45.正切函数的单调性与单调区间求解（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 45.正切函数的单调性与单调区间求解（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正切函数的单调性 ￮ 定义表述：对于函数，在其定义域内的每个连续区间上，当自变量增大时函数值随之增大，这样的区间称为单调递增区间；正切函数不存在单调递减区间。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增区间： ￮ 关键特征：① 单调区间为开区间，区间长度为；② 相邻单调区间不连续，间隔为函数的无定义点；③ 单调性具有周期性，周期为。 ￮ 跨章节关联：适用于函数的单调性判断、定义域求解、不等式求解，可与一次函数、反比例函数的单调性综合考查。 2. 【概念2】复合正切函数的单调区间 ￮ 定义表述：对于形如的复合函数，令，先确定外层函数的单调递增区间，再结合内层函数的单调性，利用“同增异减”法则确定复合函数的单调区间，同时需考虑函数的定义域。 ￮ 数学符号/表达式： 当时，递增区间满足； 当时，先变形为，再求解单调区间。 ￮ 关键特征：① 单调区间的长度为；② 的符号影响单调区间的方向，决定单调区间的位置；③ 必须先确定函数的定义域，再求解单调区间。 ￮ 跨章节关联：适用于复合函数的单调性分析，可与分式函数、对数函数的定义域值域综合考查。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 的单调区间 单调递增区间为，无单调递减区间 1. 误将单调区间写成闭区间；2. 认为正切函数在全体定义域上单调递增；3. 遗漏的限制条件 对比：反比例函数在和上分别单调递减，不能合并；正切函数同理，各单调区间不能合并 复合正切函数单调区间求解 先求定义域，再根据的符号，结合“同增异减”法则求解 1. 忽略定义域限制直接求解；2. 时未进行符号转化；3. 求解不等式时区间端点处理错误 对比：复合函数，需先确定定义域且，再分析单调性 单调性与周期性的关系 正切函数的周期为，单调区间的周期也为 1. 混淆正切函数与正弦、余弦函数的周期；2. 认为周期为，导致单调区间求解错误 对比：正弦、余弦函数周期为，单调区间长度为；正切函数周期为，单调区间长度也为 三、题型分类与例题精析 题型1：基本正切函数的单调区间判断与求解 题型特征：直接考查或型函数的单调区间，无复合结构，属于基础题型。 解题步骤：1. 明确基本正切函数的单调递增区间模板；2. 分析的符号对单调性的影响（时单调性与一致，时单调性相反）；3. 用集合准确表述单调区间，标注，注意区间为开区间。 例题1 求函数的单调递增区间。 解析：1. 函数的单调性与完全一致；2. 已知的单调递增区间为；3. 因此函数的单调递增区间与相同。 答案： 举一反三1-1 求函数的单调递减区间。 解析：中，单调性与相反，单调递增，故的单调递减区间为。 答案： 举一反三1-2 下列区间中，函数单调递增的是（） A. B. C. D. 解析：的单调递增区间为，当时，区间为，，故选B。 答案：B 举一反三1-3 函数的单调递增区间是______。 解析：中，单调性与一致，故其单调递增区间为。 答案： 题型2：时复合正切函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需结合定义域和整体代换求解单调区间，属于中等难度题型。 解题步骤：1. 确定函数定义域：，即；2. 令，代入的递增区间；3. 解关于的不等式，得到单调递增区间，标注。 例题2 求函数的单调递增区间。 解析：1. 先求定义域：，解得；2. 令，代入，得；3. 解不等式：，即。 答案： 举一反三2-1 求函数的单调递增区间。 解析：1. 定义域：，解得；2. 令，代入，得；3. 解不等式：，即。 答案： 举一反三2-2 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 解析：令，代入，得，解得，故选A。 答案：A 举一反三2-3 求函数在区间上的单调递增区间。 解析：1. 定义域：，即；2. 单调递增区间满足，解得；3. 结合，取得，取得。 答案： 题型3：时复合正切函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需先转化为正数，再结合定义域求解，易错点在于符号处理和定义域限制。 解题步骤：1. 提取负号变形：（此时）；2. 确定变形后函数的定义域和单调区间；3. 根据负号对单调性的影响，确定原函数的单调区间。 例题3 求函数的单调递减区间。 解析：1. 变形函数：；2. 求的单调递增区间：，解得，定义域为；3. 原函数的单调递减区间与的递增区间一致。 答案： 举一反三3-1 求函数的单调递减区间。 解析：1. 变形得；2. 的单调递增区间为；3. 原函数的单调递减区间与的递增区间一致。 答案： 举一反三3-2 函数的单调递减区间是（） A. B. C. D. 解析：1. 变形得；2. 求的递增区间：，解得；3. 原函数的递减区间与此区间一致，故选A。 答案：A 举一反三3-3 求函数在区间上的单调递减区间。 解析：1. 变形得；2. 的递增区间为，解得；3. 结合，取得，取得（舍去），取得（舍去），故单调递减区间为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 解析：根据基本正切函数的单调性，其单调递增区间为开区间，故选A。 答案：A 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 定义域为 B. 值域为 C. 单调递增区间与相同 D. 是奇函数 解析：的定义域为，A正确；正切函数值域为，故该函数值域也为，B正确；，单调性与一致，C正确；，不是奇函数，D错误。 答案：ABC 3. 填空题 函数的单调递减区间是______。 解析：的单调性与相反，单调递增，故的单调递减区间为。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的单调递增区间。 解析：1. 定义域：，即；2. 令，代入，得；3. 解得。 答案： (2) 判断函数在区间上的单调性。 解析：中，单调性与相反，在上单调递增，故在此区间上单调递减。 答案：单调递减 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数在区间上的单调递增区间是（） A. B. C. D. 解析：1. 单调递增区间满足，解得；2. 结合，取得，取得，取得，综合得，选项中符合的是A。 答案：A 2. 多选题 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的有（） A. B. 可能 C. 单调递增区间可能为 D. 值域为 解析：正切函数周期，得，A正确；，则，，时，B正确；当时，递增区间为，C错误；正切函数值域为，D正确。 答案：ABD 3. 填空题 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______。 解析：1. 单调递增区间满足；2. 取，区间为，结合递增区间，得，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的单调递减区间。 解析：1. 变形得；2. 的递增区间为，解得；3. 原函数的递减区间与此区间一致。 答案： (2) 已知函数的图象过点，且在区间上单调，求的最大值。 解析：由得，；，则，取得；又的单调区间长度为，得，结合的范围，最终得的最大值为。 答案： （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若在区间上的值域为，则的最大值为（） A. B. C. D. 解析：时，，；，时，时（舍去），又在上单调递增，无意义，故的最大值为，选A。 答案：A 2. 多选题 定义区间的长度为（为区间的端点），则下列关于函数的说法正确的有（） A. 单调递增区间的长度均为 B. 长度为的区间可能是单调区间 C. 长度为的区间一定是单调区间 D. 长度为的区间一定不是单调区间 解析：的单调递增区间长度为，A正确；是长度为的单调区间，B正确；长度为，但包含无定义点，不是单调区间，C错误；长度为的区间必然包含多个无定义点，不是单调区间，D正确。 答案：ABD 3. 填空题 若函数在上有且仅有2个单调递增区间，则的取值范围是______。 解析：一个周期内有1个单调递增区间，长度为；2个递增区间总长度为，且第3个递增区间不能完全包含在内，故，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，，求函数的单调递增区间。 解析：化简；确定定义域为且；令，结合三角函数性质，解得递增区间为。 答案： (2) 已知函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，求的取值范围。 解析：由对称点得，；的递增区间为；结合递增区间，以及对称点条件，解得。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 45.正切函数的单调性与单调区间求解（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正切函数的单调性 ￮ 定义表述：对于函数，在其定义域内的每个连续区间上，当自变量增大时函数值随之增大，这样的区间称为单调递增区间；正切函数不存在单调递减区间。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增区间： ￮ 关键特征：① 单调区间为开区间，区间长度为；② 相邻单调区间不连续，间隔为函数的无定义点；③ 单调性具有周期性，周期为。 ￮ 跨章节关联：适用于函数的单调性判断、定义域求解、不等式求解，可与一次函数、反比例函数的单调性综合考查。 2. 【概念2】复合正切函数的单调区间 ￮ 定义表述：对于形如的复合函数，令，先确定外层函数的单调递增区间，再结合内层函数的单调性，利用“同增异减”法则确定复合函数的单调区间，同时需考虑函数的定义域。 ￮ 数学符号/表达式： 当时，递增区间满足； 当时，先变形为，再求解单调区间。 ￮ 关键特征：① 单调区间的长度为；② 的符号影响单调区间的方向，决定单调区间的位置；③ 必须先确定函数的定义域，再求解单调区间。 ￮ 跨章节关联：适用于复合函数的单调性分析，可与分式函数、对数函数的定义域值域综合考查。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 的单调区间 单调递增区间为，无单调递减区间 1. 误将单调区间写成闭区间；2. 认为正切函数在全体定义域上单调递增；3. 遗漏的限制条件 对比：反比例函数在和上分别单调递减，不能合并；正切函数同理，各单调区间不能合并 复合正切函数单调区间求解 先求定义域，再根据的符号，结合“同增异减”法则求解 1. 忽略定义域限制直接求解；2. 时未进行符号转化；3. 求解不等式时区间端点处理错误 对比：复合函数，需先确定定义域且，再分析单调性 单调性与周期性的关系 正切函数的周期为，单调区间的周期也为 1. 混淆正切函数与正弦、余弦函数的周期；2. 认为周期为，导致单调区间求解错误 对比：正弦、余弦函数周期为，单调区间长度为；正切函数周期为，单调区间长度也为 三、题型分类与例题精析 题型1：基本正切函数的单调区间判断与求解 题型特征：直接考查或型函数的单调区间，无复合结构，属于基础题型。 解题步骤：1. 明确基本正切函数的单调递增区间模板；2. 分析的符号对单调性的影响（时单调性与一致，时单调性相反）；3. 用集合准确表述单调区间，标注，注意区间为开区间。 例题1 求函数的单调递增区间。 举一反三1-1 求函数的单调递减区间。 举一反三1-2 下列区间中，函数单调递增的是（） A. B. C. D. 举一反三1-3 函数的单调递增区间是______。 题型2：时复合正切函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需结合定义域和整体代换求解单调区间，属于中等难度题型。 解题步骤：1. 确定函数定义域：，即；2. 令，代入的递增区间；3. 解关于的不等式，得到单调递增区间，标注。 例题2 求函数的单调递增区间。 举一反三2-1 求函数的单调递增区间。 举一反三2-2 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 举一反三2-3 求函数在区间上的单调递增区间。 题型3：时复合正切函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需先转化为正数，再结合定义域求解，易错点在于符号处理和定义域限制。 解题步骤：1. 提取负号变形：（此时）；2. 确定变形后函数的定义域和单调区间；3. 根据负号对单调性的影响，确定原函数的单调区间。 例题3 求函数的单调递减区间。 举一反三3-1 求函数的单调递减区间。 举一反三3-2 函数的单调递减区间是（） A. B. C. D. 举一反三3-3 求函数在区间上的单调递减区间。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 定义域为 B. 值域为 C. 单调递增区间与相同 D. 是奇函数 3. 填空题 函数的单调递减区间是______。 4. 解答题 (1) 求函数的单调递增区间。 (2) 判断函数在区间上的单调性。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数在区间上的单调递增区间是（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的有（） A. B. 可能 C. 单调递增区间可能为 D. 值域为 3. 填空题 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 求函数的单调递减区间。 (2) 已知函数的图象过点，且在区间上单调，求的最大值。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若在区间上的值域为，则的最大值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 定义区间的长度为（为区间的端点），则下列关于函数的说法正确的有（） A. 单调递增区间的长度均为 B. 长度为的区间可能是单调区间 C. 长度为的区间一定是单调区间 D. 长度为的区间一定不是单调区间 3. 填空题 若函数在上有且仅有2个单调递增区间，则的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知函数，，求函数的单调递增区间。 (2) 已知函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，求的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $