5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 则有a=57,a=57.24,则有d-3-0.02,2025年10 月末的人口总数为a=a+10d=57.2(万).故选B. 6.C【解析】哈雷彗星回到近日点的年份为a,=1606+ 76n,奥伯斯彗星回到近日点的年份为b,=1606+70n,则 a.与b.公共项构成以1606为首项，70与76的最小公 倍数为公差的等差数列，又70与76的最小公倍数为 2660,则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份 为c=1606+2660n.令n=1,则c=4266.故选C. 7.千【解析】等腰直角三角形ABC中，斜边BC 2V2,AB=AC==2,AA=0=V2,…,则AA。== ag2x2 8.7解折】142+2+2++2-≥10.号≥10， .2"≥101，∴n≥7，即至少需7s细菌将病毒全部杀死. 9.4【解析】设衣服上的污垢数量为α，洗涤次数为 ,通过题意，可知存留的污垢)是以}a为首项、子 为公比的等比数列，=子a,则(4广a≤1%户 n≥1og100=log210→n≥4，.至少要清洗4次才能使存 留的污垢不超过1%. 10.解：a=10(1+0.35%)=10.035, a2=10(1+0.35%)2≈10.070. a=10(1+0.35%)3≈10.105， a=10(1+0.35%) 11.解：(1)设生物体内“℃含量最初为a4, 则5730年后的含量为24， 则agm74,解得g=分壶， 设x年后测得生物体内“℃含量为y, 则=a分)病。 (2)由题意，得a2)疯=1%a,即(3)南=1%， 两边取对数得5730lg2-2。 放忌573038069， 58 故该古人猿颅骨已存在了大约38069年」 12.5.3【解析】设每年存人x万元，则2025年初存 入的钱到2031年底本利和为x(1+2%)7,2026年初存入 的钱到2031年底本利和为x(1+2%),…,2031年初存 入的钱到2031年底本利和为x(1+2%),则x(1+2%)+ x(1+2%)+…+x(1+2%)7=40,即1.02x1-022)=40,解 1-1.02 得x≈5.3. 提升练习 13.C【解析】由题意，按复利计算，设王先生每个 月还款a元，则王先生第一次还款a元后，还欠本金及 利息为10000(1+1.5%)-a元；第二次还款a元后，还欠 本金及利息为10000(1+1.5%)2-a(1+1.5%)-a;第三次还 款a元后，还欠本金及利息为10000(1+1.5%)3-a(1+ 1.5%)2-a(1+1.5%)-a,依次类推，直到第十二次还款后， 全部还清，即10000(1+1.5%)P-a(1+1.5%)-a(1+1.5%)0- -a(1+1.5%)-0-0,即10000(1+15%)2=a·1-.015 1-1.015, 解得a≈900，故x=12×900=10800(元).按照单利算利 息，12月后，所结利息共10000×0.01525×12=1830 (元)，故y=10000+1830=11830(元)， .y-x=11830-10800=1030(元.故选C. 14.2×7【解析】设n个月后共有am只老鼠，且雌 雄各半，n+1个月后的老鼠只数满足a=4,+12×受 (neN),.a=7a(neN).又a=l4≠0，.aul=7, a .数列{a}是以14为首项、7为公比的等比数列，n 个月后老鼠的只数a=14x7-=2×7. >m5.5数学归纳法 效果评价 1.C【解析】边数最少的凸n边形为三角形，故o= 3.故选C 2.C【解析】当n=1时，左边=1+a+a+=1+a+a2.故 选C 3.B【解析】第二步假设当n=2h-1(k∈N)时成 立，再推出当n=2(k+1)-1=2k+1时成立.故选B. 4.D【解析】由所证明的等式，可知当n=k+1时， 1 1 1 1 右边=++++2k+可+2k+1+2+…+2k+1 +水2故选D 5.C【解析】观察所给式子，所猜测的分式的分母 为n+1,而分子3,5,7，…，恰好是第(n+1)个正奇 数，即2n+1.故选C. 6.D【解析】若f(3)≥9成立，由题意只可得出当 k≥3时，均有fk)≥2成立，故A错误；若f5)≥25 成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错误；C 应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥ 2成立”，故C错误.故选D. 7.f1)=1+2+22+23+24【解析】当n=1时，fn)=1+2+ 22+2+…+25-1-1+2+22+23+24.故答案为f(1)=1+2+22+ 23+24 8卖+中2女《解标】由a司 n+l+ 1 n+2++3n-(neN), 可得)中+2叶keN. 期+1)2+点++中 中+2南叶站2 1,1 11 即+1时+++2中》 11 9水中水7【解析】由1之+写名+…+ 当n=k到n=k+l时， 左边增加了两项2水4水2 1 故答案为k422 参考答案。 10分中《解析】：数列侧的前n项和为s… 且HneN都有(S.