边形 绕点A逆时针旋转时，，的最大值为， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，涉及正方形的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理，理解相关知识是解答的关键． （1）利用正方形的对角线互相垂直可得点P为对角线的交点； （2）作等边三角形，则，作外接圆交、于点E、F，根据圆周角定理可得，弧上的所有点均为所求点P． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作： （2）解：如图，弧上的所有点均为所求点P． 题型十 弧长及扇形面积 解｜题｜技｜巧 ☆弧长公式：；扇形面积公式：（其中n为圆心角度数，R为半径） ◎已知 ( n ) 和 ( R )，直接代入公式计算 ◎已知弧长 ( l ) 求 ( n ) 或 ( R ) 时，利用公式变形 ☆求不规则图形（如弓形）面积时，常用扇形面积减去三角形面积 ◎实际问题中注意单位换算 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C． 【典例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图是某传送带的部分示意图，是上的一点，的半径为15厘米，当点转动的度数为时，则传送带上的物体向右移动的距离为 厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意，应用弧长公式即可求解． 【详解】解：（厘米） ∴传送带上的物体向右移动的距离为厘米． 故答案为：． 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，得出点在以点为圆心，半径为的圆上运动，再结合点E的运动路径，推出点的运动路径，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点，点为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为的圆上运动， ∵点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B，且绕转过的角度为， ∴点沿着圆弧从点顺时针运动到点，且绕转过的角度为， ∴点F的运动路径长是周长的一半， ∴点F的运动路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的轨迹问题，勾股定理，三角形中位线定理，弧长公式，坐标与图形，正确找出点的运动轨迹是解题的关键． 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图①，已知扇形，作如下操作：步骤1：以O，B为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2：直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，(如图②)经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积公式，由作图可得，直线垂直平分，，，则，，由勾股定理可得，设扇形的半径为，则，的度数为，由扇形面积为求出，再由扇形面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，直线垂直平分，，， ∴，， 由勾股定理可得：， 设扇形的半径为，则，的度数为， ∵扇形面积为， ∴， ∴， ∴扇形的面积是, 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，为圆上一点且于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】先由圆的半径相等以及，确定为中点，再根据圆周角和圆心角的关系求得、，可推断出为等边三角形，进而算出的面积，再算出扇形的面积，利用割补法即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：点、、均在圆上， ， 四边形为矩形，，， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质、圆心角与圆周角的关系、等边三角形的判定、勾股定理、三角形面积公式和扇形面积公式，掌握割补法求三角形面积是解题关键． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图1中画出的外接圆圆心O位置． (2)若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了网格作图与扇形面积计算，综合运用了三角形外心的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识．掌握垂直平分线的作图原理、直角三角形的判定方法以及不规则图形面积的转化技巧是解题的关键． （1）解题时，应选取三角形的任意两条边（如和），分别作出它们的垂直平分线．垂直平分线可以通过连接格点之间的对角线中点来实现，例如，对于水平或垂直的线段，其中点可直接由格点确定；对于斜向线段，则需要借助网格正方形的对角线交点来定位中点。两条垂直平分线的交点即为所求圆心O． （2）本小题需要计算由圆弧和三角形构成的弓形面积．解题时需先明确阴影部分的几何构成：如图，阴影实际是扇形与的面积差． 【详解】（1）点O即为所求作． （2） 连接、， ，，， ∵， 即， ∴为直角三角形，， ∴． 故答案为：． 【变式4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． (2)求边扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作旋转图形，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得； （2）由题意可得边扫过的面积为扇形，且，，则边扫过的面积为以长为半径的圆面积的． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，边扫过的面积为扇形，且，， 边扫过的面积为． 题型十一 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离 ( d ) 与半径 ( r ) 决定：( d < r )（相交，2个交点），( d = r )（相切，1个交点），( d > r )（相离，0个交点） ☆计算圆心到直线的距离d（常用点到直线距离公式） 比较d与r的大小 ☆若已知位置关系求参数（如直线中的k值），建立关于d和r的方程求解 【典例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（    ） A．1或2 B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据圆心到直线的距离d与半径R的关系判断直线与圆的位置关系，由于P在直线l上且，故，从而直线l与圆相切或相交，公共点个数为1或2，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵P在直线l上且， ∴ 圆心O到直线l的距离， ∵的半径， ∴， ∴ 直线l与相切或相交， ∴公共点个数为1或2， 故选：A． 【典例2】（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 【典例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 【变式1】（2020·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出 S△AOC，即可求出h，即可得到答案． 【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，    设此时点O到AC的距离为h， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1， ∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1， ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h， ∴h=5， ∴的平移距离为5-1=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是注意临界状态的分析．当恰好经过点C时，利用求解；当与相切时，此时与线段只有一个交点，由是的垂直平分线，得到；当恰好经过点A时，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当恰好经过点C时，符合题意，如图： 此时 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴； 当与相切时，此时与线段只有一个交点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； 当恰好经过点A时，符合题意，如图： 过点作于点E， ∴， ∴，， ∴， ∴与线段有两个交点，满足的条件是且， 故答案为：且． 