第六章　圆 2026年中考数学一轮专题复习课件（广东省深圳市）

该初中数学中考复习课件聚焦“圆的有关概念和性质”核心考点，严格对接新课标要求，系统梳理圆的概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等5大知识点。结合深圳近五年中考真题分析，明确圆心角、圆周角定理等高频命题点的考查权重，通过核心笔记归纳和跟踪训练，精准覆盖选择、填空、解答等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题导向+素养提升”的复习模式，如综合应用2022深圳中考真题，解析垂径定理与勾股定理的结合问题，培养学生几何直观和推理意识。答题规范部分示范证明题步骤，强化逻辑表达，中考演练分基础、能力、综合层级，助力学生掌握解题技巧，教师可依此高效规划复习，提升冲刺阶段教学效果。

第25课时　点、直线与圆的位置关系 第一部分　考点基础过关 第六章　圆 1 目录 CONTENTS 04 课堂精讲 02 课前小测 03 知识梳理 01 考情分析 05 答题规范 06 中考演练 2 考 情 分 析 01 3 深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025 切线的判定 与性质   题21(2)， 3分 题21(1)， 4分 题18(1)， 4分 题18(2)， 4分 第25课时　点、直线与圆的位置关系 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 新课标要求 1.探索并掌握点与圆的位置关系. 2.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念. 3.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形. 4.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 5.*探索并证明切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 课 前 小 测 02 6 1.已知☉O的直径为9，OP＝5，则点P与☉O的位置关系是 (　　) A.点P在☉O内 B.点P在☉O上 C.点P在☉O外 D.不能确定 2.已知☉O的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与☉O 的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 C C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为__________.  50 第25课时　点、直线与圆的位置关系 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 知 识 梳 理 03 9 ☞核心笔记 1.点与圆的位置关系有3种：设☉O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： ①d＜r⇔点P在☉O内；②d＝r⇔点P在☉O上；③d＞r⇔点P在☉O外. 点、直线与圆的位置关系 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 2.直线与圆的位置关系有3种：设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： ☞特别提醒：r与d的大小关系决定点(或直线)与圆的位置关系. 直线与圆 交点个数 r与d的关系 相离 0 d＞r 相切 1 d＝r 相交 2 d＜r 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 1.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，以点C为 圆心，BC长为半径作圆.下列结论正确的是(　　) A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.点A和圆的位置关系不确定 C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞核心笔记 1.切线的定义：直线与圆只有__________公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线.  2.切线的判定： (1)与圆心的距离__________圆的半径的直线是圆的切线.  (2)经过半径的外端并且__________于这条半径的直线是圆的切线.  切线的判定与性质 一个 等于 垂直 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.切线的性质：(1)切线与圆有_________公共点.(2)切线与圆心的距离________半径的长.(3)切线垂直于__________的半径.  4.切线长定理：从圆外一点引圆的__________，它们的切线长_________，这一点和圆心的连线_________两条切线的夹角.  ☞特别提醒：不知道直线与圆是否有公共点时用到的方法，简称“作垂直，证半径”；知道直线与圆有公共点时用到的方法，简称“连半径，证垂直”. 唯一 等于 过切点 两条切线 相等 平分 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 2.如图，已知PA与☉O相切于点A，∠P＝22°，则∠POA＝ (　　) A.55° B.58° C.68° D.88° C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.如图，点P为☉O外一点，PA为☉O的切线，A为切点，PO交☉O于点B，∠P＝30°，OB＝4，则线段AP的长为(　　) A.4 B.8 C.8 D.4 D 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞核心笔记 1.内切圆 (1)定义：与三角形各边都相切的圆叫做_________.内切圆的圆心是三角形三条__________的交点，这个交点叫做三角形的__________.  (2)性质：三角形的内心到三角形三边的__________.  三角形与圆 内切圆 角平分线 内心 距离相等 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 2.外接圆 (1)定义：经过三角形的_________可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形的_________________ _____的交点，这个交点叫做三角形的外心.  (2)性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的__________.  ☞特别提醒：内心到三角形三边的距离相等；外心到三角形的三个顶点的距离相等. 三个顶点 三条边的垂直平 分线 距离相等 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 4.如图，☉O的半径为1，△ABC内接于☉O，若∠A＝60°， ∠B＝75°，则AB的长为(　　) A.2 B. C. D.2 B 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 5.如图，等边三角形内接于大☉O，小☉O是等边三角形的内 切圆，随意向大☉O内部区域抛一个小球，则小球落在小☉O 内部(阴影)区域的概率为(　　) A. B. C. D. B 第25课时　点、直线与圆的位置关系 知识点1 知识点2 知识点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 课 堂 精 讲 04 21 例1　如图，☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥ AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则 点P与☉O的位置关系是(　　) A.点P在☉O上 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外 D.无法确定 点、直线与圆的位置关系 C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 22 变1　(2023·泸州统考一模)在平面直角坐标系xOy中，以点 (－3，4)为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是(　　) A.相交 B.相离 C.相切 D.无法判断 C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 常考题型：(1)利用三角形内切圆求角或线段长；(2)利用三角形外接圆求面积. 例2　如图，☉O是△ABC的内切圆，点D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝__________.  三角形与圆 110° 第25课时　点、直线与圆的位置关系 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 变2　如图，☉O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB， OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是_______.   π 第25课时　点、直线与圆的位置关系 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 例3　(2024·广州一模)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，☉O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD，则 ∠ACD＝(　　) A.50° B.40° C.30° D.20° 切线的判定与性质 C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 变3　(2024·广州模拟)如图，AC是☉O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是 (　　) A.3 B.2 C. D.6 C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 答 题 规 范 05 28 答题模板与评分标准 示范题　如图，AB是☉O的直径，点C是☉O上的一点(点C不与点A，B重合)，连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC＝AD，BE交CD的延长线于点E，且BE＝BC. 求证：BE是☉O的切线. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 答题模板与评分标准 满分：4分　　　　实得： 证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，……………………1分 ∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ADC＝∠BDE，∴∠ACD＝∠BDE， ∵BE＝BC，∴∠BCD＝∠E，………………2分 ∴∠BDE＋∠E＝90°，∴∠DBE＝180°－(∠BDE＋∠E)＝90°， 即OB⊥BE. ……………………………………3分 ∵AB为☉O的直径，∴BE是☉O的切线. ……4分 第25课时　点、直线与圆的位置关系 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 中 考 演 练 06 31 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】 1.如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40 m，YZ＝30 m，XZ＝50 m.若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26 m，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是(　　) A.X，Y，Z B.X，Z C.Y，Z D.Y A 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 2.(2024·深圳盐田一模)如图所示，一圆弧过方格图的格点A， B，C，试在方格图中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为 (－2，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是(　　) A.(－1，2) B.(1，－1) C.(－1，1) D.(2，1) C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.如图，已知△ABC，点D在边AB上，以BD为直径的☉O与边AC相切于点C，若AC＝4，AD＝2，则线段BC的长为_______.    4.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径 的长为__________.  2－2 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 5.如图，PA，PB，DE分别切☉O于点A，B，C，DE分别交 PA，PB于点D，E，已知点P到☉O的切线长为8 cm，那么 △PDE的周长为__________cm.  16 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 　正确率：　/4】 1.如图，半径r＝2的☉M在x轴上平移，且圆心M在x轴上， 当☉M与直线y＝x＋2相切时，圆心M的坐标为(　　) A.(0，0) B.(2，0) C.(2，0)或(－6，0) D.(－6，0) C 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 2.如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，☉O的半径为2，当☉O与PB相切时，OP的长度为(　　) A.3 B.4 C.2 D.2 B 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.(2022·深圳)如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为☉O切线，C为切点，CA＝CD，则 △ABC和△CDE的面积之比为(　　) A.1∶3 B.1∶2 C.∶2 D.(－1)∶1 B 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 4.(2023·深圳)如图，在单位长度为1的正方形网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA长为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线AC，且AC＝4(点C在A的上方)； ②连接OC，交☉O于点D； ③连接BD，与AC交于点E. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (1)求证：BD为☉O的切线. 解：作图如答图所示. 证明：如答图所示，∵AC是☉O的 切线，∴OA⊥AC， ∵OA＝3，AC＝4， ∴OC＝＝5， ∵OA＝3，AB＝2，∴OB＝OA＋ AB＝5，∴OB＝OC， 又∵OD＝OA＝3，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB(SAS)， ∴∠OAC＝∠ODB＝90°，∴OD⊥BD， ∵点D在☉O上，∴BD为☉O的切线； 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (2)求AE的长度. 解：∵△AOC≌△DOB，∴BD＝AC＝4， ∵∠ABE＝∠DBO，∠BAE＝∠BDO，∴△BAE∽△BDO，∴，即，∴解得AE＝. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (三)综合应用 【建议用时：20分钟　正确率：　/2】 1.(2024·广东模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E，F分别在线段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF.求证： (1)CF⊥FB. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 证明：∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠DFC＝∠EFC， ∴∠DFE＝2∠EFC，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB， ∵CD∥EF，CD∥AB，∴AB∥EF，∴∠EFB＝∠ABF＝∠AFB， ∴∠AFE＝2∠BFE， ∵∠AFE＋∠DFE＝180°，∴2∠BFE＋2∠EFC＝180°，∴∠BFE＋∠EFC＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BF； 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (2)以AD为直径的圆与BC相切. 证明：如答图，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于点H，则点O为以AD为直径的圆的圆心，∴∠OHC＝90°＝∠ABC， ∴OH∥AB，∵AB∥CD，∴OH∥AB∥CD，∵AB∥CD，AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形， ∴点H是BC的中点，即OH是梯形ABCD的中位 线，∴OH＝(AB＋CD)， ∵AB＝AF，CD＝DF，∴OH＝(AF＋DF) ＝AD＝OA＝OD，∴点H在☉O上， ∵OH⊥BC，OH为☉O的半径，∴以AD为直径的圆与BC相切. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 2.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是☉O的直径，CO平分∠BCD. (1)求证：直线CD与☉O相切. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 证明：如答图1，过点O作OE⊥CD于点E， ∵AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴∠OBC＝90°，即OB⊥BC. ∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD， ∴OB＝OE. ∵AB是☉O的直径，∴OE是☉O的半径， ∴直线CD与☉O相切； 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (2)如图2，记(1)中的切点为点E，点P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2，求tan∠APE的值. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 解：如答图2，连接OD，OE， ∵由(1)得，直线CD，AD，BC与☉O相切， ∴由切线长定理可得AD＝DE＝1，BC＝CE＝2， ∠ADO＝∠EDO，∠BCO＝∠ECO， ∴∠AOD＝∠EOD，CD＝3， ∵，∴∠APE＝∠AOE＝∠AOD. ∵AD∥BC，∴∠ADE＋∠BCE＝180°. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ∴∠EDO＋∠ECO＝90°，∴∠DOC＝90°. ∵OE⊥DC，∠ODE＝∠CDO，∴△ODE∽△CDO，∴，即，∴OD＝， ∵在Rt△AOD中，AD＝1，∴AO＝，∴tan∠AOD＝，∴tan∠APE＝. 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (四)命题新方向 【教材延伸】如图，在△ABC中，∠B＝90°， AC＝10，作△ABC的内切圆☉O，分别与AB， BC，AC相切于点D，E，F，设AD＝x，△ABC 的面积为S，则S关于x的函数图象大致为(　　) A 第25课时　点、直线与圆的位置关系 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 $第26课时　与圆有关的计算 第一部分　考点基础过关 第六章　圆 1 目录 CONTENTS 04 课堂精讲 02 课前小测 03 知识梳理 01 考情分析 05 答题规范 06 中考演练 2 考 情 分 析 01 3 深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025 弧长   题21(3)，3分       扇形面积       题11，3分   新课标要求 会计算圆的弧长、扇形的面积. 第26课时　与圆有关的计算 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 课 前 小 测 02 5 1.已知扇形的圆心角为100°，半径为9，则扇形弧长为(　　) A.2π B.3π C.4π D.5π 2.已知扇形半径为12，弧长为6π，则扇形面积为(　　) A.12π B.24π C.36π D.40π D C 第26课时　与圆有关的计算 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 知 识 梳 理 03 7 ☞核心笔记 1.圆的弧长：l＝. 2.扇形面积：S扇形＝·πr2＝lr. ☞特别提醒：r为圆的半径；n为弧所对的圆心角的度数；l是扇形的弧长. 弧长与扇形面积 第26课时　与圆有关的计算 知识点1 知识点2 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 1.一个扇形的面积是60π cm2，圆心角为150°，则此扇形的弧 长是(　　) A.30π cm B.10π cm C.15π cm D.20π cm 2.如图，已知点A，B，C依次在☉O上，∠C ＝40°，OA＝4，则的长为 _______.  B π 第26课时　与圆有关的计算 知识点1 知识点2 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞核心笔记 1.正多边形的外接圆的圆心叫做它的__________.  2.正多边形每一边所对的__________叫做它的中心角，每个中 心角都等于 ________.  3.正多边形的中心到它一边的距离叫做它的__________.  正多边形与圆 中心 圆心角 边心距 第26课时　与圆有关的计算 知识点1 知识点2 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 4.正多边形的每个内角都等于 ____________，每个外角都等于 _________.  5.正多边形的周长＝________________；正多边形的面积＝ ___________________.  边长×边数  ×周长×边心距 第26课时　与圆有关的计算 知识点1 知识点2 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 3.已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 4.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代” 主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案， 如图，小华量得图中一边与对角线的夹角 ∠ACB＝15°，可以算出这个正多边形的边数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 B D 第26课时　与圆有关的计算 知识点1 知识点2 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 课 堂 精 讲 04 13 例1　如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，半径为6，则这个 正六边形的边心距OM和的长分别为(　　) A.4， B.3，π C.2 D.3，2π 正多边形和圆 D 第26课时　与圆有关的计算 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 14 变1　如图，把圆六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，☉O的半径 是R，它的外切正六边形的边长为(　　) A.R B.R C.2R D.6R A 第26课时　与圆有关的计算 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 常考题型：(1)直接和差法算阴影部分的面积；(2)将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，算阴影部分的面积. 例2　图1是一幅装饰挂画的轮廓，将其视为如图2的扇形环面(由扇形OAB挖去扇形OCD)，∠AOB＝108°，OC的长度是 10 cm，OA的长度是30 cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是__________cm2.  与扇形有关的阴影面积计算 240π 第26课时　与圆有关的计算 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 变2　如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为__________.  π 第26课时　与圆有关的计算 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 例3　如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮 上一点A旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩 擦，则重物上升了(　　) A.5π cm B.3π cm C.2π cm D.π cm 弧长和扇形面积 B 第26课时　与圆有关的计算 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 变3　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧 AD的长为(　　) A.π B.π C.π D.2π C 第26课时　与圆有关的计算 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 答 题 规 范 05 20 答题模板与评分标准 满分：6分　　　　实得： 示范题　一个扇形的弧长是8π cm，圆心角是144°，则此扇形的面积是多少? 解：设此扇形的半径是R cm，则×2πR＝8π， 解得R＝10 cm，………………………………3分 ∴此扇形的面积为： lR＝×8π×10＝40π(cm2). …………………5分 答：此扇形的面积为40π cm2. ………………6分 第26课时　与圆有关的计算 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 中 考 演 练 06 22 (一)基础过关 【建议用时：5分钟　正确率：　　/5】 1.扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为_______. (结果保留π)  π 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°， BC＝4.分别以点B，C为圆心，线段BC长的一 半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E， F，则图中阴影部分的面积为__________.  4－π 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.(2024·深圳福田二模)如图，点A，B，C在半径为3的☉O 上，∠ACB＝30°，则的长为(　　) A.3 B. C.π D. C 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 4.(2024·深圳南山二模)将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为(　　) A. B. C. D.π A 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 5.(2024·深圳)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为__________.  4π 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 　正确率：　/6】 1.(2024·包头)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC， 连接BD.若BD⊥OC，则的长为(　　) A. B. C. D.π B 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 2.如图，☉O的圆心O与正方形的中心重合，已知☉O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(　　) A. B.2 C.4＋2 D.4－2 D 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，若CD＝CE， 则图中阴影部分面积为(　　) A. B. C. D. B 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 4.(2024·佛山三模改编)如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为 两个正六边形的中心，则tan∠O2AC的值为(　　) A. B.2 C. D.3 C 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 5.(2024·东莞三模)如图所示的是90°的扇形纸片OAB，半径为2.将这张扇形纸片沿CD折叠，使点B与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为________.    第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 6.(2024·深圳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连接OB，以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E. (1)求证：BC＝BD. 证明：如答图，连接OD， ∵BD是☉O的切线，点D为切点， ∴∠ODB＝90°， ∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB， ∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL)，∴BC＝BD； 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (2)若OB＝OA，AE＝2，①求半圆O的半径；②求图中阴影部分的面积. 解：①∵OB＝OA，∴∠OBD＝∠A，∵Rt△ODB≌Rt△OCB，∴∠OBD＝∠OBC，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，又∵∠OBD＋∠OBC＋∠A＝90°，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°， 在Rt△ODA中，sin∠A＝，∴OD＝OA， ∵OD＝OE，∴OE＝OA，∴OE＝AE＝2，∴半圆O的半径为2； 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，∴AD＝＝2， ∴S△OAD＝OD·AD＝×2×2＝2， ∵∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∴S阴影＝S△ODA－S扇形ODE＝2＝2. 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (三)综合应用 【建议用时：10分钟　正确率：　/1】 (2024·深圳龙华模拟)在如图所示的网格 中，每个小正方形的边长都为1，每个小 正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个 顶点均在格点上，以点A为圆心的与 BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F. (1)求△ABC三边的长. 解：AB＝＝2， AC＝＝2， BC＝＝4； 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (2)求图中由线段EB，BC，CF及所围成的阴影部分的面积. 解：由(1)得，AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，如答图，连接AD，AD＝＝2， ∴S阴影＝S△ABC－S扇形AEF＝AB·AC－π·AD2＝20－5π. 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (四)命题新方向 【跨学科】(2024·深圳二模)苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，人们发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其 平面示意图，则∠1的度数为(　　) A.130° B.120° C.110° D.60° B 第26课时　与圆有关的计算 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 $第24课时　圆的有关概念和性质 第一部分　考点基础过关 第六章　圆 1 目录 CONTENTS 04 课堂精讲 02 课前小测 03 知识梳理 01 考情分析 05 答题规范 06 中考演练 2 考 情 分 析 01 3 深圳近五年真题分析 命题点 2021 2022 2023 2024 2025 圆心角、圆周角定理及推论 题19，8分 题10，3分 题13，3分   题13，3分 垂径定理           第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 新课标要求 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念. 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补. 4.了解三角形的内心与外心. 5.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 课 前 小 测 02 6 1.在半径为6的圆中，弦AB的长度不可能是(　　) A.4 B.5 C.10 D.14 2.下列说法中，正确的是(　　) A.同心圆的面积相等 B.周长相等的圆是等圆 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弧的弦一定经过圆心 D B 第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.如图，点A，B，C在☉O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB为 (　　) A.40° B.50° C.60° D.80° D 第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 4.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD于点E， 则下列结论不一定正确的是(　　) A.CD＝2ED B. C.OE＝BE D.OA＝OB C 第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 5.如图，AB是☉O的直径，四边形ABCD内接于☉O，若AD＝DC＝CB，则∠A的度数为__________°.  60 第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 知 识 梳 理 03 11 ☞核心笔记 1.圆：平面上到__________的距离等于__________的所有点组成的图形.  2.弦：连接圆上任意两点间的__________叫做弦，经过______ _____叫做直径.  圆中的有关概念及性质 定点 定长 线段 圆心 的弦 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.圆弧：圆上任意_______________叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做__________.大于半圆的弧叫做__________；小于半圆的弧叫做__________.  4.能够重合的两个圆叫做__________.在同圆或等圆中，能够__________的弧叫等弧.  ☞特别提醒：弧长相等的弧不一定是等弧. 两点间的部分 半圆 优弧 劣弧 等圆 互相重合 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 1.AB是☉O最长的弦，若AB＝8，则☉O的半径长为(　　) A.8 B.7 C.6 D.4 2.如图，AB为☉O的直径，弦CD交AB于点E，， ∠CDB＝30°，AC＝2，则OE的长为(　　) A. B. C.1 D.2 D C 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.如图，点A，B，C，D在☉O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC ＝30°，则BC的长为(　　) A.4 B.8 C.4 D.4 A 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞核心笔记 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦________，所对的弦心距(圆心到弦的距离)________.  2.推论：在同圆或等圆中，_____________，那么其他各组量也分别相等.  ☞特别提醒：运用这个定理时，一定要记住前提条件“在同圆或等圆中”. 弧、弦、圆心角的关系 相等 相等 相等 一组量相等 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 4.如图，AB，CD是☉O的两条直径，点E是劣弧的中点， 连接BC，DE.若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为(　　) A.22° 　　　　　 B.32° C.34° 　　　　　 D.44° C 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞核心笔记 1.垂径定理：垂直于弦的直径__________这条弦，并且平分弦所对的两条弧.  2.推论1：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且_________所对的两条弧.  弦的垂直平分线经过__________，并且平分弦所对的两条弧.  平分弦所对的一条弧的__________，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.  垂径定理及其推论 平分 垂直 平分弦 圆心 直径 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧__________.  4.推论3：过圆心、平分弦(非直径)、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项. ☞特别提醒：平分弦(非直径)的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 相等 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 5.如图，CD是☉O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝ 12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(　　) A.36 B.24 C.18 D.72 A 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 6.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知☉O的直径就是铁球的直径，AB是☉O的弦，CD切☉O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，若CD＝16 cm， AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为(　　) A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm C 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞核心笔记 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__________.  2.推论1：同弧或等弧所对的圆周角__________.  3.推论2：半圆(或直径)所对的__________是直角，90°的圆周角所对的弦是__________.  ☞特别提醒：同弧或等弧所对的圆周角相等，而不是同弦或等弦. 圆心角、圆周角之间的关系 一半 相等 圆周角 直径 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 7.如图，△ABC内接于☉O，CD是☉O的直径，∠ACD＝40°， 则∠B＝(　　) A.70° B.60° C.50° D.40° C 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞核心笔记 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在__________圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.  2.性质：圆内接四边形的对角__________.  ☞特别提醒：圆内接四边形对角互补且任意一个外角等于它的内对角. 圆的内接四边形 同一个 互补 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 ☞【跟踪训练】 8.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠AOC＝160°， 则∠ABC的度数是(　　) A.80° B.100° C.140° D.160° B 第24课时　圆的有关概念和性质 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 课 堂 精 讲 04 26 例1　如图，∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角，若 ∠DCE＝72°，那么∠BOD为__________°.  圆内接多边形求度数 144 第24课时　圆的有关概念和性质 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 27 变1　如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O，且有公共顶点A，则∠BOH为__________°.  12 第24课时　圆的有关概念和性质 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 常考题型：(1)利用圆周角定理求角；(2)利用圆周角定理的推论求角. 例2　如图，点A，B，C是☉O上的三点，若∠C＝35°，则 ∠ABO是(　　) A.35° B.55° C.60° D.70° 求圆周角度数 B 第24课时　圆的有关概念和性质 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 变2　如图，BD是☉O的直径，点A，C在圆上，∠A＝50°， ∠DBC是(　　) A.50° B.45° C.40° D.35° C 第24课时　圆的有关概念和性质 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 例3　“摩天轮”一直以来深受人们喜爱， 它既能提供高空赏景的独特体验，又承载着 浪漫温馨的情感.如果某摩天轮主体(如图)的 直径AC为88米，最高点A距地面100米，匀 速运行一圈所需的时间是18分钟.但受周边建筑物影响，如果 乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么摩天轮运行 一圈中最佳观景的时长为__________分钟.  垂径定理结合勾股定理 12 第24课时　圆的有关概念和性质 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 变3　(2024·广州天河区一模)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴交于A，B两点，弦CD⊥AB，AC与 y轴相交于点P，若点A的坐标为(4a，0)，且AP＝2PC.则CD的 长为(　　) A.4a B.6a C.2a D.4a D 第24课时　圆的有关概念和性质 考点1 考点2 考点3 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 答 题 规 范 05 33 答题模板与评分标准 示范题　已知四边形ABCD内接于☉O，对 角线BD是☉O的直径. (1)如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求 证：CA平分∠BCD. 证明：∵OA⊥BD，∴， ∴∠ACB＝∠ACD， 即CA平分∠BCD；……………………………………2分 第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 答题模板与评分标准 (2)如图2，点E为☉O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥A B.若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长. 解：延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N，如答图， 第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 答题模板与评分标准 满分：8分　　　　实得： ∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°， ∵BD是☉O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，∴AD∥NC，CD∥AM， ∴四边形AECD是平行四边形，……………………6分 ∴AE＝CD＝3，∴BC＝＝3. ……………………………………………………8分 第24课时　圆的有关概念和性质 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 中 考 演 练 06 37 (一)基础过关 【建议用时：5分钟　正确率：　　/6】 1.(2024·深圳模拟)如图，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°， 则∠D为(　　) A.20° B.40° C.50° D.80° B 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 2.如图，AB是☉O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC 的平分线交AC于点D，CD＝1，则☉O的直径为(　　) A. B.2 C.1 D.2 B 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若 AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为__________m.  1.3 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12.若以点C为圆心， CA的长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AB＝________.  24 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 5.(2023·深圳)如图，在☉O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的平分线与☉O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝__________°.  35 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 6.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝ 5 cm，则圆形镜面的直径为__________cm.  13 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 　正确率：　/5】 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径 的☉O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为(　　) A.1 B. C.2 D. B 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 2.如图，在☉O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC为(　　) A.70° B.60° C.50° D.40° D 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 3.如图，四边形ABCD内接于☉O，AC，BD为对角线，BD经 过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC为(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° B 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 4.如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC ＝4，则☉O的半径为(　　) A.2 B.3 C.2 D. D 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 5.(2024·深圳)如图，在△ABD中，AB＝BD，☉O为△ABD的外接圆，BE为☉O的切线，AC为☉O的直径，连接DC并延长交BE于点E. (1)求证：DE⊥BE. 证明：连接BO并延长交AD于点H，连接OD， 如答图,∵AB＝BD,OA＝OD∴BO垂直平分AD， ∴∠BHD＝90°，∵BE为☉O的切线， ∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°. ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC＝90°， ∴四边形BEDH为矩形，∴∠E＝90°，∴BE⊥DE； 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (2)若AB＝5，BE＝5，求☉O的半径. 解：∵BO垂直平分AD，∴AH＝DH＝AD， ∵四边形BEDH为矩形，∴DH＝BE＝5， 在Rt△BDH中，∵BD＝AB＝5，DH＝5，∴BH＝＝5， 设☉O的半径为r，则OH＝5－r，OD＝r， 在Rt△ODH中，(5－r)2＋52＝r2，解得r＝3，即☉O的半径为3. 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (三)综合应用 【建议用时：10分钟　正确率：　/1】 (2022·深圳)一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4. (1)如图1，CM为一条拉线，M在OB上， OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度. 解：∵DF＝0.8，OM＝1.6，DF∥OB， ∴DF为△COM的中位线，∴D为CO的中点， ∵CO＝AO＝4，∴CD＝2； 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (2)如图2，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度. 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 解：如答图1，过点N作ND⊥OH，交OH 于点D，∵∠OHN＝45°， ∴△NHD为等腰直角三角形，即ND＝ DH， 又∵tan∠COH＝，∴tan∠NOD＝， ∴tan∠NOD＝， ∴ND∶OD＝3∶4，设ND＝3x＝DH，则OD＝4x，∵OD＋DH＝OH， ∴3x＋4x＝4，解得x＝，∴ND＝，OD＝， ∴在Rt△NOD中，ON＝； 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (3)如图3，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线，交半圆O于点N，在点M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长. 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 解：如答图2，当点M与 点O重合时，点N也与点 O重合. 如答图3，当点M运动至 点A时，点N运动至点T， 故点N路径长为OB＋. ∵∠THO＝∠AHO，∠AHO＝∠OAH，∠HOM＝50°， ∴∠OHA＝∠OAH＝65°， ∴∠THO＝65°，∠TOH＝50°， ∴∠BOT＝80°，∴＝2π×4×π， ∴N点的运动路径长为OB＋＝4＋π. 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 (四)命题新方向 【跨学科】综合与实践 问题情境：在我国古代一些出土实物上能反映出一些几何作图方法.如图1、图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心. 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 问题解决：(1)请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代是如何通过几何作图确定圆心O的.如图3，点A，B，C在☉O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如答图1所示，点O即为所求作； 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 类比迁移：(2)小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O.如图4，点A，B，C在☉O上，AB⊥AC，请作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如答图2所示，点O即为所求作； 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 拓展探究：(3)小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5，点A，B，C是☉O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法)请写出你确定圆心的理由：___________________________.  解：如答图3所示，点O即为所求作. 垂直平分弦的直线经过圆心 第24课时　圆的有关概念和性质 （一） （二） （三） （四） 课前小测 知识梳理 课堂精讲 答题规范 中考演练 考情分析 $