-1)2=aSn, 则有S1)=,解得S=3,S7 当n≥2时，a=S-Snl,则由 (Sr1片(S-S8及S7,解得S子， 由(S1片S-ss及S=号，解得s=子， 由S方，S号，S子猜想8 11.解：当n=1时，左边=1，右边=12=1，则原等式 成立 假设当n=k(k∈N)时，原不等式成立， 即1+3+5+…+(2k-1)=k2成立， 则当n=k+1时，1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1= (k+1)2, 即当=k+1时原等式成立， .1+3+5+…+(2n-1)=n2对于任意n∈N成立. 12.A【解析】令n=1,2,3, {1=3(a-b)+c, 3-3b+c=1, 得{1+2x3=32(2a-b)+c, 即{18a-9b+c=7, 1+2×3+3×32=33(3a-b)+c,81a-27b+c=34 解得分仁子c=子成适A 提升练习 13.ABD【解析】对于A,当n=1时，式子=1+k, 故A错误； 对于B,当n=1时，式子=l,故B错误； 对于C,当nl时，式子=l++了，故C正确： 对于D,f+1)f()+3+2+3+3+3k+4k+' 故D错误.故选ABD. 595.5 数 效果评价 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角 和等于(n-2)π”时，证明第一步中no的取 值应为()》 A.1 B.2 C.3 D.4 2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+d= l-2(a≠1，n∈N*),在验证n=1成立 1-a 时，左边计算所得的项是() A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a++a 3.用数学归纳法证明“当n为正奇数 时，x+y能被x+y整除”时，第二步归纳假 设应写成（) A.假设当n=2k+1(k∈N*)时成立， 再推出当n=2k+3时成立 B.假设当n=2h-1(keN*)时成立，再 推出当n=2k+1时成立 C.假设当n=k(k∈N*)时成立，再推 出当n=k+1时成立 D.假设当n=k(k≥1)时成立，再推出 当n=k+2时成立 4.用数学归纳法证明“1-1+1一1+ 234 2+2*+与 +1(neN*)”, 2n 由n=k(k∈N*)的假设证明n=k+l时，如 果从等式左边证明右边，则必须证得右边为 第五章数列。 学归纳法 A中 1 1 +2k+2k+1 B中+安+22 C. 1,1 D2++2+2然2 1 1 5观察下列式子：1+安<号1+宁+京 22+32 各，1++京+卓<子，，则可归纳出 1+1+1 2232+… +(+1F小于() A.n B.2n-1 n+1 n+1 C.2n+1 D.2n n+1 n+1 6.设f(x)是定义在正整数集上的函数， 且f(x)满足：“当fk)≥2成立时，总可推 出f(k+1)≥(k+1)2成立”，那么下列命题总 成立的是() A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均 有fk)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均 有fk)≥k2成立 C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均 有fk)<k2成立 D.若f(4)=25成立，则当k≥4时，均 有fk)≥k2成立 7.若f(n)=1+2+22+23+…+25m-1用数学归 纳法证明1+2+2+2+…+2是31的倍数(n∈ N),在验证n=1成立时，原式为 练(25 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 n+++1 8.已知fn)=1,+1 3n-l(n∈ N),则f(k+1)=f(k)+ 9用数学归纳法证1+号4+叶 2n2nn++中2++neN”的 1-1=1+1 2n 过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的 项为 10.设数列{an}的前n项和为S,且对 任意的正整数n都有(Sn-1)2=aSm,则S= ;进一步通过计算求得S2,S3,猜 想Sm= 11.有下列命题：1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*).使用数学归纳法证明. (26)练 12.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3m-l= 3"(na-b)+c对一切n∈N*都成立，那么a, b,c的值为() Aa=3,b=c=4 B.a-b-c=号 C.a=0,b=c=1 D.不存在这样的a,b,c 提升练习 13.(多选题)下面四个判断中，不正确 的有() A.式子1+k+k2+…+km(neN*)中，当 n=1时，式子的值为1 B.式子1+k+k2+…+hk(n∈N*)中， 当n=1时，式子的值为1+k C式fI+分+号++aeNy 中，当=1时，式子的值为1+分+兮 D.设fm)=L+1 1 =n+1+n+2++3n+l(me N,则+1+234 1