辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4,本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册至选择性必修第二册第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.在空间直角坐标系中，点M(一2,1，一4)到x轴的距离为 A.2 B.17 C.3 D.15 2已知1是双曲线后-1的一条新近线，则1的倾斜角可能为 Ai2 B c D晋 3.某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种 数为 A.8 B.12 C.16 D.18 4.过圆C:x2+(y+4)2=25上一点M(3,0)作圆C的切线1.则1的方程为 A.4x-3y-12=0B.4x十3y-12=0 C3x十4y-9=0 D.3x-4y-9-0 5.已知平面a的一个法向量为n=(0.1,一1)，点A(1.1.0)在平面a内，则点P(0.1.一2)到平 面a的距离为 A.2 B号 e吗 n 6.已知点A(m,1)关于直线1：x+y一n=0对称的点B恰好在y轴上，则m的值是 A.-1 B.0 C.1 D.无法确定的 7.设抛物线C:x2=8y的焦点为F,M为C上一动点，A(4,6)为定点，则MA|+MF的最小 值为 A.4 B.5 C.6 D.8 8.给如图所示的六块区域A,B,C,D,E,F涂色，有四种不同的颜色可供选 择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂 色方法种数是 A.192 B.168 C.224 D.208 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，直三棱柱ABC-A,BC,的所有棱长均为1.E,F分别为AB,A,C,的中点，则 AE=-号B+AC+Ad E成，成- 。序在平面C℃B上的投膨向量的桢长为号 DE萨在A,B上的投影向量为-号A,B 10.下列说法正确的是 人将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放 法种数是3 B.将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须 全部放入盒中，那么不同的放法种数是C C,将4个不同的小球放人3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放 1个小球，那么不同的放法种数是AA D,将6个不同的小球放人3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种 数是CCC 11.已知曲线C:y一√一x(r>0)与直线1：3x-y+15=0,则下列结论正确的是 A.若r一4.则1被曲线C截得的线段长度为2万 B若1与C没有公共点，则r的取值范围为(0,3) C若1与C的公共点有且只有一个，则r的取值范围为(3U(6,十∞) D若1与C设有公共点且C上到1的距离为2的点有且只有2个，则，的取值范围为1，】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知n∈、”，则满足C-C的所有n的和为 3已知F上分别为双曲线C:一广口0，>0的左右焦点，过点￡的有线 左支交于A,B两点，且△FAB周长的最小值为8a,则C的离心率为▲ 14.某操场的正前方有两根高度均为7m,相距6m的旗杆AB,CD(两根旗杆都与地面垂直).有一 条10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B,D处，中间某处系在地 面的点P,并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个 平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则PA=▲m 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知圆C经过A(2.0),B(4,一2)两点，且圆心C在直线x+3y一4=0上 (1)求圆C的方程： (2)已知圆D:(x一2)2+(y一2)一1，求圆C与圆D的公共弦MN的方程以及公共弦MN 的长 16.(15分) 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD,SA=AB =BC-2AD,E是CS的中点. (1)证明：DE⊥SB (2)求直线AB与平面SCD所成角的正弦值. 17.(15分) 已知n∈N,(mz十1)"=an十a1x十a2x2+…十ax (1)若a1十a2++am=-1,求m的值 (2)已知(mx+1)”展开式的所有二项式系数之和为256 (1)若a,=-56,求m的值： ()若m>0,且a1>a,(i=1,2,3.5,6,…,n),求m的取值范围. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知动圆M经过点F(,0,且与直线x=一相切，记圆M的圆心M的轨迹为曲线C (1)求C的方程 (2)已知过点F的直线1与C交于A,B两点， (1若AB=6,求1的方程： (i)证明：点P(一1,0)在以AB为直径的圆外 19.(17分) 如图1，FR:分别是箱圆C,后+云-1>6>0)的左，右焦点，过点R,作直线，与C交 于M,N两点，且△FMN的周长为8，F,F:=2. (1)求C的方程. (2)如图2.把△MF,F沿F,P,翻折为△M,F,F,使得二面角M-F,F:-N,的大小为子 (1)若直线MN的斜率为一1，求M,N,1: (I)求三棱锥M1-N,F,F,体积的最大值 4 图】 图 【高二数学第4页（共4页）】数学试卷参考答案 L.B因为M(一2,1，一4)，所以点M到x轴的距离为√+（一4）=√/17 2D双曲线-一1的南近线方程为y一士号，则1的倾斜角为后或君，故选D 3.B教练不站在两边的排法种数为A一2A=12. 。C圆中Cy十425的圆心为C0,一4.则直线的率3 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即l⊥l, 所以·k1则切线1的斜率三。三一3 所以直线1的方程为y=(x一3.即3x十4y-9=0, 5.A由题查知市=(-1.0-一21.所以点P到平面。的距离d=币.m-2一2. n 2 1一1=1 m十1=1. 6.C设B(0,1),所以 化简可得 所以n=L. 一n=0, m+1-2n+1=0, 2 7.D由题可知F的坐标为(0,2)，C的准线1的方程为y=一2，由抛物线的定义可知MF等 于M到1的距离，所以MA十MF1的最小值为A到1的距离，即最小值为6一（一2）=8. 8.A第一步，给B,C,E三块区域涂色，有A种涂色方法：第二步，给F区域涂色，有2种涂色 方法：第三步，给A区域涂色，有2种涂色方法：第四步，给D区域涂色，有2种涂色方法，综 上，不同的涂色方法种数是A×2×2×2=192. ACE萨=E+A+A,方=-2A店+AA+AC=-A+AC+A,A正确： E萨.BC=(-号A+AC+A)·BC=-2A.BC+AC.BC+AM·BC 2×(-2)+号×名+0=2，B错误： 过E作EBG⊥平面BCC,B,垂足为G(图略)，易知BG=BC,过下作FH⊥平面 BCC,B,垂足为H,易知C,i=C,B,即E序在平面BCC,B:上的投影向量为G。 过E作EILA,B,垂足为I1,易知A=A,E,过F作F刊LA,B,垂足为J,易知A了 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 =A,B.即E市在A,B上的投影向量为广=一A,B,D错误。 10.ABD将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至 少放1个小球，那么不同的放法种数是CA,C错误.A,B.D均正确 11.ABD由y=√T2-x(r>0),得x2+y2=r2(y≥0)，所以曲线C是圆心为原点O的半 圆.当r=4时，易得（与C相交，因为O到1的距离为 15 =3,所以1被曲线C截得的 32+4甲 线段长度为2√4一3=27，A正确， 若1与C没有公共点，则O到1的距离为 115 =3>r,B正确 3+4年 当1与C相切时=由3x-中15=0，得y-是+只当1与C相交时-7X+5 <0,得r>5.故r的取值范围为{3}U(5,十∞)，C错误 当1与C没有公共点且C上到1的距离为2的点有且只有2个时，>1且点（一r,0)到1的 距离为-3”15≥2，得1<<（当r≥号时l与C有公共点，舍去.D正确 5 n9, 12.5由组合数的性质可得4n一6≤9，解得n≤3.又C=C"s,所以n=4n一6或n十4n一6 n∈N, =9,解得n=2或n=3.故满足C=C6的所有n的和为5。 13.√2△F2AB的周长为AF:+|BF,|+|AB|=|AF,I+2a+BF,I+2a+|AB| 2AB|+4a.当AB⊥F,F,时，AB取得最小值，△F,AB的周长取得最小值.令x=一c, 得y=士名则A艺2A+a-营+=，得a=6故C的离6率为。 -2 a 14 因为PB1+|PD=10>BD=6,所以P的轨迹是焦点为 B,D,长轴长为10，短轴长为2√5一3=8的椭圆.如图，以直线 BD为x轴，BD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.易得该椭 圆的方程为坛+后=1当y=一厅时云+名-1.得x=士只 x27 所以PA=-3=是 15.解：1)由题可知直线AB的斜率为4-2 -2-0 =一1，…1分 直线AB的中点坐标为(3，一1)，…2分 直线AB的中垂线方程为y十1=x一3，所以圆心C在直线y=x一4上，…3分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 又圆心C在直线x+3y一4=0上，由 y=x-4, 得 x=4. x+3y-4=0. 