21.2 平行四边形同步练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 平行四边形的判定（2） A组·基础达标 知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1 根据图中所给的条件,能判定四边形是平行四边形的依据是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 下面是证明平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的两种思路,选择其中一种,完成证明. 已知:如图①,在四边形中,,. 求证:四边形是平行四边形. 思路一:条件中已有,只需证明即可. 证明:如图②,连接. …… 思路二:条件中已有,只需证明即可. 证明:如图③,连接. …… 3 如图,已知,且,求证:四边形是平行四边形. 知识点2 平行四边形判定的综合 4 如图,在中,,分别是,上的点,且,是的延长线上一点,添加一个条件,下列不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 易错点 对平行四边形的判定方法掌握不牢固导致判断错误 5 如图,在四边形中,,若添加一个条件,使四边形为平行四边形,则下列条件正确的是（ ） A． B． C． D． B组·能力提升 6 如图,点,,,在同一条直线上,在和中,,,.连接,,则线段,的关系是_ _ _ _ _ _ _ _ . 7 如图,在四边形中,对角线与相交于点,,于点,于点,且.求证:四边形是平行四边形. C组·核心素养拓展 8 【推理能力】如图,在四边形中,,,.点从点向点以的速度运动,到点即停止;点从点向点以的速度运动,到点即停止,点,同时出发,设运动时间为. （1） 用含的代数式表示: _ _ _ _ ;_ _ _ _ _ _ _ _ ;_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;_ _ _ _ _ _ . （2） 当为何值时,四边形是平行四边形？ （3） 当为何值时,四边形是平行四边形？ 第2课时 平行四边形的性质（2） A组·基础达标 知识点1 平行四边形的性质综合 1．B 2．A 3．（1） 解:,, . 在中,, . , , . （2） 在中,, , . 四边形是平行四边形, , . 知识点2 两条平行线之间的距离 4．C 5．6 易错点 位置不确定,造成漏解 6．或 B组·能力提升 7．（1） 解:如答图,过点作于点,交的延长线于点. 第7题答图 四边形是平行四边形, ,, 在中,, 在中,, 即两组平行线之间的距离分别为,. （2） . 8．（1） 证明: 四边形是平行四边形, ,, . , , . 在和中, . （2） 解:, , , . , . C组·核心素养拓展 9．（1） 证明: 四边形是平行四边形, , . 在和中, , . （2） 解:, ., , , 是等腰直角三角形, ,, . , 是等腰直角三角形, , , . ,, , . 学科网（北京）股份有限公司 $21.2.3三角形的中位线 A组·基础达标 知识点1三角形的中位线的证明 1数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明.嘉嘉和淇淇各自尝试了一种辅助 线作法，如图①，②.其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是() ② 嘉嘉的辅助线作法：延：淇淇的辅助线作法过点E :长DE到点E使EF=DE,:作GE∥AB,过点A作AF∥ 连接DC,AFFC. BC,GE与AF交于点E A.嘉嘉的作法不可以，淇淇的作法可以 B.嘉嘉的作法可以，淇淇的作法不可以 C.嘉嘉和淇淇的作法都不可以 D.嘉嘉和淇淇的作法都可以 知识点2三角形的中位线的运用 2如图，平地上A,B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C,并分别找到AC和BC的中点 D,E,测量得DE=16m,则A,B两点间的距离为() A.30m B.32m C.36m D.48m 3以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4如图，D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=(） A.20 B.40° C.70° D.110 5在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，则△DEF的周 长为 6如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为D,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长为 B 7如图，☐ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段AO,BO的中点.若 AC+BD=24cm,△0AB的周长是18cm,则EF=_cm. 8如图，等边三角形ABC的边长是2，D,E分别为AB,AC的中点，过点E作EF//CD交BC 的延长线于点F,连接CD (1)求证：DE=CF; (2)求EF的长 B组能力提升 9如图，在△ABC中，M是边BC的中点，AD平分LBAC,BD1AD,BD的延长线交AC于点 E,AB=12AC=20,则DM= B 10如图，在△ABC中，D,E分别为ABAC的中点，点H在线段CE上，连接BH,G,F分别为 BH,CH的中点，连接DG (1)求证：四边形DEFG为平行四边形 (2)若DG1BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度 11如图，△ABC的中线BE,CF相交于点G,己知P,Q分别是BG,CG的中点. B (1)求证：四边形EFPQ是平行四边形 (2)请判断BG与GE的数量关系，并证明 C组核心素养拓展 12【几何直观，推理能力】如图，在四边形ABCD中，己知AB=CD,E,F分别为AD,BC的 中点，延长BA,CD,分别交射线FE于点P,Q.求证：LBPF=LCQF, 21.2.3三角形的中位线 A组基础达标 知识点1三角形的中位线的证明 1.D 知识点2三角形的中位线的运用 2.B 3.C 4.C 5.9 6.10 7.3 8.(1)证明：：D,E分别为AB,AC的中点， :DE /BC,DE=BC. EF//CD, :四边形DEFC是平行四边形， :.DE=CF (2)解：由(1)知四边形DEFC是平行四边形， :DC=EF. :D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2， .AD=BD=1,CD⊥AB,BC=2 ·DC=VBC2-BD2=22-1=3, ·EF=DC=3. B组能力提升 9.4 10.(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点，G,F分别为BH,CH的中点 :DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线， :.DE//BC,DE=BC,GF//BC,GF=BC,:DE//GF,DE=GF, :四边形DEFG为平行四边形， (2)解：四边形DEFG为平行四边形， ·DG=EF=2 'DG⊥BH,∠DGB=90°. :BG=VBD2-DG=32-2=5 11.(1)证明：：BE,CF是△ABC的中线 ·EF是△ABC的中位线， ·EF//BC,EF=BC :P,Q分别是BG,CG的中点， ·PQ是△BCG的中位线， ·PQ//BC,PQ=BC. ∴EF//PQ,EF=PQ, .四边形EFPQ是平行四边形 (2)解：BG=2GE.证明如下： :四边形EFPQ是平行四边形， GP=GE :P是BG的中点， .BG=2GP,∴.BG=2GE C组·核心素养拓展 12.证明：如答图，连接BD,取BD的中点M,连接EM,FM :E是AD的中点，M是BD的中点， :EM是△ABD的中位线， ∴EM//AB,EM=AB, ∠MEF=∠BPF 同理可证，FM//CD,FM=CD, ·LMFQ=∠CQF, 又：AB=CD, :EM=FM, ∴.∠MEF=∠MFE, ·LBPF=∠CQF. B 第12题答图21.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定（1) A组·基础达标 知识点1两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1在四边形ABCD中，AD//BC,要判定四边形ABCD是平行四边形，则还需满足() A.B+∠C=180° B.∠B+∠D=180° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠C=180 知识点2两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是() 9 A.OC=5 B.OC=7 C.CD=5 D.CD=9 3嘉淇同学要证明命题两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用 尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的己知和求证 已知：如图，在四边形ABCD中，BC=AD,AB= 求证：四边形ABCD是 四边形 我的想法是： 连接AC或BD. D 利用三角形全等】 依据“两组对边 分别平行的四边 的 形是平行四边形” 嘉淇 来证明. (1)填空，补全已知和求证： (2)按嘉淇的想法写出证明 知识点3两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4小敏不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块 与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是() ④ ① ③ A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 知识点4对角线互相平分的四边形是平行四边形 5四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中，一定能判定四边形 ABCD为平行四边形的是() A.AD /BC B.OA=OC,OB=OD C.AD//BC,AB=DC D.AC⊥BD B组·能力提升 6如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD, 转动其中一张纸条，在转动过程中下列结论一定成立的是() A.四边形ABCD的周长不变B.AD=CD C.四边形ABCD的面积不变D.AD=BC 7如图，在△ABC中，AB=AC=8.点E,F,G分别在边AB,BC,AC上，EF//AC,GF//AB 则四边形AEFG的周长是() A.32 B.24 C.16 D.8 8如图，在口ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，AE=CF (1)求证：四边形BEDF是平行四边形 (2)当BE⊥EF时，BE=4,BF=6,求BD的长 C组核心素养拓展 9【推理能力】如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F,交 BC的延长线于点E,连接BF,DE (1)求证：BE=CD: (2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,求证：四边形ACED是平行四边形； (3)若BF⊥AE,∠BEA=60°，AB=4,求口ABCD的面积. 第2课时平行四边形的性质（2) A组·基础达标 知识点1平行四边形的性质综合 1如图，☐ABCD的对角线AC和BD相交于点O,与△OBC面积相等的三角形（不包括 本身)的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 2如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF1BD于点F,则图 中全等三角形共有() A.7对 B.6对 C.5对 D.4对 3如图，在口ABCD中，BE1DC于点E,BF⊥DA于点F,若∠FBE=30,BE=2,BF=3. (1)求∠A的度数： (2)求口ABCD的面积. 知识点2两条平行线之间的距离 4如图，若直线m//n,下列关于直线m,n之间距离的说法正确的是() A.AB的长是m,n之间的距离 B.AD的长是m,n之间的距离 C.AC和DE的长是m,n之间的距离 D.AE的长是m,n之间的距离 5如图，AB//CD,AB1BC.若AB=4cm,S△ABc=12cm2,则△ABD中AB边上的高为_ cm 易错点位置不确定，造成漏解 6己知直线a//b//c,直线a与b的距离是5cm,直线b与c的距离是3cm,则直线a与c的 距离是 B组能力提升 7如图，己知在ABCD中，AB=8cm,BC=10cm,∠B=30°.求： A B C (1)两组平行线之间的距离： (2)☐ABCD的面积 8如图，在口ABCD中，E为边BC上一点，且AB=AE B E C (1)求证：△ABC≌△EAD; (2)若∠B=65°，∠EAC=25°，求∠AED的度数 C组核心素养拓展 9【几何直观，推理能力】如图，在口ABCD中，E,F分别是AB,CD上的点，且BE=DF,连 接EF交BD于点O,延长EF交AD的延长线于点G (1)求证：B0=DO, (2)若BD1AD,∠BEG=90°，∠A=45°，FG=V2,求AD的长 21.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定（1) A组·基础达标 知识点1两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1.A 知识点2两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.C 3. (1)CD;平行 (2)证明：连接AC,答图略. (AB=CD, 在△ABC和△CDA中， BC=DA, AC=CA, ·△ABC≌△CDA(SSS), ·.∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD, ·AB//CD,BC//AD, .四边形ABCD是平行四边形 知识点3两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4.D 知识点4对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.B B组能力提升 6.D 7.C 8.(1)证明：如答图，连接BD交AC于点0. D 第8题答图 :四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,OB=OD. ￥AE=CF, ∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF. 又OB=OD ·四边形BEDF是平行四边形 (2)解：BE⊥EF,∠BEF=90° :BE=4,BF=6,·EF=V62-4=25, 由(1)可知，OE=0F,OB=0D, ·OE=OF=专EF=V5, ∴0B=VBE+0E-y4+5=V21 :BD=20B=2W21. C组核心素养拓展 9. (1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC,AB=CD,·∠DAE=∠AEB :AE平分∠BAD,·∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB,.BE=AB :BE=CD (2)证明：由（1)知BE=AB :BF平分∠ABE,·AF=EF, ∠DAF=∠CEF, 在△ADF和△ECF中， AF=EF, ∠AFD=LEFC, ·△ADF≌△ECF(ASA),:DF=CF. 又：AF=EF, :四边形ACED是平行四边形. (3)解：由（1)知BE=AB 又：∠BEA=60°，·△ABE是等边三角形， .AB=AE=4. YBF⊥AE,·AF=EF=克AE=2 在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=VAB-AF2=V4-2=2W5 (DAF=∠FEC, 在△ADF和△ECF中， AF=EF, ∠AFD=∠EFC, ·△ADF≌△ECF(ASA), S□ABCD=S△ABB=专AE·BF=支×4×23=4V3 第2课时平行四边形的判定(2) A组·基础达标 知识点1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1.C 2.思路一：证明：如图②，连接AC AB CD ·∠BAC=∠DCA (AB=CD, 在△ABC和△CDA中， ∠BAC=∠DCA, AC=CA, ·△ABC≌△CDA(SAS, .∠BCA=∠DAC, ·BC//AD 又AB//CD, :四边形ABCD是平行四边形， 思路二：证明：如图③，连接AC. AB//CD. .∠BAC=∠DCA (AB=CD, 在△ABC和△CDA中， ∠BAC=∠DCA, AC=CA, ·△ABC≌△CDA(SAS, :BC=DA. 又AB=CD, :四边形ABCD是平行四边形. 3.证明：：∠1=∠2 ·AB//CD AB=CD, :四边形ABCD是平行四边形 知识点2平行四边形判定的综合 4.C 易错点对平行四边形的判定方法掌握不牢固导致判断错误 5.D B组能力提升 6.平行且相等 7.证明：∠ABD=∠CDB, :.AB//CD. ∴.∠EAB=∠FCD 'BE⊥AC,DF⊥AC, ·∠AEB=∠CFD=90°. ∠AEB=∠CFD, 在△AEB和△CFD中， ∠EAB=∠FCD, BE=DF, ·△AEB≌△CFD(AAS), ·AB=CD 又'AB//CD, 四边形ABCD是平行四边形， C组·核心素养拓展 8.(1)t;(12-t):(15-2t);2t (2)解：rAD//BC, 当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形 AP tcm,BQ=(15-2t)cm, 令t=15-2t,解得t=5, 当t=5s时，四边形APQB是平行四边形. (3)'AD//BC,即PD//CQ, 当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形. PD=(12-t)cm,QC 2tcm, .令12-t=2t, 解得t=4, .当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形21.2平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 第1课时平行四边形的性质（1) A组·基础达标 知识点1平行四边形的概念 1如图，在口ABCD中，M是BC的延长线上一点.若∠A=135°，则∠MCD的度数是 2如图，在口ABCD中，O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E求证： AE=BC. 知识点2平行四边形的对边相等 3已知口ABCD的周长为28cm,若AB:BC=3:4,则AB=cm,BC=cm. 4如图，四边形ABCD是平行四边形，E,F是AC上两点，且AF=CE (1)求证：BE=DF; (2)若AB1ACAE=2,BE=25,求CD的长. 知识点3平行四边形的对角相等 5平行四边形不一定具有的特征是() A.内角和为360 B.对角互补 C.邻角互补 D.对角相等 6在口ABCD中，若∠B十∠D=200°，则∠A=;若∠A:∠B=5:4,则∠C=_ 知识点4平行四边形的对角线互相平分 7如图，在口ABCD中，AC与BD交于点O,则下列结论不一定成立的是() A.AB=CD B.AO=CO C.AC=BD D.BO=DO 8如图，已知口ABCD的对角线AC,BD相交于点0，且AC=8,BD=10,AB=5,则 OA=OC=—-,OB=,△OCD的周长为 易错点未注意分情况讨论，造成漏解 9在口ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则口ABCD的周长是 B组能力提升 10如图，四边形ABCD是平行四边形，若S-ABCD=12,则S阴影=一 11如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,BD1AD,AB=10,AD=8.求OB的 长度及口ABCD的面积. D 0 B 12如图，☐ABCD的对角线AC,BD交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.求证：BE=DF D E C组核心素养拓展 13【几何直观，推理能力】如图，在口ABCD中，DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延 长线于点F (1)求证：AD=AF, (2)若AD=6,AB=3,∠A=120°，求BF的长和△ADF的面积 21.2.1平行四边形及其性质 第1课时平行四边形的性质(1) A组·基础达标 知识点1平行四边形的概念 1.45 2.证明：：O是AB的中点，∴A0=OB :四边形ABCD是平行四边形， ·AD//BC,·∠E=∠BCO. 又'∠AOE=∠BOC, ·△AOE≌△BOC(AAS),·AE=BC 知识点2平行四边形的对边相等 3.6;8 4.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,AB/CD, .∠BAE=∠DCF, AF=CE .AF-EF=CE-EF, 即AE=CF, ·△ABE≌△CDF(SAS), :BE=DF. (2)解：：AB⊥AC, ∠CAB=90 ×AE=2,BE=25, 在Rt△ABE中，AB=VBE-AE=V25-2-4 CD=AB=4. 知识点3平行四边形的对角相等 5.B 6.80°；100 知识点4平行四边形的对角线互相平分 7.C 8.4；5；14 易错点未注意分情况讨论，造成漏解 9.22或20 B组能力提升 10.3 11.解：BD1AD,AB=10,AD=8, :BD=VAB2-AD2=V102-82=6. ?四边形ABCD是平行四边形， :0B=号BD=青×6=3， SABCD=BD·AD=6×8=48. 12.证明：~四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O, .OB=OD,OA=OC. :E,F分别是0A,OC的中点， ∴OE=号OA,OF=OC, :.OE=OF. (OE=OF, 在△BEO和△DFO中， ∠BOE=∠DOF, BO=DO, ·△BEO≌△DFO(SAS), :BE=DF C组·核心素养拓展 13.（1)证明：在☐ABCD中，AB//CD, ·∠CDE=∠F :DF平分LADC, .∠ADE=∠CDE, ∴∠F=∠ADF, ∴AD=AF. (2)解：如答图，过点D作DH⊥AF交FA的延长线于点H AD=AF=6,AB=3, ∴.BF=AF-AB=6-3=3 ∠BAD=120°， ∠DAH=180°-120°=60°， ∠ADH=90°-60°=30°， ·AH=青AD=寺X6=3, DH=VAD2-AH=V6-3=3V3, SAADR=-AF·DH=克×6×3V5=9V3 第13题答图