【变式3】（22-23九年级上·福建南平·月考）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 题型十二 切线性质定理及其应用 解｜题｜技｜巧 ☆圆的切线垂直于过切点的半径。这是切线最重要的性质，也是证明垂直关系的常用依据 ☆已知切线，连接切点与圆心（作出半径），即可得到垂直关系 ☆利用此垂直关系，结合勾股定理或三角函数，可以计算线段长度或角度 ◎在证明题中，这是证明两条直线垂直的经典方法 【典例1】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 【典例2】（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 【典例3】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在方格纸中有及其外接圆，点A，B，C都在格点上．用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹） (1)找出圆心O． (2)过点B作圆的切线． (3)作出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了切线的定义，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点，，连接交于点O，点O即为所求； （2）根据切线的定义，即可解答； （3）取格点，连接并延长，交于点E，连接，即为所求． 【详解】（1）解：取格点，，连接交于点O，点O即为所求， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点O为圆心； （2）解：如图所示，即为所求， ∵， ∴为圆的切线； （3）解：取格点，连接并延长，交于点E，连接，即为所求； ∵点M为中点， ∴， ∴， ∴， 即平分． 【典例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． (1)若，请直接写出，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理解题即可； （2）连结，利用角平分线的定义得出，然后求出，即可得到结论； （3）通过证明，，然后结合相似三角形的性质进行推理计算． 【详解】（1）解：连接，， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴ 又∵， ∴； ∴， 又∵平分， ∴； （2）证明：连结． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是的切线． （3）解：∵平分，平分，平分， 由（2）可知，． ∴． ∴． ∴． 又∵是的切线，， ∴． ∴． ∵， ∴设，，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 解得． ∴，，． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，角平分线和锐角三角函数的概念，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与分别相交．则圆心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E，设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G，由可得，易得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解： 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E， 设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理：，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴圆心P的坐标为． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质、圆周角定理等知识，推导出及是解题的关键． 由，得，则，由切线的性质得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 为的直径，与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； 【分析】本题考查作垂直平分线，作垂线： （1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案； （2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求， ； （2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求， ． 【变式4】（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的直径； (3)已知，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）连接，先证出，则，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，，先证出，，再利用勾股定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得； （3）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再根据可得，则，然后根据角平分线的性质定理可得，最后根据面积可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接，，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴，， 又∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴的直径为5． （3）解：过点作于点， ∵平分， ∴， 由（2）已得：，， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， 由（2）已证：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， 又∵平分，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． 题型十三 切线长定理 解｜题｜技｜巧 ☆从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ☆见到从圆外一点引出的两条切线，立即想到“切线长相等”，可将未知线段用同一线段表示 ☆该定理常用于求三角形的周长（切线长之和等于对应边）、证明线段相等或角相等 ◎常与切线性质定理（垂直）结合，构造直角三角形 【典例1】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，如图，设四边形的内切圆切点分别为，根据切线长定理得到，求出，进而得到，求出，从而求出，再根据，设，则，由，求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，设四边形的内切圆切点分别为， ∴， ∴， ∵四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 【典例2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ， ∴是的切线； （2）解：连接． ∵为半径， ∴是的切线， ∴， ， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式1】（2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值4 【分析】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质，圆的综合知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）求出旋转角的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出G点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点V，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形，求得为定值． 【详解】（1）解：连接， ∵A点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 又∴， ∵， ∴； （2）证明：设与、、边相切于点、、，连接，，，如图， 则, ∵是的切线， ∴， 在和中， ∴， ∴∴, 同理可证：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∴， ∴ ∴平分． （3）解：的值是定值为， 在上取点V，使，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，，即； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式2】（2021·浙江·二模）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义； （1）由三角形内角和角的计算问题； （2）连接，则，根据切线长定理得到，则，得到，即可求解； （3）根据，设，，则，再依据，求出，，再求出，即可计算，，最后求值即可． 【详解】（1）由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∵为过C点的切线，过点作的切线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）连接， 由（1）（2）可得，，， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【变式3】（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）有切线连半径，在圆中有切线证角相等，通常通过互余关系证明，所以连接并延长，得到，再通过同弧所对的圆周角相等即可得证； （2）要证是中点，则需证，先想证全等，通过观察发现，除了之外，并无等线段，不好证明，则可通过相似转化等比例线段去证，先证得到，再证得到，所以最后证出即可得证． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，连接并延长，交于点，连接， 与切于点， ，即， 是的直径， ， ∴， ∵， ， ∴． （2）证明：如图，连接、． 由（1）结论可知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即①， ∵，是圆的切线， ， 又∵， ∴， ∴，即②， 同理可得， ∴，， 、是过圆外一点作的圆的两条切线， ， ，即③， 由式①、②、③即知， 是线段中点． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等内容，本题难点在于第二问如何通过多个相似去转化，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型十四 三角形的内切圆 解｜题｜技｜巧 ☆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三边的距离相等（等于内切圆半径r） ☆求内切圆半径r：常用面积法公式，其中 ( a, b, c ) 为三角形三边长 ☆内心在角平分线上，常利用角平分线性质进行比例转化 ◎在涉及内切圆的几何证明中，连接内心与切点是常见辅助线 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义及其性质，根据三角形内心的定义及其性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、三角形的内心是三角形两内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意； B、三角形的内心到三角形三个顶点的距离不一定相等，故原说法错误，符合题意； C、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故原说法正确，不符合题意； D、三角形的内心是三角形内切圆的圆心，故原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【典例2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C． 【典例3】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查的是垂径定理，三角形的内心及三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些内容． 先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即O是的内心，从而，进一步求出的度数． 【详解】解：如图， ∵在中，，截的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，则O是的三条角平分线的交点，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例4】（九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且 ，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ， ，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ． ， ， （） 解得： ． 即的直径为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 【变式1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义．先利用切线的性质得，则根据四边形的内角和得到，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：圆是的内切圆， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的性质和相似三角形的判定与性质，延长，于点，由四边形为矩形，可证，再根据性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长，相交于点， ∵与，，均相切， ∴是的内切圆， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 连接，设与的边分别相切于H，M，N，连接O与三边的切点，则， ∴， 同理：， ∴ ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 【变式4】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得长的最小值． 连接并延长交于E，连接，则，，得到延长到E，使，作于H，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接并延长交于E，连接， 则，， ， ， 即的半径为6， 当时，的长度的最小， D是的中点， 延长到，使，作于H，连接，，， D是的中点， 是△的中位线， ， 当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最小值是， 故答案为：6，． 题型十五 圆的综合问题 解｜题｜技｜巧 ☆综合运用圆的各种性质（垂径定理、圆心角与圆周角定理、切线性质等），并结合三角形、四边形、相似、三角函数等知识解决问题 ☆分析条件：梳理题目中给出的所有信息，逐一与圆的性质进行关联 ☆构建模型：根据问题类型（求长度、角度、面积、证明关系），确定主要使用的定理和公式 ◎辅助线策略：常作的辅助线包括：连接圆心与弦的中点（用垂径定理）、连接切点与圆心（用切线性质）、作直径（构造直角）、连接圆上点构成圆周角等 ☆逐步推理：将复杂问题分解为多个简单步骤，每一步都有明确的几何依据 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键． 如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点， ∵的半径是5， ∴，， ∵点都在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴当的值最大时，四边形面积有最大值， ∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为， ∴四边形面积的最大值是， 故选：D ． 【典例2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）， ， （3）连接， ， ， ， ∴，设， 解得：      ． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，已知内接于，，延长交于E点，交于点F，D是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点M，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接分别交和于点G和点H，若，且，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，由圆内接四边形的性质得，再根据等量代换即可解答； （2）先根据垂径定理得，由勾股定理得：， ，再证明，再运用相似三角形的性质求解即可； （3）如图3，连接，过点G作于K，设，先证明平分，由三角形的面积的比可得：，再化简并等量代换后即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：如图3，连接，过点G作于K， 设， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 设中边上的高为h， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，平分， 同理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、等腰三角形的判定和性质、圆周角的相关定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当点P为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值． （1）由同弧所对的圆周角相等，结合，得，判定为等边三角形； （2）将四边形面积拆分为与的面积和，转化为，当P为中点时，取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下： 如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F． ∵ • •， ∴ •， 当点P为的中点时，为的直径， ∴此时四边形的面积最大． 又∵的半径为1， ∴其内接正三角形的边长 ， ∴ ． 【变式3】（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据费马点的定义证明∽，得到对应边成比例解题即可； （2）连接，过点A作，于点，，根据等边三角形得到≌，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 本题属于圆的综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键． 【详解】（1）解：点是的费马点，， ， ， ， ∽， ， 已知，， ， 解得（负值舍去）； 证明：连接，过点A作，于点，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中，， ≌， ，，， ， 又，， ， 又， ， ， ， ， 点是的费马点； （3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，，如图， 根据题目可知当、、、四点共线时，此时，的值最小，且， 延长交于点，则，连接，如图， 又， ， ， ， 点为外接圆的圆心， ，即， 的值最小为， ， 即圆的半径为． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江金华·月考）的半径为2，点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3， ，即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 由可得，，进而利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵圆心到弦的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 4．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】连接，， 、是的切线，切点分别是、， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为 ．（计算结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 【答案】(1)作图见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，连接，求解，可得，求解，结合，可得答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系及数轴上两点的距离，根据点与圆的位置关系得出点A到圆心B的距离范围，再结合数轴上两点间的距离公式列出关于b的不等式，进而求解b的取值范围． 【详解】解：∵点A在内， ∴， ∵点A表示实数6，点B表示实数b， ∴， ∴， ∴， 由得， 由得， ∴， 故选：D． 3．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基础知识，弦心距的计算，线段最大值的计算，掌握直径所对圆周角是直角，弦心距的计算，点的运动及线段最大值的计算是关键． 如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理得出，利用圆周角定理即可得出点在以为直径的圆上，则，可得，当、、三点共线时，有最小值，由勾股定理，可得，即可得线段的最小值． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， ∴， 当、、三点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2)的长是8 【分析】此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，弦于点E，得，由垂直平分，得，则，所以； （2）连接，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）解：连接， 是的直径，弦于点E， ， 垂直平分， ， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：连接， ，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 的长是． 7．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，先证，再说明即可证明结论； （）先说明是等边三角形，进而得到，然后根据勾股定理求得，最后根据阴影面积等于计算即可． 【详解】（1）解：与相切，理由： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 8．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径与弦交于点E，且． (1)求证：． (2)若是以为腰的等腰三角形，求． (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）连接并延长交于H点，利用垂径定理的推论得到垂直平分，则根据等腰三角形的性质得到平分，即，然后利用得到结论； （2）设，则，，根据圆周角定理得到，当时，；当时，，，然后列方程求出α即可； （3）利用垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，设⊙O的半径为r，则，，在中利用勾股定理得到，解得，所以，接着在中计算出，然后证明，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【详解】（1）证明：连接并延长交于H点，如图， ， ， 垂直平分， 平分， 即， ， ， ； （2）解：设，则， ， 为直径， ， 当时，， ， 解得； 当时，， ， 解得， 综上所述，的度数为或； （3）解：， ， 在中， ， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ， 在中，， 在中，， 是的直径， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理推论，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等．掌握圆周角定理，垂径定理推论，能熟练利用相似三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查切线的性质和旋转的性质，设旋转后与相切于点，连接，则可求得，再利用角的和差可求得结果，理解题意，分两种情况分析是解题关键． 【详解】解：如图，设旋转后与相切于点，连接，设与交于点，连接，    ，即， ， ∴ ∴是等边三角形， 则 又∵， ， 当点在射线上方时， ， 当点在射线下方时，同理可得 ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴的直径为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的两条内角平分线的交点是三角形的内心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理和垂径定理．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．根据圆的性质和三角形内心的定义判断：需平分弦非直径才成立；需在同圆或等圆中；需同时满足直线过半径外端点；正确，因为内心是角平分线的交点． 【详解】解：：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故错误； ：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故错误； ：经过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故错误； ：三角形的三条内角平分线交于一点，称为内心，故正确． 故选：． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握等弧所对的圆周角相等、圆内接四边形对角互补是解题关键．本题根据圆内接四边形对角互补可得度数，结合圆周角定理即可解决的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴，即：， ∵，则 ∴． 故答案为： ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）由在平行四边形内以及，可知的运动轨迹为以为直径的圆，进而推断当的高为该圆的半径时，的面积取最大值，据此计算即可； （2）根据中位线性质可将求的最小值转化为求的最小值，结合（1）可知当、、三点共线时，取得最小值，结合及勾股定理求出，进而求出、． 【详解】（1）解：点是内一动点，且， 点的运动轨迹为以为直径的圆， 如图，设的中点为，当时，的面积取得最大值， 此时，， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接， 为的中点，为的中点， ， 当取得最小值时，有最小值， 如图，连接，交于点，过点作，交的延长线于点, 由（1）可知，点的运动轨迹为以为直径的圆， 当、、三点共线时，取最小值， ，， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形外接圆，三角形中位线定理，圆外点到圆上点的最短距离，识别“的运动轨迹是以为直径的圆”是解题关键． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，E是圆上一点，将沿折叠至，使点D落在上．且过点O，则= ，= ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，设交于点，设，由折叠性质得，，是的直径，进而得，，由此得，，根据圆周角定理得，则，再根据得，则，解方程即可；设，，则，，，证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，则，整理得，继而得，据此即可得出的值． 【详解】解：延长交于点，连接，设交于点，如图所示： 设， 将沿折叠至，使点落在上，且过点， ，，是的直径， ，， ， 在中，， 根据圆周角定理得：， ， 是等腰三角形，且， ， ， 解得：， ； 设，， ，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠及其性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图①，在中，为边上的高，以上一点为圆心的过，两点，且分别与交于点，延长交于点，连结． (1)求与之间满足的数量关系． (2)① 求证： ②已知，求的半径． (3)如图2，连结，当与的面积之比为2时，求的值． 【答案】(1) (2)详见解析； 的半径为5 (3) 【分析】本题重点考查圆的性质（圆周角定理、弦径关系）、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，找出相等的角并利用圆周角定理建立等式，结合相似三角形面积比求解线段比是解题的关键． （1）根据，，设 得到结论； （2）①根据得，根据得得到结论； ②连结中，根据，求得半径； （3）根据，与的面积之比为2时，可知，进而得，设，得，则，即，求出，即得到答案． 【详解】（1）如图①，为边上的高， ． 为的直径， ， 设，则， ． （2）①由(1)得 ， ，即 ． ② ． ， 如图②，连结中，， 的半径为5． （3） ， ， 当与的面积之比为2时，可知， ， 设，得， 则． ． ． 8．（25-26九年级上·浙江金华·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 【答案】初步应用：；问题解决：；问题拓展： 【分析】初步应用：由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可． 问题解决：利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可． 问题拓展：由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理关系求解取值范围即可． 【详解】解： 初步应用：以为圆心，为半径作， ， 点、、在上， ，， ， ， ， ， ； 问题解决：连接、、， 点关于直线的对称点是， ， ，， ，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，， ， ∵， 的最小值为； 问题拓展： 四边形是平行四边形， ，， 是中点， ， ∵将沿所在直线翻折得到， 以为圆心，为半径作辅助圆，如下图： ∵， ∴点，D在上， ∴当点、M、C在一条直线上时，线段取得最小值， 过点M作，交的延长线于点E， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴线段的最小值． 过点A作，交的延长线于点F，如下图： 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， m的取值范围为． 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质（圆周角定理、圆的定义）、轴对称的性质、正方形和平行四边形的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握辅助圆的构造方法是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的相关概念 理解圆心、半径、直径、弧、弦、等弧、同心圆、等圆等基本概念，并能在图形中准确识别。 基础概念题，常在选择题或填空题中直接考查，要求对概念掌握清晰。 点与圆的位置关系 掌握点与圆的三种位置关系（点在圆内、圆上、圆外）的判断方法（比较点到圆心的距离d与半径r的大小）。 基础考点，常单独出题或与坐标系结合考查，要求会判断或求参数范围。 三角形的外接圆 理解三角形外接圆的定义，掌握三角形外心（三边垂直平分线的交点）的性质，会作已知三角形的外接圆。 常与三角形性质结合考查，多出现在选择题或填空题中，要求理解外心到三角形三个顶点距离相等。 图形的旋转 理解旋转的概念，掌握旋转的基本性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角）。 作为图形变换的基础，常与其他几何知识（如圆、三角形）结合考查，要求能识别和描述旋转关系。 垂径定理 掌握垂径定理及其推论（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧），并能用于计算弦长、半径、弦心距等。 核心高频考点，是圆中计算和证明的重要工具，常出现在计算题或证明题中。 圆心角及定理运用 理解圆心角的概念，掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”这一定理及其逆定理。 常与弧长、弦长计算结合考查，是证明圆中线段相等或弧相等的依据之一。 圆周角及定理运用 掌握圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等）。 核心必考考点，几乎贯穿所有圆的综合题，广泛用于角度计算和几何证明，要求熟练掌握。 圆内接四边形 掌握圆内接四边形的性质（对角互补，任何一个外角都等于它的内对角），并能利用此性质求角度或进行证明。 中档考点，常在综合题中作为求角度或证明角相等的关键一步。 正多边形与圆 理解正多边形与圆的关系（正多边形的外接圆与内切圆），会计算正多边形的中心角、半径、边心距、边长和面积。 计算类考点，常以填空题或解答题形式出现，要求熟记相关公式并能灵活运用。 弧长及扇形面积 熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算。 中考必考计算题型，常与现实背景（如跑道、纸扇）结合，考查公式应用能力。 直线与圆的位置关系 掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的判定方法（比较圆心到直线的距离d与半径r的大小）。 基础考点，常作为判断位置关系或根据位置关系求参数（如半径、距离）的题目出现。 切线性质定理及其应用 掌握圆的切线性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），并能运用此性质进行线段或角度的计算与证明。 高频核心考点，是证明垂直关系和进行相关计算的基石，常在解答题中出现。 切线长定理 掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）。 常与三角形的周长、面积计算结合考查，多出现在中档解答题中，要求理解并应用。 三角形的内切圆 理解三角形内切圆的定义，掌握三角形内心（三条角平分线的交点）的性质，会作已知三角形的内切圆，并能进行相关计算（如内切圆半径与三角形面积、周长的关系）。 综合性考点，常与面积计算（公式结合，出现在中档解答题中。 知识点一、圆的概念 1、圆的定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 知识点二、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. 易错点： 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点三、弧、弦、圆心角的关系 1、圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. 2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 易错点： （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 知识点四、 垂径定理 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 2、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： 3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 4、垂径定理的推论： （1）垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） （3）垂径定理的几个基本图形： 知识点五、 圆周角的概念 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 知识点六、 圆周角定理及其推论 1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图： 即∠ABC =∠AOC 3、圆周角定理的推论 圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点七、 圆内接四边形及其性质 1、圆内接四边形：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. 2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 知识点八、 正多边形的相关概念 1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. 2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. 3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识点九、 正多边形的有关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点十、 正多边形的画法 1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接 正多边形. 2、等分圆周的方法： （1）用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点； （2）顺次连接各等分点. 知识点十一、 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 易错点： ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点十二、 扇形及扇形的面积公式 1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 易错点： ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 知识点十三、 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点十四、 圆的确定 1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才 唯一确定； 2、过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. 3、不在同一条直线上的三点确定一个圆. 知识点十五、 三角形的外接圆 1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. 2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 知识点十六、 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 知识点十七、 圆的切线的判定定理 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点十八、 圆的切线的性质定理 1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 知识点十九、 切线长及切线长定理 1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 易错点： ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2、切线长定理: 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 知识点二十、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 易错点： 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. 4、三角形外心、内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1、外心到三顶点的距离相等； 2、外心不一定在三角形的内部． 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1、内心到三边的距离相等； 2、内心在三角形内部． 题型一 圆的相关概念 解｜题｜技｜巧 ☆理解并掌握圆心（确定位置）、半径（确定大小）、直径（最长的弦）、弦（连接圆上两点的线段）、弧（圆上两点间的部分）等基本元素的定义与关系 ☆在复杂图形中，准确识别这些基本元素是解题的第一步 ☆牢记直径是圆中最长的弦，且等于半径的2倍 ☆注意区分“弧”与“弦”，弧是曲线，弦是线段 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【典例2】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【变式1】（22-23九年级上·浙江金华·月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【变式2（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 题型二 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆点与圆的位置关系由该点到圆心的距离 ( d ) 与圆的半径 ( r ) 的大小决定：( d < r )（点在圆内），( d = r )（点在圆上），( d > r )（点在圆外） ☆计算点到圆心的距离 ( d )（常用两点间距离公式） ☆比较 ( d ) 与 ( r ) 的大小，得出结论 ☆若已知位置关系求参数，可建立关于 ( d ) 和 ( r ) 的方程或不等式求解 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是 ． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·月考）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在中，已知，，． (1)用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，写出中的劣弧_________； (3)若以点A为圆心作，当的半径r满足________时，点B和点C有且只有一个点在内． 题型三 三角形的外接圆 解｜题｜技｜巧 ☆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径） ☆作外接圆的关键是找到外心，即作出任意两条边的垂直平分线，其交点即为外心 ☆求外接圆半径：直角三角形中，斜边的一半即为半径；一般三角形中，可利用正弦定理，或通过构造直角三角形求解 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【典例2】（25-26九年级上·浙江舟山·月考）在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【典例3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 题型四 图形的旋转 解｜题｜技｜巧 ☆在圆中，旋转通常指图形绕圆心（旋转中心）转动，旋转前后对应点到圆心的距离不变，对应点与圆心连线所成的角等于旋转角 ☆识别旋转中心（通常是圆心）和旋转角（通常是对应的圆心角） ☆利用旋转的性质：对应线段相等、对应角相等，且旋转角处处相等 ☆在求阴影部分面积等问题中，常通过旋转将图形移动到便于计算的位置 【典例1】（25-26·浙江宁波·期中）如图，在等边中，是的角平分线，，点E为上一点，将绕点B逆时针旋转得当F，E，C三点恰好在同一直线时，连接与，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列四个圆形图案，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转一定角度后都能与原图形完全重合．