所以C(4,0). …4分 y=0. 又AC引=2，…5分 所以圆C的方程为（江一4）十y=4.…6分 (2)将圆C与圆D的方程相减，得公共弦MN的方程为4x一4y一5=0， …9分 所以圆心C(4,0)到直线MN的距离d=4X4-0-5=112 ,…11分 √④+4里 8 又圆C的半径r=2,所以由圆的弦长公式得MN=2W厂一d=2√4-32 ,12I_14 4 …13分 16.(1)证明：以A为原点，AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，不妨设AD=1,则SA=AB=BC=2,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0), D(1,0,0),S(0,0,2),E(1,1,1).…2分 D呢=(0,1.1).SB=(0,2.-2),…4分 则D2.S第=(0.1,1)·(0.2.-2)=0，所以DE⊥sB …7分 (2)解：在平面SCD中，DC=(1.2,0),SC=(2,2,-2).AB=(0,2. 0). …9分 n·DC=0. 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则 n·SC-0. 即+2=0， x=-2y 所以 2x+2y-2x=0. x=一y 令y=一1，则之=1，x=2,所以n=(2,一1,1).…12分 故直线AB与平面SCD所成角的正弦值为1 cos(A,n)三自 -2 2×/6 6 …15分 17.解：(1)令x=0,则a。=1"=1, …1分 令=1，则4。十41十公2十…十公。=(m十1)”，…2分 所以(m十1)”一1=一1，故m=一1.…4分 (2)因为(mx+1)”展开式的所有二项式系数之和为256，所以2=256，解得n=8.… …6分 (i)由题可知a3=Cm3=一56，即56m=-56,所以m3=一1，m=一1，…9分 (i)因为a>a,(i=1,2,3,5,6,…,m).即展开式中有且仅有x项的系数最大 Cim>Cim, 所以 …12分 Cm'>Cm. 解得<m<是，所以m的取值范围是(，) …15分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 18.解：1)动点M到F的距离等于M到直线=-是的距离，…1分 则C是焦点为子0)，准线为x= 、3 4 的抛物线，…2分 所以C的方程为y2=3x,…3分 (2)易得1的斜率不为0.设A(x1·y1),B(xzy:).l:x=my 3 …4分 由 x=my十4'得y2-3my 9 4 =0,…行分 y2=3.x 4=9m2+9>0. 则y十=3m, …6分 9 yy:=-4 3 3 3 3 (ABI=IAF+BF-:: =my+ 3 .3 4 =m(y1十y2)十3=3m23=6,…8分 得m=士1，… …9分 所以1：=士y+.即1的方程为+4y-3=0或-4y-3=0.…10分 （重)证明：PA=(x1十1，y1).P克-(x2十1，y2）.…11分 因为Pi.Pi=PA1Pi1cos(PA,Pi)=(x+1)(x+1)+yy=x1x十x,十x+1 十y1y …】3分 .-,+1+yy=9十my12TT=3m+30 9 9 十160，…15分 所以cos(PA,PB)>0,则PA.P3》< 16分 故点P(一1,0)在以AB为直径的圆外.…17分 19.解：（门）由题可知4a=8,a=2.…1分 又|F,F2=2c=2,所以c=1, 2分 b2=a2-c2=3. …3分 方程为计…………… (2)设M(x1y1),N(cy:) (i)易知MN的方程为y=一x十1， y=-x+1. 人由E+.得y一6y-90 【高二数学·参考答案第4页共5页)】 6 9 则y1十y:=7yy= 7 ，…6分 162 则y+y=(y1+y)2-2yy=49 …7分 过M1作MGLF,F,垂足为G,过N,作N,H⊥F,F2,垂足为H(图略)， M.N:=M G+GH+HN.IM GI=lyl.IGHI=Ix-x:l.|HNI=ly:l. 因为二面角MF,PN,的大小为号所以MG.N)= 。…………8分 所以M,N=(M,G+G丽+HN):-M,G+G+HN+2M,G.HN =y+(x,-)2++2×(-)=+(,-)+- =20i+》-2--1g×2+2x号g-30 49 7 49 即1M,N,=3/国 7 ……11分 (i)设MN的方程为x=my十1， (r=my+1. 由xy 得(4+3m2)y2+6my-9=0. 43 =1. 则y,十y= 6 4+3m2y1y= 9 4+3m2· ………13分 因为二面角M-F,F:-N,的大小为5，所以M,到平面，FF2的距离为ysin3 3 y，…15分 61y1y2 33 33 2(3m+4)○8 故三棱锥M,N,F,F,体积的最大值为33 8 …17分