第02讲 轴对称（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年苏科版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦轴对称核心知识点，系统梳理轴对称与轴对称图形的识别、性质应用、实际应用及垂线、角平分线、垂直平分线的尺规作图，构建从定义理解到性质运用再到作图实践的完整学习支架。 资料以生活实例（美术字、人工智能图标）培养数学眼光，通过典例与变式分层题型锻炼推理能力，结合尺规作图（如建抽水站）和最短路径问题提升空间观念与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第02讲 轴对称 考点1：轴对称与轴对称图形的识别 考点2：轴对称的性质应用 考点3：轴对称的实际应用 考点4：垂线﹑角平分线和高的尺规作图 重点：（1）轴对称的定义与性质（对应点、对应线段、对应角的关系）。 （2）轴对称的基本作图（作对称图形、垂直平分线、角平分线）。 难点★：（1）混淆 “轴对称”与“轴对称图形” （2）最短路径问题中，不会利用“轴对称转化为两点之间线段最短”的思想 （3）尺规作图时，不规范 1.能说出轴对称、轴对称图形的定义，区分“轴对称”与“轴对称图形”。 2.掌握轴对称的基本性质，能结合图形识别对应元素。 3.认识线段的垂直平分线、角的平分线的定义，记住其基本性质。 4.掌握作“角平分线，垂线，垂直平分线”的尺规画图法 知识点1：轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 【注意】 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 【题型1 轴对称图形的识别】 【典例1】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【变式2】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A．B．C．D． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 【典例2】下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【变式3】下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到（ ）A． B． C． D． 知识点2：垂线，角平分线和垂直平分线的尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 三种基本作图： 类型 图示 作图依据 作一个角的平分线 同圆半径相等 作一条线段的垂直平分线 （1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； （2）两点确定一条直线. 过一点作已知直线的垂线 （1）等腰三角形“三线合一”； （2）两点确定一条直线. 【题型3 作已知线段的垂直平分线】 【典例3】作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 【变式1】如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】如图，要在河边l上修建一个抽水站，将河水送到A，B两点处．该站建在河边l的什么地方，可使铺设的两条直管道的长度相等？试在图中确定该点，并说明理由． 【变式3】尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法） 已知直线及其两侧两点，，如图，在直线上找一点，使得． 【题型4 作垂线(尺规作图)】 【典例4】如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【变式1】已知，按要求用尺规作图作出下列垂线（不写作法，保留作图痕迹）． (1)过点作，交于点； (2)过点作，垂足为点． 【变式2】如图，已知，请利用尺规作图法在上求作一点D，使得点C与点D之间的距离最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】如图，在中，在BC上作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【题型5 作角平分线(尺规作图)】 【典例5】如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在下方求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】如图，为了方便环卫工人，某社区服务中心要修建一处爱心驿站P，使得驿站P到公路、、的距离相等，请你确定驿站P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作的平分线； (2)过点作的垂线交于点． 【变式3】如图，市政部门要在某公园区域P内修建一个公共健身驿站．按照规划要求，健身驿站与两个居民小区C，D的距离相等，到两条景观步道a和b的距离也相等．健身驿站应修建在什么位置？利用尺规作图，在图中找出公共健身驿站点M的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 知识点3：轴对称性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【题型6 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【典例6】如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【变式1】已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【典例7】如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为 ． 【变式1】如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 【变式2】如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 【变式3】如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 【题型8 根据轴对称性质求最小值问题】 【典例8】如图，在中，．如果点D，E分别为边上的动点，那么的最小值是 ． 【变式1】如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的 (2)在直线l上找一点P，使的长最短． 【变式3】如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【题型9 折叠问题】 【典例9】如图，将长方形沿向上折叠，使点B落在边上的F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将书页斜折过去，使顶点落在处，为折痕，为的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型10 求对称轴条数】 【典例10】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，如图这种眉心花钿图案的对称轴条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】如图，图中有（    ）条对称轴 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案为轴对称图形，且恰好有两条对称轴，则下列图形中符合设计要求的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型11 有关镜面对称的应用】 【典例11】一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【变式1】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【变式3】从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 1．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A．B．C． D． 2．如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列图形中，轴对称图形的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 5．将一张两边平行的纸条如图折叠一下，若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 6．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，若反射光线为n，则最符合要求的入射光线是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8.如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 9．如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．    10．为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小彬计划制作一个如图所示的简易飞机模型．已知该模型是一个关于AC对称的轴对称图形，若，，则 cm． 11．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2=110°，则∠1= ． 12．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 13．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)把向下平移2个单位长度得到的； (2)画出格点关于直线对称的； 14．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 轴对称 考点1：轴对称与轴对称图形的识别 考点2：轴对称的性质应用 考点3：轴对称的实际应用 考点4：垂线﹑角平分线和高的尺规作图 重点：（1）轴对称的定义与性质（对应点、对应线段、对应角的关系）。 （2）轴对称的基本作图（作对称图形、垂直平分线、角平分线）。 难点★：（1）混淆 “轴对称”与“轴对称图形” （2）最短路径问题中，不会利用“轴对称转化为两点之间线段最短”的思想 （3）尺规作图时，不规范 1.能说出轴对称、轴对称图形的定义，区分“轴对称”与“轴对称图形”。 2.掌握轴对称的基本性质，能结合图形识别对应元素。 3.认识线段的垂直平分线、角的平分线的定义，记住其基本性质。 4.掌握作“角平分线，垂线，垂直平分线”的尺规画图法 知识点1：轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 【注意】 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 【题型1 轴对称图形的识别】 【典例1】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选D． 【变式1】下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.原图是轴对称图形，故本选项符合题意； D.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 观察图形，依次判断各选项中的图形能否沿一条直线对折后能完全重合即可． 【详解】解：选项A：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 选项B：该图形不论沿哪条直线对折，左右部分均不能完全重合，不是轴对称图形，符合题意要求； 选项C：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 选项D：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 故选B． 【变式3】国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 【典例2】下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是成轴对称图形的识别．利用成轴对称图形的概念（两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，就是成轴对称图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意； B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； 故选：A． 【变式1】视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 【变式2】《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【变式3】下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 知识点2：垂线，角平分线和垂直平分线的尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 三种基本作图： 类型 图示 作图依据 作一个角的平分线 同圆半径相等 作一条线段的垂直平分线 （1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； （2）两点确定一条直线. 过一点作已知直线的垂线 （1）等腰三角形“三线合一”； （2）两点确定一条直线. 【题型3 作已知线段的垂直平分线】 【典例3】作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图； 作出的平分线；连接，作出的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为所求的点P； 【详解】解：如图，点P即为所求． 【变式1】如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了用尺规作线段的垂直平分线，掌握作图步骤是关键；根据用尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点P、M，连接，交于点，交于点，则直线为所求． 【变式2】如图，要在河边l上修建一个抽水站，将河水送到A，B两点处．该站建在河边l的什么地方，可使铺设的两条直管道的长度相等？试在图中确定该点，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 连结，用尺规作出的垂直平分交l于点D即可． 【详解】解：如图，垂直平分， 则， 故点D即为所求作． 【变式3】尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法） 已知直线及其两侧两点，，如图，在直线上找一点，使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：作线段垂直平分线．作的垂直平分线交直线l于P点即可． 【详解】解：如图，点P即为所作， 【题型4 作垂线(尺规作图)】 【典例4】如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)． 以P为圆心大到P到的距离为半径作圆弧，交于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线，，以此求解． 【详解】解：如图，，直线即为所求作． 【变式1】已知，按要求用尺规作图作出下列垂线（不写作法，保留作图痕迹）． (1)过点作，交于点； (2)过点作，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作垂线； （1）根据题意作，交于点； （2）根据题意过点作，垂足为点． 【详解】（1）解：如图所示， 即为求作的； （2）解：如图所示， 即为求作的． 【变式2】如图，已知，请利用尺规作图法在上求作一点D，使得点C与点D之间的距离最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作垂线，垂线段最短，根据垂线段最短作即可． 【详解】解：以为圆心，任意长度为半径画圆，交线段于、，再分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长交于，则，此时点C与点D之间的距离最短． 【变式3】如图，在中，在BC上作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图中过一点作已知直线的垂线，解决问题的关键是熟练掌握作图步骤. 根据作图步骤操作，注意保留作图痕迹. 【详解】解：如图，点即为所求． 【题型5 作角平分线(尺规作图)】 【典例5】如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在下方求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】由题意，，故先作的角平分线，然后在角平分线上截取即可；本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：∵， ∴； 先作的角平分线，然后在角平分线上截取； ，点即为所求． 【变式1】如图，为了方便环卫工人，某社区服务中心要修建一处爱心驿站P，使得驿站P到公路、、的距离相等，请你确定驿站P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了角平分线的作法及其原理，以及如何利用角平分线解决实际问题．要使爱心驿站到公路、、的距离相等，通过作、的平分线，三条角平分线的交点即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 【变式2】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作的平分线； (2)过点作的垂线交于点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线、作垂线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据作角平分线方法即可； （）根据作垂线方法即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式3】如图，市政部门要在某公园区域P内修建一个公共健身驿站．按照规划要求，健身驿站与两个居民小区C，D的距离相等，到两条景观步道a和b的距离也相等．健身驿站应修建在什么位置？利用尺规作图，在图中找出公共健身驿站点M的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如答图所示，点即为公共健身驿站的位置． 知识点3：轴对称性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【题型6 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【典例6】如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的性质，掌握这一性质是解题的关键． 利用轴对称的性质即可作出判断． 【详解】解：由线段垂直平分线的性质得，即是等腰三角形，选项A正确； 两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，选项B正确； 两个图形关于直线对称，则这两个图形重合，所以这两个三角形周长相等，选项C正确； 直线、直线的交点一定在对称轴上，选项D错误； 故选：D． 【变式1】已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等，据此判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故选项正确； 不一定成立, 故选项错误； 故选：． 【变式2】如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可．， 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，， 故选项A、B、C判断正确，不符合题意，选项D判断错误，符合题意， 故选：D． 【题型7 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【典例7】如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，结合的周长为，得出，即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式1】如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键． 先根据和关于直线对称得出，故可得出． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：该图形为轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点， ，， ， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．由已知条件，利用轴对称图形的性质得，再利用给出的周长即可求出的长． 【详解】解：是轴对称图形，直线是它的对称轴， ， 的周长等于，， ， ． 故答案为：． 【题型8 根据轴对称性质求最小值问题】 【典例8】如图，在中，．如果点D，E分别为边上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对称的性质，作点A关于的对称点，作点，交于点D．则，所以．即的最小值为． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D． 则， ∴． 即的最小值为． ∵， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式1】如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为． 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：A． 【变式2】如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的 (2)在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图图形即可； （2）连接交l于P，点P即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，点P即为所求． 【变式3】如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 【题型9 折叠问题】 【典例9】如图，将长方形沿向上折叠，使点B落在边上的F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到．由平角的定义得出，由平行线的性质推出，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，将书页斜折过去，使顶点落在处，为折痕，为的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的折叠性质以及角平分线的定义，解题关键是根据折叠性质得出角的等量关系．根据折叠性质得出角的等量关系，再结合角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：由翻折可知，， 为的平分线， ． 故选：B． 【变式2】如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 如图，由平行线的性质可求得，由折叠的性质可求得，再由平行线的性质可求得． 【详解】解：如图， ，， ，， 又由折叠的性质可知，且， ， ． 故选：C． 【变式3】如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题关键在于掌握知识点的合理应用； 由折叠得到，由平行线的性质，可得，进而求得，再由角的和差关系即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：D． 【题型10 求对称轴条数】 【典例10】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定轴对称图形的对称轴条数，掌握如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴成为解题的关键． 先分别根据对称轴的定义确定各选项对称轴的条数，然后比较即可解答． 【详解】解：正八边形有8条对称轴，正三边形有3条对称轴，正六边形有6条对称轴，圆的对称轴有无数条，即对称轴条数最多的是圆． 故选：D． 【变式1】花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，如图这种眉心花钿图案的对称轴条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，由此即可得解，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，这种眉心花钿图案的对称轴条数是6， 故选：D． 【变式2】如图，图中有（    ）条对称轴 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，根据对称轴的概念观察图形特征即可作答． 