5.4.3正切函数的性质与图象教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

秋季

课题

5.4.3  正切函数的性质与图象

教科书

书  名：普通高中教科书数学必修第一册教材                                                                                                                                                                                                                                           

出版社：人民教育出版社               出版日期：2019年6月

教学目标

1.理解正切函数的定义，掌握正切函数的定义域、值域等基本属性；

2.掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性等核心性质，并能运用性质解决简单问题；

3.会绘制正切函数的图象，理解图象的特征与性质的内在联系。

教学内容

教学重点：正切函数的性质（周期性、奇偶性、单调性）；正切函数图象的绘制与特征。

教学难点：理解正切函数定义域的特殊性；理解正切函数图象中渐近线的意义；运用正切函数的单调性解决比较大小等问题。

教学过程

一、情境导入

1. 回顾旧知：提问学生“之前我们学习了哪些三角函数？它们的研究思路是什么？”引导学生回忆正、余弦函数的定义、性质及图象，梳理出“定义→定义域、值域→周期性、奇偶性、单调性→图象→应用”的研究框架。

2. 引入新知：展示生活中“斜坡的倾斜程度”“梯子与地面的夹角”等实例，提问“当我们研究这些场景中角与对边和邻边的比值关系时，会用到哪个函数？”引出正切函数，明确本节课将沿用正、余弦函数的研究思路，探究正切函数的性质与图象。

设计意图：通过回顾旧知搭建研究框架，为类比探究奠定基础；结合生活实例引入正切函数，让学生感受数学与生活的联系，激发探究兴趣。

二、新知探究

1.定义域

问题：由tan= 可知，cos不能为0。那cos=0时，的取值是什么呢？大家快速回忆一下余弦函数的图象！

=+ kπ，k∈Z。

所以正切函数的定义域就是{|≠+ kπ，k∈Z}。

2.值域

知道了定义域，接下来看值域。

思考：当在定义域内变化时，tan的值能取到哪些实数？

例如：当=0时，tan0=0；当=时，tan=1；当=时，tan=；

当趋近于（从左侧趋近）时，cos趋近于0且为正，sin趋近于1，所以tan趋近于+∞；当趋近于（从右侧趋近）时，cos趋近于0且为负，sin趋近于1，所以tan趋近于-∞。由此可见，正切函数的值域是全体实数R。

3. 周期性

思考：我们知道正、余弦函数的周期是2π，那正切函数的周期也是2π吗？

由诱导公式  tan(x+π) = tanx，≠+ kπ，k∈Z。

所以，正切函数是周期函数，周期是π。

4. 奇偶性

问题：判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，大家先判断一下正切函数的定义域是否关于原点对称？

引导学生思考：若在定义域内，则-也在定义域内。

定义域对称后，再看tan(-)与tan的关系：tan(-) = -tan。所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称。

5. 单调性

基于上述性质，我们可以画出正切函数的图象。首先在主值区间（-，）内描点作图，得到一条从 上升至 的曲线，并在x=±处有两条垂直渐近线。再利用周期性将该图象向左右平移 的整数倍，即可得到完整的正切曲线。