湖南省长郡中学2025-2026学年高二上学期元旦假期作业数学试题

元旦假期数学作业 一、单选题 1.已知集合M={x-4<x<1},N={-4,-3,-2,-1,0,1},则M∩N=() A.{←-3，-2，-1,0,1}B.{-4,-3,-2,-1,0}C.{3,-2,-1,0} D.{x-4<x<1} 2.若已知条件p:x≤1，条件q:x2-6x+5≥0，则P是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)+f(x)=4,且f(1)=1,则f(2026)=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.小河的对岸有一棵树，设树底为O,树顶为C.如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取A,B 两点，使得A,B,O在同一水平面上，且A,B,O三点共线，AB=25(3-1)米.若在A处测得树顶C的仰 角为45°，在B处测得树顶C的仰角为60°，则这棵树的高度CO=() A.40√5米 B.35√5米 C.30√5米 D.25V3米 5.入射光线1从P(2,1)出发，经y轴反射后，通过点2(4,3)，则入射光线1所在直线的方程为() A.y=0B.x-3y-5=0C.x+3y-5=0 D.x-3y+5=0 6.直线2x-y+2=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点，则弦长|AB=() A.85 B.4V5 4 5 5 c. D.5 7.在数列a}申，4=2，只+n+月，则a等于( n+1 n A.2+nlnn B.2n+(n-1)Inn C.2n+nIn n D.1+n+nlnn 8已知各项均不为要的数列a号的前u项和为8,4=2且a-号+分S,-S5,≥2到.则S=() 2 A.4052 B.4054 C.2026 D.2027 二、多选题 9.下列命题正确的是() A若面数)=〔x+)定义域是[2，则v=f2x-)的院义减是0 试卷第1页， B.己知2<a<3,-2<b<-1,则2a-b的取值范围是(6,7) 。.已知实数满足0<<兮则上的受小值为2 x'1-3x D.已知x>0,y>0,且x-y+y=3,则x+y的最小值为3 10.已知函数f)=Asin(0x+pA>0.0>04<的部分图象如图，则() 为奇函数 B.f()在412 3π11π 上单调递增 C.若()-f(=2,则k-x的最小值为2匹 D.若>0，函数f在[0,2]上有2个零点，则1e[3弧 24’8 11.在平行六面体ABCD-ABC1D中，AA=AD=AB=1,∠AAD=∠AAB=∠DAB=60°，M 为AC与BD的交点，若AB=ā，AD=b,AA=c,则下列正确的是() A.BM=La-16+c 22 B.AC,⊥BD D C.异面直线AA与BC所成角为60 D.平行六面体的体积为 2 三、填空题 12.i是虚数单位， 5-1 的值为 1+1 13.一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49元cm2和400πcm2,则球的表 面积为 .cm2. 14.设m∈R,过定点A的动直线x+2+m(y-7)=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于 点P(x,y),则PA+PB的取值范围是 2页 四、解答题 15.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(c-V3 b)sin C=asinA-bsin B. (1)求A: (2)若c=√3，a=V3,求eABC的周长； 16.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=AA=2,∠BAC=90°，E,F分别为CC,BC的中点. (1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值： (2)求点B1到平面AEF的距离； (3)求平面AEF与平面AEB夹角的余弦值. 17.已知双面线C若是=a>0b>0的焦距为2w5,离心幸为. (1)求C的方程： (2)若A是C的左顶点，直线：y=3x-3与C交于P,Q两点，求△AP2的面积. 试卷第2页， 18.已知{an}是等差数列，{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，且4=b,44=b: (1)求{4}的通项公式： (2)若cn=ab.,求数列{cm}的前n项和Sn 19.已知椭圆C的两个焦点F(-2,0),F,(2,0),过乃点且与坐标轴不平行的直线1与椭圆C相 交于MN两点，△WF2的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点P(-8,O)的直线与椭圆C交于两点A,B,设直线AF,BF的斜率分别为k,k2 (i)求证：k+k2为定值： (ii)求△AB?面积的最大值. 共2页《元旦假期数学作业》参考答案 题号 2 5 6 8 9 10 答案 D AC ABD 题号 11 答案 BCD 1.C 【分析】根据交集含义即可得到答案 【详解】根据交集的定义得M∩N={←-3，-2，-1,0} 故选：C 2.A 【分析】求出不等式，根据真子集关系即可得到答案. 【详解】x2-6x+5≥0，解得x≥5或x≤1， 因为{xx≤1}是{xx≥5或x≤1}的真子集， 则P是I的充分不必要条件 故选：A 3.C 【分析】先得到f(x)的一个周期为6，从而得到f(2026)=f(4),赋值得到f(4)=3,得 到答案 【详解】f(x+3)+f(x)=4,故f(x+6)+f(x+3)=4, 两式相减得∫(x+6)=f(x),故∫(x)的一个周期为6， f(2026)=f(337×6+4)=f4), f(x+3)+f(x)=4中，令x=1得f(4)+f(1)=4, 又f1)=1,故f(4)=3,所以f(2026)=3 故选：C 4.D 【分析】先根据正弦定理求出BC的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在eABC中，∠4=45°，∠ACB=∠0BC-∠A=60°-45°=15，AB=25(V3-1米， 答案第1页，共12页 在1BC中，由正弦定理可得8BC,所以25(5- BC sin∠4CB sin A sinl5 sin45 又因为sim15=i咖(4s-30)=55516-5 22224 所以6-水6a0c后 xV5,解得BC=50米。 在△BOC中，∠OBC=60,∠BOC=90,BC=50米， 所以0C=BC sin∠0BC=BC sin60'=50xY5256米， 2 故选：D 5.C 【分析】先求出点Q的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可 【详解】因为Q4,3)关于y轴的对称点Q(-4,3), 所以直线P0:y-131x+3-5=0 x-2-4-2 因此入射光线1所在直线的方程为x+3y-5=0, 故选：C 6.A 【分析】利用几何法求圆的弦长即可 【详解】由(x-1)2+(y-2)2=4的圆心为1,2)，半径为2， 而1,2)到2x-y+2=0的距离为 2×1-2+2=2 2*G2, 2 所以AB=2× &W5 故选：A 7.C 【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 答案第2页，共12页 【详解】在数列a,}中，由-&+ln1+马，得a-&=non+1)-nn, n+l n n n+l n 则当n≥2时，及=马+)+（受-++0 21 、32 、nn-1 =2+(m2-lnl)+(n3-n2)++[nn-nn-1]=2+nn, 因此an=21+nlnn,显然a=2满足上式， 所以an=2m+nlnn 故选：C 8.A 【分析】根据a,S的关系可得数列{S}是等差数列，可求得So26 【详解】当u≥2时，由a-方8+片8-S8a22.可得a=8-8=-8月， 因为各项均不为零，所以Sn-S1≠0，可得Sn-Sn1=2, 所以数列{Sn}是首项为S=4=2,公差为2的等差数列， 所以S=2+2(n-1)=2,S2026=2026×2=4052. 9.AC 【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A;根据不等式的性质判断B;利用基本不等式求 解判断CD 【详解】选项A:函数y=f(c+1)定义域为[-2,3]，则x+1∈[-L,4, 故函数y=f(x)的定义域是[-1,4]， 令2x-1e1则xe03引，故y=f2x-l的定义城是[0引 故A正确： 选项B:由2<a<3,得4<2a<6,由-2<b<-1,得1<-b<2, 故2a-be(5,8),故B错误： 选项C:由0<x<,得1-3r>0, 则时-及a上“0数e2 x1-3x -3x36x+15=27, Vx 1-3x 当且仅当3x=36x,即x三时等号成立，则上+12 x1-3x x1-3x 的最小值为27，故C正确： 答案第3页，共12页 选项D:由-y+y=3,得x=1+,2 1+y 2 则x+y=(y+1)+ 7≥2(y+12,=2W2,当且仅当y=V2-1时等号成立， y+1 则x+y的最小值为2√2，故D错误 故选：AC 10.ABD 【分析】根据函数的部分图象求出∫(x)的解析式，结合正弦函数的奇偶性、单调性、最值 与零点可判断各个选项 【详解】设后数的周期为，由图象可知，41，子普日后所以T-证智 03 解得o=3,此时f(x)=sin(3x+p): 如图，寸[牙sm粱+=1，因为4经所以@=子因此f)=m3x-到： 对于A, 因为数}s3〔r)s血3x所以数：司是奇数。 故A正确： 对于B因为[祭，后以3牙2到 2 结合正弦函数的单调性知，f(x)在 3π11π 4’12 上单调递增，故B正确： 对于C因为)2，所以k-的最小信等于号号故c辑误 对于D,依题意，f四)=sm3如到， 由1>0，x∈[0,2]，得3-∈厂 4 ,6、π 因为 4 10.函数在02上有2个零点，[k2刘，解得e[B),故D正跪 5π3π 故选：ABD. 11.BCD 【分析】根据向量的线性运算法则，计算即可判断A的正误；根据向量的线性运算法则， 可得AC=a+b+c,BD=b-a,根据数量积公式，化简计算，即可判断B的正误；由题意 AA∥BB,所以BB,与BC所成角即为AA与B,C所成角，即∠BBC为所求，由条件可得 △BB,C为等边三角形，即可判断C的正误；根据夹角公式，先求出AA与AC所成角，进 答案第4页，共12页 而可求出A到平面ABCD的距离d,根据面积公式，可求出底面菱形ABCD的面积S,代入 体积公式，即可判断D的正误 【详解】选项A: M-丽+BM=+号西=M+D-4+(aD-到-a+五+c,故A错误 22 选项B:AC=AC+CC=AB+AD+CC=a+b+c, BD=AD-AB=6-a, 所以ACBD=(a+b+c)6-a）=b2-a2+b-c-i.d =5-+5lcos60-lcos60=1-1+1×1×号-1x1x号-0， 2 所以AC⊥BD,即AC⊥BD,故B正确： 选项C:因为平行六面体ABCD-ABCD, 所以AABB,则BB与B,C所成角即为AA与B,C所成角，即∠BBC为所求. 因为BB,=BC=1,∠BBC=60°， 所以△BB,C为等边三角形，则∠BB,C=60°， 所以异面直线A4与B,C所成角为60，故C正确； 选项D:a+=+6+2a.万=1+1+2x1x1x3, 由∠AAD=∠AAB=∠DAB=60可知，A在平面ABCD的射影在AC上， 设AA与AC成角为B,A到平面ABCD的距离为d, 则c0s0= AACatB)e.a+e.B Ix1x+lxx1 2 2√3 44AC lea+5 la a+b 1x√3 3 所以sm0=cos'0=6 所以4到平面ABCD的距离d=A4sim0= 3 又底面麦形8CD的脂积S4DxA8x面602-1kkm60x上 2 所以平行六面体的体积r=Sd-56-2,故D正确 23 2 答案第5页，共12页 故选：BCD 12.√13 5-i5- 【分析】根据1+1+司 求出答案 【详解】 15-i_5-i25+1 =3 1+i1+i1+1 故答案为：3 13.2500元 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知AOBO, 0 且O,O2为两截面圆的圆心，则OO⊥AO,OO21BO2. 设球的半径为Rcm,.O,B2=49元，.O,B=7cm. π.OA=400元，.0A=20cm. 设OO=xcm,则OO2=(x+9)cm. 在Rt△OOA中，R2=x2+202,记为①式， 在Rt△OO,B中，R2=7+(x+9)2,记为②式， 联立①②可得x=15,R=25」 ∴.S球=4πR2=2500π(cm2),故球的表面积为2500cm2. 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 答案第6页，共12页 02 B 由球的截面性质知，OAO,B,且O,O,分别为两截面圆的圆心， 则OO,⊥OA,OO2⊥O2B.设球的半径为Rcm, πO,B2=49元，O,B=7cm. π.0A2=400m,.OA=20cm. 设O0=xcm,则OO2=(9-x)cm. 在Rt△OOA中，R2=x2+400.在t△O0,B中，R2=(9-x)2+49. .x2+400=(9-x)2+49,解得x=-15,不合题意，舍去. 综上所述，球的表面积为2500mcm2. 故答案为：2500π 14.[5,52 【分析】可得直线分别过定点(-2,7)和(L,3)且垂直，可得PA2+PB=25.设∠ABP=日， 则4=5n8.1P网=5cs0,0c0写则PA+P网55m0+利用E弦数的性 4 质求值域即可. 【详解】由题意可知，动直线x+2+m(y-7)=0,经过定点A(-2,7), 动直线x-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过定点B(1,3), :m≠0时，动直线x+2+(y-7)=0和动直线x-y-+3=0的斜率之积为-1， m=0时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， .PA⊥PB, PAP+PB1PABP=V(-2-1)+(7-3)2=25. 答案第7页，共12页 设∠ABP=0,则PA=5sin0,|PB=5cos日， A20且网20，可得9e0引 5(in ci sw5mo到-5， 故答案为：[5,52 【点睛】关键点点睛：因为PA+PBP=ABP=25,设∠ABP=6,则PA=5sin6, |PB=5cos8,则PA+PBl=5√2sim0+ 4 即可求得PA+PB的取值范围 15.1)A= Γ6 (2)5+V5+V13 【分析】(1)先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出： (2)由(1)知c2+b2-a2=√3bc,又c=√3，a=V13,可求出边b,进而求出周长： 【详解】(1)因为(c-√3b)sinC=asinA-bsin B,由正弦定理可得，(c-V3b)c=a2-b2, 即c2+b2-a2=V3bc, 所以cosA=c2+b2-d-V5 2bc 2 因为0<A<元，所以A= 6 (2)由c2+b2-a2=√3bc,c=V3,a=V13,得3+b2-13=3b, 整理得b2-3b-10=(b-5)b+2)=0, 解得b=5或-2（舍去）， 所以4BC的周长为5+√5+3 答案第8页，共12页 16.a)6 (2)V6: 3)56 18 【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； (2)利用空间向量计算点面距离即可： (3)利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1)由题意可知AB、AC、AA两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则A(0,0,2),B(2,0,0),F(0,2,1),1,1,0, 即AB=(2,0,-2),EF=(1,-1,-1), 所以cos(AB,EF)= AB.EF 46 4BE丽83=3， 即异面直线4B与BF所成角的余弦值为 3 B (2)由上易知AB=(2,0,2),AE=(0,2,1),AF=1,1,0), iAE=2y+z=0 设面AEF的一个法向量为1=(x,y,z),则有 iAF=x+y=0 取y=-1→x=1,z=2,即n=(1,-1,2), 所以点B,到平面AEF的距离为d= aB列-6-6： 网6 (3)由上可知AB=（2,0,-2),AE=(0,2,-1), 答案第9页，共12页 i.AB=2a-2c=0 设面AEB的一个法向量为m=(a,b,c),则有 mAE=2b-c=0' 取c=2→b=1,a=2,即m=（2,1,2), 设平面AEF与平面AEB夹角为， 则osu=kos位训 m列_5_56 减：l3618 即平面ABF与平面ABB夹角的余弦值5V6 18 17.x上-1 4 @ 【分析】(1)根据给定条件，求出a,b,c即可. (2)求出点A到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积 【详解】(1)依题意，双曲线C的半焦距c=5,由离心率e=C=√5，解得a=-1, a b2=c2-d2=4, 所以双曲线C的方程为x兰打 (2)由(1)知双曲线C的左顶点A(-10),点A到直线1：3x-y-3=0的距离d=6 10 由4r-y=4消去y得5x2-18x+13=0,解得5=1，飞- [y=3x-3 13 则PQ-=+31x,-,上8，所以△4P0的面积Se=pe1d-24 5 Γ2 18.(1)a.=2-1 (2)Sn=1+(n-1)-3” 【分析】(1)设等差数列{a}的公差为d,根据题意，列出方程，求得a=1,d=2,即可求 得数列{a}的通项公式： （2)由(1)知4.=21-1，b.=3-1,得到c=(2n-1)31,结合错位相减法求和，即可得 到答案 【详解】(1)解：由数列b}是首项为1，公比为3的等比数列，可得b,=b,=1×33=27, 答案第10页，共12页