2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册期末模拟卷

2026年高一数学上学期期末分册模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第二册全部 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 2．幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知某放射性物质的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（   ） （参考数据：，） A．690年 B．700年 C．710年 D．720年 4．下列说法中正确的是（    ） A．为了解某校高二年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本 B．若一组数据1，2，4，2，4，3，5，，3的唯一众数是3，则这组数据的平均数为3 C．已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为14和17 D．一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的60%分位数是13 5．已知，，则（　　） A． B． C． D． 6．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 10．为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中100株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中a的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木约为30株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 11．下列说法正确的是（ ） A．函数（且）的图象所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．相互独立事件A、B满足，则 ． 13．在中，为的重心，满足，则 . 14．已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 16．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数、平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 17．（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 18．已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 19．近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学上学期期末分册模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第二册全部 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标运算即可. 【详解】因为与共线，所以，即，解得或. 故选：D. 2．幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C. 3．已知某放射性物质的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（   ） （参考数据：，） A．690年 B．700年 C．710年 D．720年 【答案】B 【分析】根据题意，得到，即，结合对数的运算公式，得到，代入参考数值，即可求解. 【详解】由题意知，某放射性物质的质量随时间的衰变规律满足， 要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即， 两边取自然对数，可得，可得， 所以年. 故选：B. 4．下列说法中正确的是（    ） A．为了解某校高二年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本 B．若一组数据1，2，4，2，4，3，5，，3的唯一众数是3，则这组数据的平均数为3 C．已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为14和17 D．一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的60%分位数是13 【答案】B 【分析】根据调查试验中的样本定义可判断A；利用一组数据的众数概念可判断B；根据一组数据的加减倍分后得到的新数据与原数据之间的平均数与方差的性质可判断C，利用百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，该调查中，40名学生的视力情况才是该调查的样本，故A错误； 对于B，这组数据已经有两个2，两个3，两个4，如果有唯一的众数3，说明， 则这组数据的平均数为，故B正确； 对于C，因为样本数据的平均数和方差分别为5和2， 则的平均数为，方差为，故C错误； 对于D，因为D中一共有10个数，60%分位数是从小到大排列后的第6个数和第7个数的平均数，即，故D错误. 故选：B. 5．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【详解】由，得，所以，又，所以. 故选：D． 6．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，和及，结合的单调性即可比较大小. 【详解】因为在定义域上单调递增， ， 因为， 所以，所以， 因为 ，所以， 又， 即， 所以， 所以， 故选：C 7．一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概率模型求概率即可得到答案. 【详解】试验的样本空间，所以. 记“摸出的2个球颜色相同”为事件， 则，所以， 所以，故摸出的2个球颜色相同的概率为. 故选：C. 8．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 10．为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中100株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中a的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木约为30株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 【答案】ABC 【分析】根据频率分布直方图的性质，以及平均数和百分位数，以及频数与频率的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A正确； 对于B，由频率分布直方图，可得不小于110 cm的频数为， 所以不小于110 cm的树木有株，所以B正确； 对于C，由频率分布直方图得，前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以分位数位于区间，则，所以C正确； 对于D中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ，所以D错误. 故选：ABC. 11．下列说法正确的是（ ） A．函数（且）的图象所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】求出定点坐标判断A；求出单调递增区间判断B；举例说明判断C；由单调性列式求出范围判断D. 【详解】对于A，对，当时，恒有，因此 所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为R，函数在上单调递增 ， 在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此所求递增区间为，B正确； 对于C，当时，，而，解得， 即直线与函数的图象只有1个交点，C错误； 对于D，由函数在上单调递增， 得，解得，D正确. 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．相互独立事件A、B满足，则 ． 【答案】/ 【分析】由得，再根据独立事件的乘法公式计算即可求解 【详解】因为，而，所以， 又A、B相互独立，所以， 即. 故答案为： 13．在中，为的重心，满足，则 . 【答案】0 【分析】连接并延长交与点，由重心定义得到点的位置以及的数量关系，然后用表示出，得到的值，即可求得结果. 【详解】连接并延长交与点， ∵为的重心，∴为中点，且， ， ∴，即， ∴. 故答案为：0. 14．已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】得到的图象关于直线对称，且在上单调递增，从而不等式转化为，分和两种情况，得到不等式解集. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 【答案】（1）；（2）17；（3）. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可； （2）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算即可； （3）根据指数与对数互化可得，，再由对数的换底公式计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）由已知，，， 所以. 16．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数、平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】(1) (2)众数为75，平均数为74； (3)平均数为62，方差为37. 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1， 得，解得； （2）由，得样本成绩的众数为75， 由， 得样本成绩的平均数为74. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以， 总方差为. 17．（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）计算得，再结合向量共起点即可证明三点共线； （2）根据平面向量加减法以及数乘运算直接计算即可； （3）直接代入向量坐标即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为， ， 所以，又因为有公共起点，因此A，B，C三点共线. （2）； （3），即， 则，解得. 18．已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)；2 (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组得，然后解指数函数不等式即可求解定义域； （2）利用偶函数的概念列式求得，然后利用基本不等式求解的最小值； （3）由题意，由（2）可知，然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得的值域，进而按照和分类讨论，利用对数函数单调性求得的最大值，列不等式即可求解. 【详解】（1）， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； （2）因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； （3） ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 19．近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①，理由见解析； (2)； (3)第16个月. 【分析】（1）由给定数据表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出，即可求得解析式. （3）将（2）中模型函数，由，求出值即可. 【详解】（1）由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $