第十章 复数 测试卷-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

第十章章未测试卷。 第十章章末测试卷 时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 6在复平面内，复数=}+i对应的 2 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的！ 向量为0A,复数o对应的向量为0B.那 1.(1+i)(2-i)=() 么向量AB对应的复数是() A.-3-i B.-3+i A.1 B.-1 C.3-i D.3+i C.V3i D.-V3 i 2.若复数(2a+i)(1+i)(i为虚数单位)在 7.若1+V2i是关于x的实系数方程x2+bx+ 复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a c=0的一个复数根，则() 为() A.b=2,c=3 B.b=2,c=-1 A.-2 B.2 C.b=-2,c=-1 D.b=-2,c=3 C.-2 D分 8.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别 3.在复平面内，复数2+311是虚数单位) 为a,b,复数名1=a+bi,z2=c0sA+ic0sB,若 3-4i 复数名1·2在复平面上对应的点在虚轴上， 所对应的点位于() 则△ABC是() A.第一象限 B.第二象限 A.等腰三角形或直角三角形 C.第三象限 D.第四象限 B.等腰直角三角形 4设结=-i0,l 则= C.等腰三角形 D.直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， A3号i B+ 共18分.在每小题给出的选项中，有多 C.34 项符合题目要求.全部选对的得6分， 45 部分选对的得部分分，有选错的得0分 5若-+V3i,则嘉（) 9.已知虚数z满足2z+5引=z+101,下列结论正 确的是() A.-1+V3i B.-1-V3i A.虚数z对应的点在某个圆上 C. D.-3-V3i B.虚数z对应的点在某条直线上 5 N 高中数学必修第四册人教B版 C.当实数m=5时，之+m为实数 (2)DB对应的复数. (3)△APB的面积. D.若(1-2i)z在复平面内对应的点在直 线=x上，则复数=V0_3V10; 10.已知复数=1+i,则下列命题中正确的是 ( A.lzl=V2 B.z=1-i C.z的虚部为i D.z在复平面上的对应点在第一象限 11.已知1与2是共轭虚数，以下4个命题 一定正确的是（) 16.(15分)已知复平面内点A,B对应的复 A.z7<z22 B.33=z 数分别是z1=sin20+i,z2=-cos20+ic0s20, C.z1+z2∈R D.ER 其中0e(0,π)，设AB对应的复数为z. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， (1)求复数z. 共15分 (2)若复数：对应的点P在直线y=? 12.设z=1+i(i为虚数单位)，则2+2等 上，求0的值. 于 13.设复数a+bi(a,b∈R)的模为V3, 则(a+bi)(a-bi)= 14.设i为虚数单位，给定复数z=+,则 1+i z的虚部为 -, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知□ABCD中，AB与AC对应 的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线 AC与BD相交于P点.求： (1)AD对应的复数. 6 第十章章未测试卷。 17.(15分)已知lz+1-i=1,求z-3+4il的最大18.(17分)已知复数z=1og2(x2-3x-3)+ 值和最小值. ilog2(x-3),其中x∈R.求证：复数z不 可能是纯虚数 ⊙ N 高中数学必修第四册人教B版 19.(17分)已知：是虚数，且+1是实数， 求证：1是纯虚数 1+z (8sin2x-石)+1，则fx)的最小正周期为2牙=m.令-受+ 2水m≤2x-石≤受2km,keZ,解得-石+hm≤≤胥km。 keZ,故x)的单调递增区间为[石林m,号+6m小，keZ (2)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值，可得f(C)= sin2C-石)+1-2，即sin2C-石=1.：0<C<m,则可解得C= 号，则DfG=25a=5mt5m号HGB: sinC=2CD:CB:sin∠BCD+2 CA-CD-sin∠ACD,∴V3ab 2a,+君厚.h日+= a b 2 V+台+2)2V后密-4 3 当且仅当合=之，即6=V了a时等号成立3a+6的最小值 为8Y3+4 3 19.解：(I)在△BCD中，由正弦定理，知，BD sin∠BCD CD Sin∠CBD·BD一=2Y6,解得BD=6.若选①， “sn2gsin年 3 ∠BGD=9,∠CB=年，∠BDC=T-(∠BCD+∠CBD)= m-+牙号∠B0E=∠0E-∠B0c晋音受 在Rt△BDE中，BE=VBD+DE=V6+8=I0;若选②，在 2BD-8E,3 △BDE中，由余弦定理，知cos∠DBE=BD+BE-DE, =6tE8,化简，得5BE-36BE-140=0,解得BE=10 2x6xBE 或-号（舍负），故服务酒道BE的长度BE=10, (2)在△ABE中，由余弦定理，知BE=BA2+AE2-2BA· AE·Cos∠BAE,.100=BA2+AE+BA·AE,∴.(BA+AE)2-BA· AE=100,即(BA+ME-100=BAAE≤(BA+ME)2,当且仅 4 当BA=AE时，等号成立，此时子(BA+ME)=I00,BA+ME 的最大值为20V3 3 >"第十章章末测试卷 1.D【解析】(1+i)(2-i)=2+i-iP=3+i.故选D. 参考答案。 2.D【解析】(2a+i)(1+i)=(2a-1)+(2a+1)i在复平面内 所对应的点在虚轴上，2a-1=0,即a=之故选D, 3.B【解析】=243134=11-+ 3-4i 5 5 号，复数31对应的点位于第二象限 3-41 4D偏折】结-2写-号号.01 2.号身.9号 55 5.C【解析】z=-1-V3i,zz=(-1+V3i)(-1-V3i)= 1+34品1+Y-}i故选C 33 6D【解折】正=0丽-0w-w=+ 2 +号i+}V3i.故选D 7.D【解析】由题意，1+V2i是关于x的实系数方程 x2+bx+c=0,.1+2V2i-2+b+V2bi+c=0,即-1+b+c+ -1+b+c=0, (2V2+V2b)i=0,∴. 解得b=-2,c=3. 2V2+V2b=0, 故选D 8.A【解析】z132=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA-bcosB)+ (acosB+bcosA)i..zz2在复平面上对应的点在虚轴上， acosA-bcosB=0,sinA cosA-sinBcosB=0;.'.sin2A =sin2B, 21=2B或21+2B=m:A=B或A+B=受；△ABC是等腰三 角形或直角三角形. 9.AC【解析】设z=x+yi(x,yeR且y≠0)，由 12z+5引=z+101,得(2x+5)2+4y2=(x+10)2+y2,化简，得x2+y2= 25,即k=5,因此虚数z对应的点在以(0,0)为圆心、5 为半径的圆上，A正确，B错误，若品+？=六器十 m z (信i为实数.则品0.又y0且 25,小品0，解得m=5,因此C正确：由(1-2=(1 2i)·(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i及已知，得x+2y=y-2x,即y= =V10 2 s-V10 2 -3x,代入x2+y2=25,解得 或 故z= =3V10 2 =3y0 2 -03y⑩i或z=-Y0+3YDi,因此D错误.故选 2 2 2 2 101 N 高中数学必修第四册人教B版 AC. 10.ABD【解析】复数z=1+i,则=V2,A正确；= 1-i,B正确；z的虚部为1，C错误；z在复平面上对应点 的坐标为(1,1)，在第一象限，D正确. 11.BC【解析】z1与z2是共轭虚数，设z=a+bi,则z2= a-bi(a,b∈R),z=a2-b2+2abi,复数不能比较大小，A不 正确；22=kz=㎡+b2,B正确；z1+z2=2a∈R,C正确；= n斋+染不一定是实数，D不 atbi= 定正确」 121i【解标】2+产+1+i1i42=1+i 13.3【解析】a+bil=V㎡+b=V3,.(a+bi)(a-bi)= a2+b2=3. 14.22V2【解析】z=1+i=(1+i)=1+3i+3i+= 1+i -2+2i,.z的虚部为2，z=V(-2)+2=2V2. 15.解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，AC =AB+AD,于是Ad=AC-AB,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i, 即AD对应的复数是-2+2i. (2)由于DB=AB-AD,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即DB 对应的复数是5. (3)由于p=2-2aC=7,-2,m=2D丽 =3,0,于是m呢，而7，Pm=, .cs∠APB=子，因比eos∠AB=-7,放 2 sin∠AB=YT,故Sa=号网I网sin∠AB=方× 17 Y7x号xY=多即△A阳的面积为多 2 172 16.解：(1)设z=x+i,x∈R,y∈R,则由题意，可 得x=-cos20-sin0=-1,y=cos20-1,∴z=-1+(cos20-1)i. (2)由于复数：对应的点P在直线y=x上，故有 cos20-1=-分，c0s20=7,再结合0e(0,m）,可得20= 号或20=，0=晋或0语 6 6 17.解：设ω=z-3+4i,z=w+3-4i,z+1-i=w+4-5i.又 lz+1-i=1,.lo+4-5i=1,可知o对应的点的集合是以 (-4,5)为圆心、半径为1的圆，如图所示，∴olm=V4I 102 +1,lolm=V41-1. 0 第17题答图 1og2(x2-3x-3)0,① 18证明：假设复数z是纯虚数，则有 1og2(x-3)≠0，② 由①，得x2-3x-3=1,解得x=-1或x=4.当x=-1时， 1og2(x-3)无意义；当x=4时，1og2(x-3)=0,这与1og2(x-3) ≠0矛盾，故假设不成立，.复数z不可能是纯虚数 19.证明：设=x+yi,x,y∈R,且y≠0.由已知，得 +i4ii+-+产正+ x2+y2 士是实数，可=0.即山，且x41,小 上0--m0t-2=tiy0. 1+(x+i)(1+x+yi)(1+x-yi)1+2c+x2+y☑ -山，是纯虚数 一"第十一章章末测试卷 1.C【解析】平行于同一个平面的两条直线平行或相 交或异面，故A错误；当a∥a,b⊥a时，b与a平行或相 交或b在平面a上，故B错误；若a⊥a,a∥B,设过a的 平面y∩平面B=-b,则a∥b,即有b⊥，又由bCB,故a⊥ B,故C正确；根据线面垂直的判定定理，若aCa,bCa, 且anb≠0，lLa,lLb,则lL,故D错误.故选C 2A【解折】Sh:S号Y-Y, 4 5要，故选入 4 3.A【解析】如图，连接BD1,BD,:几何体ABCD- ABCD1是正方体，底面ABCD是正方形，AC⊥BD, AC⊥平面BDDB.BHC平面BDDB,AC⊥B,H. .BH⊥DO,AC∩DO=0,∴.BH⊥平面ADC. D B D A B 第3题答图