其中旋转角度最小的图形是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，的长度为 ． 【典例4】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有，点A、B、C均在小正方形的顶点上． (1)将绕着点C顺时针旋转得到（点A、B的对应点分别为D、E），画出； (2)在正方形网格的格点上找一点F，连接，使的面积等于的面积，并直接写出线段的长． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．9 C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，将绕点B顺时针旋转得到，且点D刚好落在线段上．若，则 ． 【变式4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出的坐标是______． 【变式5】（25-26九年级上·浙江·月考）在中，，点D为平面内一点． (1)【初步感知】如图1，当时，点D为外一点，将绕点B顺时针旋转后得到，若D，E，C三点在一直线上，则_______； (2)【类比探究】如图2，当，点D在上时，将绕点A逆时针旋转后得到，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，已知，点D是内部的一点，，若，求的最小值． 题型五 垂径定理及其应用 解｜题｜技｜巧 ☆垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。其推论包括：平分弦（非直径）的直径垂直于该弦 ☆见到“直径垂直于弦”或“直径平分弦（非直径）”，立即想到垂径定理 ☆应用垂径定理时，常构造直角三角形（由半径、弦的一半、弦心距构成），利用勾股定理计算未知量 ☆在弓形问题中，垂径定理是求弦长、半径、弦心距的核心工具 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（   ）． A．5 B． C．6 D． 【典例3】（23-24九年级上·浙江温州·月考）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·月考）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型六 圆心角及定理运用 解｜题｜技｜巧 ☆在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等 ☆要证弧相等或弦相等，可尝试证明它们所对的圆心角相等 ☆计算弧长或弦长时，先求出对应的圆心角度数 ◎圆心角定理常与等腰三角形（由两条半径构成）的性质结合使用 【典例1】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 题型七 圆周角及定理运用 解｜题｜技｜巧 ☆圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。重要推论：直径所对的圆周角是直角（90°）；同弧或等弧所对的圆周角相等 ☆见到直径，立即联想“直径所对的圆周角是直角”，从而构造直角三角形 ☆要证角相等，可寻找它们是否是同弧或等弧所对的圆周角 ◎在复杂图形中，圆周角定理是进行角度转换和计算的桥梁 【典例1】（2021·浙江杭州·二模）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，是直径，于点，，则的度数为 °． 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图，将绕点逆时针旋转得，画出； (2)如图，请画出的角平分线，交于点． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，是半圆的直径，，等于，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·期中）已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则 ． 【变式4】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，三角板，角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径． (1)小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O，连接并延长，交圆于点E，则就是所求作的直径．请说明理由． (2)请你在图2中作出圆形纸片的直径，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）． 题型八 圆内接四边形 解｜题｜技｜巧 ☆圆内接四边形的对角互补（和为180°），并且任何一个外角都等于它的内对角 ☆要证明一个四边形是圆内接四边形，可尝试证明其对角互补或一个外角等于其内对角 ☆已知圆内接四边形时，直接利用对角互补求角度 ◎此性质常与平行线、三角形内角和等知识结合考查 【典例1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，四边形是的内接四边形，，，，则的度数为 ． 【典例3】（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式1】（23-24九年级上·广东汕头·期末）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，请求出的度数； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长． (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，求与的关系式，并求出的最大值 【变式2】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 题型九 正多边形与圆 解｜题｜技｜巧 ☆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心（圆心称为正多边形的中心）。中心到顶点的距离为外接圆半径 ( R )，到边的距离为内切圆半径r（边心距） ☆将正n边形的问题转化为n个全等的等腰三角形（由中心和两个相邻顶点构成）的问题。 中心角 ☆熟记关系式：边长，边心距，面积 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【典例3】（24-25九年级上·福建福州·期中）一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，内接于，，以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形为（   ） A．正十八边形 B．正十五边形 C．正十二边形 D．正九边形 【变式2】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 题型十 弧长及扇形面积 解｜题｜技｜巧 ☆弧长公式：；扇形面积公式：（其中n为圆心角度数，R为半径） ◎已知 ( n ) 和 ( R )，直接代入公式计算 ◎已知弧长 ( l ) 求 ( n ) 或 ( R ) 时，利用公式变形 ☆求不规则图形（如弓形）面积时，常用扇形面积减去三角形面积 ◎实际问题中注意单位换算 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图是某传送带的部分示意图，是上的一点，的半径为15厘米，当点转动的度数为时，则传送带上的物体向右移动的距离为 厘米．（结果保留） 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是 ． 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图①，已知扇形，作如下操作：步骤1：以O，B为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2：直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，(如图②)经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是 ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，为圆上一点且于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图1中画出的外接圆圆心O位置． (2)若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 【变式4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． (2)求边扫过的面积． 题型十一 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离 ( d ) 与半径 ( r ) 决定：( d < r )（相交，2个交点），( d = r )（相切，1个交点），( d > r )（相离，0个交点） ☆计算圆心到直线的距离d（常用点到直线距离公式） 比较d与r的大小 ☆若已知位置关系求参数（如直线中的k值），建立关于d和r的方程求解 【典例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（    ） A．1或2 B．2 C．0 D．1 【典例2】（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为 ． 【典例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【变式1】（2020·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是 ． 【变式3】（22-23九年级上·福建南平·月考）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 题型十二 切线性质定理及其应用 解｜题｜技｜巧 ☆圆的切线垂直于过切点的半径。这是切线最重要的性质，也是证明垂直关系的常用依据 ☆已知切线，连接切点与圆心（作出半径），即可得到垂直关系 ☆利用此垂直关系，结合勾股定理或三角函数，可以计算线段长度或角度 ◎在证明题中，这是证明两条直线垂直的经典方法 【典例1】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【典例2】（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【典例3】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在方格纸中有及其外接圆，点A，B，C都在格点上．用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹） (1)找出圆心O． (2)过点B作圆的切线． (3)作出的角平分线． 【典例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． (1)若，请直接写出，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与分别相交．则圆心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为 ． 【变式3】（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【变式4】（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的直径； (3)已知，求的值． 题型十三 切线长定理 解｜题｜技｜巧 ☆从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ☆见到从圆外一点引出的两条切线，立即想到“切线长相等”，可将未知线段用同一线段表示 ☆该定理常用于求三角形的周长（切线长之和等于对应边）、证明线段相等或角相等 ◎常与切线性质定理（垂直）结合，构造直角三角形 【典例1】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【典例2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【变式1】（2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【变式2】（2021·浙江·二模）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【变式3】（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 题型十四 三角形的内切圆 解｜题｜技｜巧 ☆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三边的距离相等（等于内切圆半径r） ☆求内切圆半径r：常用面积法公式，其中 ( a, b, c ) 为三角形三边长 ☆内心在角平分线上，常利用角平分线性质进行比例转化 ◎在涉及内切圆的几何证明中，连接内心与切点是常见辅助线 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 【典例2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【典例3】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则 ． 【典例4】（九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【变式1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式3】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【变式4】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 题型十五 圆的综合问题 解｜题｜技｜巧 ☆综合运用圆的各种性质（垂径定理、圆心角与圆周角定理、切线性质等），并结合三角形、四边形、相似、三角函数等知识解决问题 ☆分析条件：梳理题目中给出的所有信息，逐一与圆的性质进行关联 ☆构建模型：根据问题类型（求长度、角度、面积、证明关系），确定主要使用的定理和公式 ◎辅助线策略：常作的辅助线包括：连接圆心与弦的中点（用垂径定理）、连接切点与圆心（用切线性质）、作直径（构造直角）、连接圆上点构成圆周角等 ☆逐步推理：将复杂问题分解为多个简单步骤，每一步都有明确的几何依据 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，已知内接于，，延长交于E点，交于点F，D是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点M，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接分别交和于点G和点H，若，且，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【变式3】（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25九年级上·浙江金华·月考）的半径为2，点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为 ．（计算结果保留） 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 8．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 6．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 7．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 8．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径与弦交于点E，且． (1)求证：． (2)若是以为腰的等腰三角形，求． (3)若，，求． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的两条内角平分线的交点是三角形的内心 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为 ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，E是圆上一点，将沿折叠至，使点D落在上．且过点O，则= ，= ． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图①，在中，为边上的高，以上一点为圆心的过，两点，且分别与交于点，延长交于点，连结． (1)求与之间满足的数量关系． (2)① 求证： ②已知，求的半径． (3)如图2，连结，当与的面积之比为2时，求的值． 8．（25-26九年级上·浙江金华·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $