综合测试卷二-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

综合测试卷（曰）⊙ 综合测试卷（二） 时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 外接圆的直径为() 共40分.在每小题给出的四个选项中， A.2V3 B.4V3 只有一项是符合题目要求的， 3 3 1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是 C.1 D.V2 (-1,2),则z的共轭复数z=() 6.关于空间中的角，下列说法： ①空间中两条直线所成角的取值范围是 A.1+V2i B.1-V2 i C.-1+V2i D.-1-V2i 0.: 2.在正三棱柱ABC-A B C1中，若AB=2,AA1= ②空间中直线与平面所成角的取值范围是 1,则点A到平面ABC的距离为（) l0,引： A.V3 B.V3 4 2 ③空间中平面与平面所成角的取值范围是 c.3V3 4 D.V3 0,； 3.水平放置的四边形 ④空间中二面角的平面角的取值范围是 ABCD的斜二测直 A 0, 观图是直角梯形 D 其中正确的个数是() A'B'CD',如图所 第3题图 A.1 B.2 示.其中B'C=A'B'= C.3 D.4 1,则原平面图形的面积为（) 7.在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=4,则 A.3V2 B.3V2 AB+AC的模为( ) 8 4 C.3V2 D.6V2 A.V10 B.2V2 4.复数与复数(z+2)2-8i都是纯虚数，则 C.⑥ D.2 z的值为( 8.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分 A.i B.2i 别是a,b,c,若c=2 bcosA,且(a+b-c): C.±2i D.-2i (b+c+a)=2ab,那么△ABC是（) 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 A.直角三角形 B.等腰三角形 为a,b,c,且2B=A+C,b=2,则△ABC: C.等边三角形 D.等腰直角三角形 17 N 高中数学必修第四册人教B版 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，14.在△ABC中，∠BAC=60°，AC=2,BC= 共18分.在每小题给出的选项中，有多 V7,∠BAC的平分线交BC于点D,则 项符合题目要求.全部选对的得6分， AD= 部分选对的得部分分，有选错的得0分.： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 9.在空间中，设m,n为两条不同的直线，： 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. a为一个平面，下列结论正确的是（）：15.(13分)已知复数1=3+4i,2=-2i,i为 A.m∥a,且nCa,则m⊥n 虚数单位 B.mLa,n∥a,则m⊥n (1)若=，求z的共轭复数. C.m∥a,n∥ax,则mn 22 D.m⊥a,n⊥a,则m∥n (2)若复数z1+2在复平面上对应的点 10.下面四个命题中的真命题为() 在第四象限，求实数a的取值范围. A.若复数：满足L∈R,则z∈R B.若复数z满足z2∈R,则z∈R C.若复数a1,2满足z32∈R,则=z2 D.若复数zeR,则z∈R 11.在△ABC中，下列说法正确的有() A.若A>B,则sinA>sinB B.若△ABC为锐角三角形，则sinB>cosA C.若a'tanB=btanA,则△ABC一定是等 腰三角形 D.若△ABC为钝角三角形，且AB=3, AC=5,cosG=得则△ABC的面积为 15V3 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，： 共15分. 12.若复数z满足(1+2i)z=3+i,则z= 13.在直三棱柱ABC-AB,C1中，∠ACB=90°， AC=6,BC=CC1=V2,P是线段B1C上 的动点，则AP+PC的最小值是 18 综合测试卷曰。 16.(15分)如图，在四棱柱ABCD-ABCD1:17.(15分)某两个小区之间有一块三角形 中，底面是边长为1的正方形，侧棱 空地，市政府计划在这块三角形空地上 AA1⊥平面ABCD,AA1=2,M是DD1的 修建一个微型公园.如图所示，经测量 中点.求证： ∠A=∠B=石，AB=200V3m,修建- (1)BD1∥平面AMC. 条景观水渠（水渠宽度忽略不计）CD (2)AC⊥BD. D 把三角形空地分成两个区域：△ACD为 游乐扩展区，△BCD为健身休闲区.已 B M 知游乐拓展区每平方米造价200元，健 身休闲区每平方米造价100元，景观水 渠每米造价10000元. 第16题图 ()若∠CDA=年，求景观水渠CD的 长度 (2)求当∠CDA取何值时政府的总投资 最少，并求出总投资的最小值 D 第17题图 19 N 高中数学必修第四册人教B版 18.(17分)如图，在四棱锥O-ABCD中，19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底 底面ABCD是矩形，其中AB=1,AD=2, 面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面 OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中 ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作 点，N为BC的中点. EF⊥PB交PB于点F (1)求证：直线MW∥平面OCD. (1)求证：PA∥平面EDB. (2)求点B到平面OCD的距离. (2)求证：PB⊥平面EFD. (3)求平面DEF与平面ABCD夹角的正 弦值 M 2-1 第18题图 F 第19题图 20N 高中数学必修第四册人教B版 QAD∩面ABCD=AD,CDC面ABCD,∴.CD⊥面QAD.又 AMC面QAD,..CD⊥AM.又CD∩QD=D,CD,QDC平面 QCD,.∴AM⊥平面QCD. (2)解：取AD的中点E,BC的中点F,连接QE, EF,FQ,则EF∥AB且EF=AB,QE⊥AD,故EF⊥BC, 面QAD⊥面ABCD,面QAD∩面ABCD=AD,QEC面 QAD,.QE⊥面ABCD.EF,BCC面ABCD,.QE⊥EF, QE⊥BC.又EF∩QE=E,EF,QEC平面QEF,.BC⊥平面 QEF又QFC平面QEF,BC⊥QF,则∠QFE即为侧面 QBC与底面ABCD所成二面角的平面角，设AB=2,则EF= 2,0E=V3,故0F=V4+3=V7,cos∠0FE=E= OF 2=2Y7,即侧面QBC与底面ABCD所成二面角的 VT 7 余弦值为2V7 7 (3)解：当ON⊥面ABCD时，平面AMC⊥平面BDN, 证明如下：如图，连接CE交BD于点O,连接OW,.底 面ABCD是正方形，AC⊥BD.由(2)得QE⊥面ABCD, ACC面ABCD,∴.QE⊥AC..ON⊥面ABCD时，ON∥QE, .AC⊥ON.又ON∩BD=O,ON,BDC平面BDN..∴AC⊥平 面BDW,又ACC平面AMC,∴.平面AMC⊥平面BDN. aD/Bc,8--分0v/0E.%-8-号 在棱OC上是否存在点N,当=}时，平面BDNL平面 NC 2 AMC. D 第19题答图 "综合测试卷（二) 1.D【解析】z在复平面内对应的点是(-1，V2), 根据复数的几何意义，得z=-1+V2i,由共轭复数的定 义，可知=-1-V2i.故选D. 2.B【解析】在正三棱柱ABC-ABC1中，若AB=2, AA=l,Sau=x22xY=V了，由勾股定理，可得 2 110 A1B=AC=V1+22=V5,在等腰三角 形ABC中，底边BC上的高长为 V(5)2(222,等腰三 角形A,BC的面积为】×2x2=2,设点 A、 2 A到平面ABC的距离为h,VAx= 2题答图 V→了h2=}×1xV了→h=3,故选B 3 2 3.C【解析】由直角梯形A'B'CD'中B'C=A'B'=1,且 ∠A'D'C=45°，作A'P⊥DC于点P,则四边形A'B'CP为 正方形，△A'PD'为等腰直角三角形，故A'D'=V2,DC =2.故原图为直角梯形，且上底AB=A'B=1,高AD=2A'D' =2V2,下底Dc=D'C=2.其面积为号×1+2)×2V2= 3V2.故选C. A /D(O')P C' 图1 图2 第3题答图 4.D【解析】z是纯虚数，故设z=bi(beR且b≠0). 又(z+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i是纯虚数，∴.4-b2=0且4b-8≠ 0,解得b=-2,.z=-2i.故选D. 5.B【解析】由题意，得A+B+C=3B=m,B=号，设 △ABC外接圆的半径为R,则由正弦定理，得、品g=2R= ,=2,直径为4散滋B 3 3 6.C【解析】由空间中两条直线所成角的取值范围是 [0,受引，可知①正确：由空间中直线与平面所成角的取 值范围是0，受引，可知②正确：空间中二面角的平面角 的取值范围是[0，π]，可知④错误；空间中平面与平面所 成角的取值范围是0，受引，可知③正确.故选C 7.A【解析】由余弦定理，得cosLBAC=AB+4C-BC 2AB·AC =48后-子，店+M-部+2a.花+=4+22x3× 2x2×3 (人4)+9=10，方+ACV10.故选A 8.D【解析】由(a+b-c)(b+c+a)=2ab,得(a+b)2-c2= 2ab,整理，得c2=-2+b,故C=90°.又c=2 bcosA,由正弦定 理与余孩定理，得e26:,化简，得6，AMBC 为等腰直角三角形.故选D. 9.BD【解析】m∥a,nCa,若直线n是过直线m的 平面与平面&的交线，则有m∥n,故A错误；由n∥a, 得存在过直线n的平面与平面a相交，令交线为l,则n∥ l,又m⊥a,则有m⊥l,因此m⊥n,故B正确；由m∥a, n∥a,知m与n可以相交，可以平行，也可以是异面直线， 故C错误；m⊥a,n⊥a,由线面垂直的性质，知m∥n,D 正确.故选BD. 10.AD【解析】设z=a+bi(a,beR),可得上=1 (a+ha-ib4bi,eR.可得b=0,则ze a-bi b R,故A正确；若复数z=i时，可得z2=-1∈R,此时zR, :B为假命题；若复数z1=i,z2=2i,可得z122=-2eR,则 z1≠z2,∴C为假命题；若复数z∈R,z的虚部为0，z的虚 部也为O,则zeR,D为真命题.故选AD. 11.AB【解析】A>B,∴a>b,sinA>sinB,故A正 确：△ABC是锐角三角形，M+B>7,即B>7-A,:B∈ (0,受)且罗-Ae0,罗f)-sin在区间(0，受上单 调递增，sinB>sin受-A）=cosM,故B正确；anB= n8inB,即sn46,即 之n2M=号m2B,sin24=5n2B,而4，B为三角形内角 ,2A=2B→A=B或者2A+2B=T→A+B=7,△ABC是等腰 三角形或直角三角形，故C错误；易求出sinC=3Y3 14 前coa:“.骨-号，化商，可袋心65+ 12=0,解得a=19或者a=7.当a=9时，∠B是最大角且 cos6c0,满足纯角三角形，此时S=乃bsnC-2×9x5× 3Y3-603.当a=7时，∠A为最大角且cos4<0,· 14 49 满足能角三角形，此时5=分snG=方×75x3Y平： 14 参考答案。 15Y3,D错误，故选AB. 4 12V7指112ia3,则微器 =5-5i=1-i,故l=V+平=V2 5 13.5V2【解析】如图1，CC⊥平面ABC,ACC平 面ABC,.CC1⊥AC.又AC⊥BC,BC∩CC1=C,BC,CC1C 平面BCCB,AC⊥平面BCCB.又B,CC平面BCCB, .AC⊥B1C..BC=CC=V2,.四边形BCCB1是正方形， .∠CCB1=45°.如图2，将△BCC1沿BC展开，使 △B,CC,与△AB,C在同一平面内，则AC1即为AP+PC 的最小值，∠CCA=135°，由余弦定理，得AC1= V6+(V2)2-2x6xV2cos135°=5V2,∵AP+P℃的最小 值是5V2. 图1 图2 第13题答图 14,6Y3【解析】在△ABC中，由余弦定理AC+MB 5 2AC·A Bcos∠BAC=BC,得4+AB2-4 A Bcos60°=7，解得AB= 3(-1舍去)，AD是角平分线，则品=A治=号，BD= 号V7,cD27,又由余张定理，得AB=46D- 2AD·BDcos∠ADB,AC=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,而 Cos∠ADB+cos∠ADC=-0,因此AD+BD-AB+AD+CD2-AC 2AD·BD 2AD·CD =0.AD2.CD+BD2.CD-AB.CD+AD2 BD+CD2.BD-AC2.BD= 0.AD BC=ABCD+AC.BD-BC-BD.CD=108 VT.AD= 25 6V3 5 B 第14题答图 解：-2r2 111 N 高中数学必修第四册人教B版 (2)az1+z2=a(3+4i)-2i=3a+(4a-2)i,对应点坐标为 3a>0, (3a,4a-2),由题意， 4a-2<0, 解得0<a<2 16.证明：(1)设AC∩BD=0, 0 连接OM,如图，在四棱柱ABCD- A ABCD1中，ABCD是正方形，.O为 BD的中点.又M是DD的中点， ∴.OM∥BD..OMC平面AMC,BD1 平面AMC,BD∥平面AMC. D以- (2)在四棱柱ABCD-AB1CD1 -- 中，侧棱AA1⊥平面ABCD,DDL 第16题答图 平面ABCD.·ACC平面ABCD .DD1⊥AC.在正方形ABCD中，BD⊥AC,又.DD∩BD= D,DDC平面BDD1,BDC平面BDD,AC⊥平面BDD. BD1C平面BDD1,AC⊥BD 17.解：(1)在△ABC中，∠ACB=2π，AB 3 -= Sin 2m 3 BC=AC,解得AC=BC=20.在△ACD中， CD= sinπ sin n sin 6 6 6 AC,解得CD=100V2. s咖g (2)设∠c01=6,0e(看，爱)，则CD=4品 sinsin 6 .20sn(6-0 令、AD，故CD=mA，AD三 sin sine 100cos0+100V3,BD=200V3-AD=100V3-100c09 sine sine Sam=号A6A0smg=×20x1008+100V3)= 5008+V3）,Sam=7Bc:B0sin石=}×200× 10V3-1082-500(V万-e8,故总费用W- 10000x100+2005000c0s8+V3+1005000V3-c0s8 sing =1好昭设器.则 2=2sin0-co0=V4南sin0-p）,tane=z,故V4≥2， 解得位Y,的最小值为Y,此时agY,取g 石，则0g受=，即总费用的最小值为2V3×10元 112 故当∠CDA=2π时政府的，总投资最少，最小值为2V3×10元. 3 18.(1)证明：如图1，取AD的中点P,连接MP, NP,M为OA的中点，N为BC的中点，P为AD的中点， .在矩形ABCD中，NP∥CD.在△OAD中，MP∥OD,又 .CDC平面OCD,ODC平面OCD,NPt平面OCD,MPt 平面OCD,NP∥平面OCD,MP∥平面OCD.又WPC平 面MNP,MPC平面MNP,NP∩MP-P,.平面MNP∥平面 OCD.又.MWC平面MNP,.·MN∥平面OCD 0 0 M M A -=D B 图1 图2 第18题答图 (2)解：如图2，连接BD,由题意，AB=1,AD=2, OA=2,.OA⊥底面ABCD,ADC平面ABCD,CDC平面 ABCD,.OA⊥AD,则△OAD是等腰直角三角形，OA⊥CD. 0D=VAD+0AP=2V2.在矩形ABCD中，AD⊥CD, AD∩OA=A,ADC平面OAD,OAC平面OAD,.:CD⊥平 面OAD.又.ODC平面OAD,.CD⊥OD,则△OCD是直角 三角形，CD=AB=l,Sem=7×CDx0D=7×12V2= V2.·OA⊥底面ABCD,:.OA是三棱锥O-BCD的高.底 面ABCD是矩形，Sm)×CDXBC=-2×12=l.点B到 平面OCD的距离就是三棱锥B-OCD的高h,∴.由Vam Vem得，子x01x5aw号×hx5am,即号2x1=号x V2,解得h=V2,即点B到平面OCD的距离为V2. 19.(1)证明：连接AC,交 BD于点O,连接EO..O,E分别 为AC,PC的中点，则PA∥EO, 又.PAt平面EDB,EOC平面 EDB,则PA∥平面EDB. (2)证明：四边形ABCD是 正方形，则BC⊥CD,又：PD⊥底 第19题答图 面ABCD,BCC平面ABCD,则BC⊥PD..PD,CDC平面 PDC,PD∩CD=D,则BC⊥平面PDC.又.DEC平面PDC, 则DE⊥BC..PD=DC,E是PC的中点，则DE⊥PC.又 .PC,BCC平面PBC,PC∩BC=C,则DE⊥平面PBC, PBC平面PBC,则DE⊥PB,又EF⊥PB,DE,FEC平面 EFD,DE∩FE=E,则PB⊥平面EFD (3)解：由(2)，可知PB⊥平面EFD,又PD⊥底面 ABCD,结合图形，可知平面DEF与平面ABCD的夹角与 ∠FPD相等或互补..PB⊥平面EFD,DFC平面DFE,则 DF⊥PB.由题，设PD=DC=2a,则DB=2V2a,PB=2V3a. S=)PDDB=号DF-PB→DF=PDDB=2a:2Y2a= PB 2V3a 2VY6a.设平面DEF与平面ABCD的夹角为6，故sin6= 3 sin∠FPD=DF=V6 DP 3 >"综合测试卷（三） 1.D【解析】i1)归l,1+=}=章=i,=-1-i, z=-1+i,z-z=-1-i-(-1+i)=-2i.故选D. 2A【解折】由正孩定理，可知品=品→n6 xV: 4V3 2,BG>ACA>B→B=45,放C 180°-A-B=75°.故选A. 3.B【解析】如图所示，正 三棱锥S-ABC,球O是它的内切 球，设H为底面△ABC的中心， 根据对称性可得内切球的球心O 在三棱锥的高SH上，由SC,SH 确定的平面交AB于点D,连接 D SD,CD,得到截面△SCD,截面 第3题答图 SCD就是经过侧棱SC与AB中点的截面，平面SCD与内切 球相交，截得的球大圆如图所示.：在△SCD中，圆O分别 与SD,CD相切于点E,H,圆O与SC相离，对照各个选 项，可得只有B项的截面符合题意.故选B. 4.A【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则z-a-bi(a,b∈ R）..2z+iz=3,.2(a+bi)+i·(a-bi)=3,即(2a+b)+(a+2b)iE 2a+b=3, 3,则 解得2，即2-1六复数：的虚部为 (a+2b=0, b=-1, -1.故选A 5.D【解析】若三点共线，则经过三个点的平面有无 数个，故A项错误；如图1，在长方体ABCD-AB,CD1中， AB⊥AA1,AD⊥AA1,但是AB⊥AD,故B项错误；如图 参考答案。 2,在平行六面体ABCD-ABCD中，AD∥AD1,AB∥ CD,但是∠BAD与∠ADC1不相等，故C项错误；若两 个平面平行，根据面面平行的定义可知，其中一个平面中 的任何直线都平行于另一个平面，故D项正确.故选D. 图1 图2 第5题答图 6.B【解析】如图所示，取BP的 中点F,连接EF,AF在△PBD中， E,F分别为PD,PB的中点，故 EF∥BD,∠FEA即为异面直线BD与 AE所成的角（或补角），在△AEF 中，AF=子BP=V2,AE= 第6题答图 之PD=V2,EF=之BD=V2,即△AEF为等边三角形， ∠FEA=60°，cOs∠FEA=.故选B. 2 7.B【解析】在△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C≥ V/3 sinBsinC,·.由正弦定理化简，得a2-b2-c2≥V3bc, 即b242-≤-V3bc,cos4=b2t2d≤-Y3.M为三角 2bc 2 形的内角，：爱≤<，则A的取值范围为石，，故选B 6 8.C【解析】.2S=m2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc 2becosA,e-cosA=besinAcosin 2m号=sn号cos号，A为钱角，am号=子，am4= 11 =号m4=号cos=号又2，由正弦定理，可得品 6c号.bc-高ninC)i6A8] b sinsin+cosB)-4sinB+2cosB=2V5 sin(B) 其中ag=子，g=号：△ABC为锐角三角形，受A<B< 牙，则1+eBigt,即】Bc+号cos< aBps1又cos、,42V5smBo)≤2V5 (113