5.4.2第3课时正弦函数、余弦函数的性质的综合问题课时作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题 课时作业 基础练 1.函数f(x)=cos(4x+)的图象的相邻两个对称中心间的距离为(　　) [A] [B] [C] [D]π 【答案】 A 【解析】 相邻两个对称中心间的距离是半个周期,即为=×=.故选A. 2.函数f(x)=sin(x-)图象的一条对称轴方程为(　　) [A]x=　 [B]x=　 [C]x= [D]x= 【答案】 D 【解析】 法一　f()=sin(-)=-,f()=sin 0=0,f()=sin =,均不是最值,故A,B,C错误; f()=sin =1,为最大值,可知x=为函数f(x)图象的一条对称轴方程,D正确.故选D. 法二　由x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=.故选D. 3.最小正周期为π,且图象关于点(,0)对称的一个函数是(　　) [A]y=sin(+) [B]y=sin(2x+) [C]y=cos(2x-) [D]y=sin(2x-) 【答案】 D 【解析】 对于A,由于函数的最小正周期为π,所以=π,所以w=2,所以A错误;对于B, f()=sin(2×+)=sin =-≠0,所以B错误;对于C,f()=cos(2×-)=cos π=-1≠0,所以C错误;对于D,f()=sin(2×-)=sin π=0,所以D正确.故选D. 4.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么当|φ|取最小值时,φ的值为(　　) [A]± [B] [C]- [D]± 【答案】 D 【解析】 由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,可得2π+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ, k∈Z,当|φ|取最小值时,k=1,即φ=-或k=2,即φ=,故当|φ|取最小值时,φ的值为±.故选D. 5.(多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(,0)中心对称,则(　　) [A]φ= [B]f(x)在区间(,)上有两个零点 [C]直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴 [D]f(x)在区间(0,)上单调递增 【答案】 ABD 【解析】 由已知sin(2×+φ)=0,可得+φ=kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,A正确;所以f(x)= sin(2x+),T==π,-=π,区间(,)是函数的一个周期,而f()=f()=1≠0,因此f(x)在区间(,)上有两个零点,B正确;f()=sin(2×+)=0,C错误;当x∈(0,)时,2x+∈(,),f(x)在此区间上单调递增,D正确.故选ABD. 6.(多选)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)+1(其中ω,φ均为常数,且ω>0,|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个:①函数f(x)的最小正周期为π;②函数f(x)的图象经过点(0,);③函数f(x)的图象关于点(,1)对称;④函数f(x)的图象关于直线x=-对称.则这3个条件的序号可以是(　　) [A]①②③ [B]①②④ [C]①③④ [D]②③④ 【答案】 AB 【解析】 若①正确,则=π,解得ω=2;若②正确,则f(0)=cos φ+1=,即cos φ=,又|φ|<π,故φ=±;若③正确,则+φ=+k1π,k1∈Z;若④正确,则-+φ=k2π,k2∈Z.对于A,ω=2,取φ=-,-=,满足条件,此时④不满足条件,正确;对于B,ω=2,取φ=,-+=0,满足条件,此时③不满足条件,正确;对于C,ω=2,+φ-(-+φ)==+k3π,k3∈Z,不成立,错误;对于D,相减得+== +k3π,k3∈Z,则ω=(+k3),k3∈Z,此时-+φ=-×(+k3)+φ=-(+k3)π+φ=k2π,k2∈Z,整理得7φ=(7k2+2k3)π+π,k2,k3∈Z,而φ=±,故不成立,错误.故选AB. 7.(5分)当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为　　　　.  【答案】 [,2] 【解析】 因为x∈[,],所以sin x∈[-,1].又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=2(sin x- )2+,所以当sin x=时,ymin=;当sin x=-或sin x=1时,ymax=2,即函数的值域为[,2]. 8.(5分)设函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,则f()=　　　　,ω的最小值为　　　　.  【答案】 1　 【解析】 因为f(x)≤f()对任意的实数x都成立,所以当x=时,f(x)取得最大值1,即f()= cos(-)=1,所以-=2kπ,k∈Z,所以ω=8k+,k∈Z.因为ω>0,所以当k=0时,ω取得最小值. 9.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),若f(x)的图象关于点(-,0)对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π. (1)求f(x); (2)求f(x)的单调递增区间. 【解】 (1)依题意T=π,所以ω=2,f(x)=sin(2x+φ),又f(x)的图象关于点(-,0)对称, 所以2×(-)+φ=kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+). (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z. 10.(13分)设函数f(x)=sin2x+cos x+a. (1)若1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围; (2)若关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,求实数a的取值范围. 【解】 (1)由函数f(x)=sin2x+cos x+a=-cos2x+cos x+a+1, 令t=cos x∈[-1,1],可得f(t)=-t2+t+a+1, 因为1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,即对任意的t∈[-1,1],1≤f(t)≤恒成立,又由函数f(t)= -t2+t+a+1的图象开口向下,对称轴为直线t=,当t=时,f(t)max=a+;当t=-1时,f(t)min=a-1,则解得2≤a≤3,所以实数a的取值范围为[2,3]. (2)由x∈[-,],令t=cos x∈[0,1],要使得关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,即f(t)=0在 t∈[0,1]上有实数解,即a+1=t2-t在t∈[0,1]上有实数解,令g(t)=t2-t,t∈[0,1],由g(t)=(t-)2-,可知y=g(t)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增,当t=时,g(t)min=-,当t=0或t=1时,g(t)max=0,则-≤a+1≤0,解得-≤a≤-1,即实数a的取值范围为[-,-1]. 强化练 11.(多选)已知函数f(x)=sin(2x-x2),则(　　) [A]f(x)是周期函数 [B]f(x)的最小值是-1 [C]f(x)的图象至少有一条对称轴　 [D]f(x)在(0,)上单调递增 【答案】 BCD 【解析】 若f(x)是周期函数,则存在非零常数T,使得f(x)=sin(2x-x2)=sin[2(x+T)-(x+T)2]=f(x+T),化简得sin(2x-x2)=sin(2x-x2+2T-2Tx-T2),则2T-2Tx-T2=2kπ,k∈Z或2x-x2+2x-x2+2T-2Tx-T2= 2kπ+π,k∈Z,可知T均与x有关,故非零常数T不存在,A错误; 令t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,则sin t∈[-1,1],故f(x)的最小值是-1,故B正确; 结合B选项的分析可得,f(1-x)=sin[-(1-x-1)2+1]=sin[-(1+x-1)2+1]=f(1+x),故f(x)的图象的对称轴方程为x=1,故C正确; 由B选项的分析易知t=2x-x2在(0,)上单调递增,且t=2x-x2∈(0,-)⊆(0,),故y=sin t 单调递增,由复合函数单调性知f(x)在(0,)上单调递增,故D正确.故选BCD. 12.(多选)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(cos x),则下列结论正确的是(　　) [A]f(x)的一个周期为2π [B]f(x)的最大值为2 [C]f(x)的图象关于直线x=对称 [D]f(x)在区间(0,)上单调递增 【答案】 ACD 【解析】 f(x+2π)=sin[sin(x+2π)]+cos[cos(x+2π)]=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),故f(x)的一个周期为2π,A正确; 由sin x∈[-1,1],cos x∈[-1,1],则sin(sin x)<1,cos(cos x)≤1,故f(x)<2,B错误; f(-x+π)=sin[sin(-x+π)]+cos[cos(-x+π)]=sin(sin x)+cos(-cos x)=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),故f(x)的图象关于直线x=对称,C正确; 当x∈(0,)时,sin x∈(0,1),且随x增大而增大,故sin(sin x)随x增大而增大,cos x∈(0,1),且随x增大而减小,故cos(cos x)随x增大而增大,故f(x)在区间(0,)上单调递增,D正确.故选ACD. 13.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,求m的取值范围; (3)若函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,求所有零点之和. 【解】 (1)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,令g(x)=0,即函数y=f(x)的图象与直线y=m在区间[0,]上有两个交点,令t=2x-,由x∈[0,],得2x-∈[-,],即函数y=sin t的图象与直线y=在区间[-,]上有两个交点,画出函数y=sin t与y=在区间[-,]上的图象如图所示,由图可知∈[,1),m∈[,2). (3)函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,因为y=k(x-)的图象关于(,0)成中心对称,而f(x)=2sin(2x-)的图象关于(,0)成中心对称,设三个零点分别为x1,x2,x3,则=,x2=,所以所有零点之和为+×2=. 拓展练 14.(多选)设函数f(x)的定义域为R,f(x+π)为奇函数,f(x+2π)为偶函数,当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则下列结论正确的有(　　) [A]f()=-1 [B]f(x)在(3π,)上单调递减 [C]点(8π,0)是函数f(x)的一个对称中心 [D]方程f(x)+lg x=0有5个实数解 【答案】 AD 【解析】 因为f(x+π)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(π,0)成中心对称,因为f(x+2π)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2π成轴对称. 则f(-x)=-f(x+2π)且f(-x)=f(x+4π), 所以f(x+4π)=-f(x+2π),即f(x+2π)=-f(x), 所以f(x+4π)=f(x),所以4π是函数f(x)的一个周期. 因为当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则可作出函数f(x)部分图象和y=-lg x图象的草图如图所示. 由图可知A,D正确,B,C不正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题 课时作业 基础练 1.函数f(x)=cos(4x+)的图象的相邻两个对称中心间的距离为(　　) [A] [B] [C] [D]π 2.函数f(x)=sin(x-)图象的一条对称轴方程为(　　) [A]x=　 [B]x=　 [C]x= [D]x= 3.最小正周期为π,且图象关于点(,0)对称的一个函数是(　　) [A]y=sin(+) [B]y=sin(2x+) [C]y=cos(2x-) [D]y=sin(2x-) 4.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么当|φ|取最小值时,φ的值为(　　) [A]± [B] [C]- [D]± 5.(多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(,0)中心对称,则(　　) [A]φ= [B]f(x)在区间(,)上有两个零点 [C]直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴 [D]f(x)在区间(0,)上单调递增 6.(多选)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)+1(其中ω,φ均为常数,且ω>0,|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个:①函数f(x)的最小正周期为π;②函数f(x)的图象经过点(0,);③函数f(x)的图象关于点(,1)对称;④函数f(x)的图象关于直线x=-对称.则这3个条件的序号可以是(　　) [A]①②③ [B]①②④ [C]①③④ [D]②③④ 7.(5分)当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为　　　　.  8.(5分)设函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,则f()=　　　　,ω的最小值为　　　　.  9.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),若f(x)的图象关于点(-,0)对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π. (1)求f(x); (2)求f(x)的单调递增区间. 10.(13分)设函数f(x)=sin2x+cos x+a. (1)若1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围; (2)若关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,求实数a的取值范围. 强化练 11.(多选)已知函数f(x)=sin(2x-x2),则(　　) [A]f(x)是周期函数 [B]f(x)的最小值是-1 [C]f(x)的图象至少有一条对称轴　 [D]f(x)在(0,)上单调递增 12.(多选)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(cos x),则下列结论正确的是(　　) [A]f(x)的一个周期为2π [B]f(x)的最大值为2 [C]f(x)的图象关于直线x=对称 [D]f(x)在区间(0,)上单调递增 13.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,求m的取值范围; (3)若函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,求所有零点之和. 拓展练 14.(多选)设函数f(x)的定义域为R,f(x+π)为奇函数,f(x+2π)为偶函数,当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则下列结论正确的有(　　) [A]f()=-1 [B]f(x)在(3π,)上单调递减 [C]点(8π,0)是函数f(x)的一个对称中心 [D]方程f(x)+lg x=0有5个实数解 学科网（北京）股份有限公司 $