【详解】解：如图，该图形有4条对称轴： 故选：B． 【变式3】要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案为轴对称图形，且恰好有两条对称轴，则下列图形中符合设计要求的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的知识，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与原图形重合；结合各图形，逐一进行判断即可完成求解． 【详解】四个图形均为轴对称图形，其中从左往右数第1、2、4图有两条对称轴，第3个图形只有一条对称轴． 故选：B． 【题型11 有关镜面对称的应用】 【典例11】一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 【变式1】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【变式2】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答． 【详解】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：A 【变式3】从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 【答案】 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据这个特点来解决问题即可． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 1．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2．如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， ∴的周长为：， 故选：C． 3．下列图形中，轴对称图形的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，涉及轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴，由轴对称图形定义逐个验证即可得到答案，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段是轴对称图形，其中线段的垂直平分线就可以作为对称轴； 角是轴对称图形，其中角的平分线所在直线就可以作为对称轴； 等腰三角形是轴对称图形，其中底边中线所在的直线就可以作为对称轴； 平行四边形不是轴对称图形； 综上所述，以上图形中，轴对称图形有3个， 故选：C． 4．观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：解：由作图可得：， 故选：D． 5．将一张两边平行的纸条如图折叠一下，若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据平角以及折叠的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵纸条的两边平行， ∴ ∵折叠， ∴， 故选：C． 6．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，若反射光线为n，则最符合要求的入射光线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法， 根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可． 【详解】解：根据直线的性质补全图2并作出法线，如下图所示： 根据图形可以看出入射光线是， 故选：C． 7．如图，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，以及平行线的性质，根据题意得出平分是解题关键．根据平行线的性质得到，由角平分线的定义，可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：由题意得：平分， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ 故选：B． 8.如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】连接交于点M，根据平行线的性质，轴对称性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了轴对称性质，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接交于点M， ∵点，关于对称， ∴，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，与关于直线对称，对应点所连线段与直线交于点，则 是 的垂直平分线．若，则 ， ．    【答案】 直线 线段 3 90 【分析】根据轴对称的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∵， ∴， 故答案为：直线，线段，3，90． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴垂直平等对应点连线． 10．为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小彬计划制作一个如图所示的简易飞机模型．已知该模型是一个关于AC对称的轴对称图形，若，，则 cm． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵该模型是一个关于AC对称的轴对称图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，熟知轴对称图形的性质是解题的关键． 11．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2=110°，则∠1= ． 【答案】125°/125度 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补的性质求出∠3，再根据翻折的性质列式计算即可求出∠4，再根据两直线平行，同旁内角互补的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵纸条的两边互相平行， ∴∠2+∠3=180°， ∵∠2=110°， ∴∠3=180°-∠2=180°-110°=70°， 根据翻折的性质得，2∠4+∠3=180°， ∴∠4=（180°-∠3）=（180°-70°）=55°， ∵纸条的两边互相平行， ∴∠1+∠4=180°， ∴∠1=125°， 故答案为：125°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 12．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 【答案】3 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由折叠可得阴影部分图形的周长正好等于原等边三角形的周长． 【详解】解：由折叠可得；， 阴影部分图形的周长为． 故答案为：3． 13．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)把向下平移2个单位长度得到的； (2)画出格点关于直线对称的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别找到点，再依次连接，即可作答． （2）根据轴对称的性质，分别找到点，再依次连接，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：为向下平移2个单位长度得到的图形： （2）解：如图所示：为关于直线对称的图形． 14．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本作图，作一条线段的垂直平分线，作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握基本作图步骤． （1）根据作一条线段垂直平分线的基本作图方法作图即可； （2）根据作一个角的平分线的基本作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，射线即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $