11.3.3 平面与平面平行-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.3.3 平面与平面平行 第1课时平面与平面平行的判定定理 同的直线，那么下列条件中能推出α与B平 基础练习 行的是() 一、选择题 A.a内有无数条直线与B平行 1.心，B是两个不重合的平面，l,m是 B.a∥a,a∥B 两条不同的直线，在下列条件下，可判定 C.直线ac,bCB,且a∥B,b∥a a∥B的是() D.内任何直线都与B平行 A.,B都平行于直线l,m 6.下列四个正方体中，A,B,C为所在 B.a内有三个不共线的点到B的距离 棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF 相等 的是( C.l,m是a内的两条直线且l∥B,m∥B D.l,m是两条异面直线且l∥，m∥ a,l∥B,m∥B 2.点P是平面外一点，过点P且平行 B 于平面的平面的个数为() A.0 B.1 7.(多选题)已知m,n是两条直线，a, C.2 D.无数 B是两个平面，则下列说法正确的是（) 3.平面x与平面B平行的一个充分条件 A.m,n相交且都在平面ax,B外，m∥ 是() a,m∥B,n∥a,n∥B,则ax∥B A.α上有两条直线与B平行 B.若m∥a,m∥B,则ax∥B B.α上有无数条直线与B平行 C.若m∥a,n∥B,m∥n,则ax∥B C.x上任一直线与B平行 D.若m∥n,nCa,则m∥a或mCa D.α上有一直线∥B,且B上有一直：二、填空题 线b∥ 8.在两平面平行的判定定理中，假设 4.已知三条互相平行的直线a,b,c ,B为两不同平面，1，m为两不同直线， 中，aC,bCB,cCB,则两个平面a,B若要得到a∥B,则需要在条件“l,mC, 的位置关系是() l∥B,m∥B”之外补充条件 A.平行 B.相交 9.六棱柱ABCDEF-AB,CDEF的底面 C.垂直 D.平行或相交 是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的 5.已知，B为不同的平面，a,b为不：有 对 练 59 N 高中数学必修第四册人教B版 10.如图，已知在三棱锥 13.如图，在正方体ABCD-AB,CD1中， PABC中，D,E,F分别是 P为DD的中点.能否同时过D,B两点作平 棱PA,PB,PC的中点，则 面，使平面x∥平面PAC?证明你的结论， 平面DEF与平面ABC的位置 关系是 第10题图 11.如图，在棱长为1 B 的正方体ABCD-ABCD1 中，P为正方形ABCD内 D 第13题图 (包括边界)的一动点， E E,F分别为棱AB,BC的 第11题图 中点，若直线DP与平面EFC1无公共点， 则线段DP的长度范围是 三、解答题 12.如图，在长方体ABCD-ABCD1中， E,F,G分别为所在棱的中点，H,Q分别 为AC,AD1的中点. (1)求证：平面EFG∥平面ACQ. (2)问在线段CD上是否存在一点P, 使得DQ∥平面DPH.若存在，求出P点的 位置；若不存在，请说明理由 第12题图 60)练 第十一章立体几何初步 15.如图，四边形ABCD与四边形ADEF 提升练习 均为平行四边形，M,N,G分别是AB, 14.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，AD,EF的中点.求证： 底面ABCD为平行四边形，点M,N,Q分 (1)BE∥平面DMF 别在PA,BD,PD上，且PM:MA=BN:ND= (2)平面BDE∥平面MNG. PQ:QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. M B4---- 第15题图 第14题图 练(61 高中数学必修第四册人教B版 第2课时 平面与平面平行的性质定理 6.如图是长方体被一平 基础练习 面所截得到的几何体，四边 一、选择题 形EFGH为截面，长方形 1.平面a∥平面B,直线1∥ax, 则：ABCD为底面，则四边形 EFGH的形状为() 第6题图 A.l∥B B.ICB A.梯形 C.l∥B或lCB D.1,B相交 B.平行四边形 2.点P是平面α外一点，过点P且平行 C.可能是梯形也可能是平行四边形 于平面的平面有() D.不确定 A.0个 B.1个 7.(多选题)下列命题中，正确的是 C.2个 D.无数个 ( 3.若平面a∥平面B,直线aCa,点 A.平行于同一直线的两个平面互相平行 B∈B,则在平面B内过点B的所有直线中 B.平行于同一平面的两个平面互相平行 ( ) C.若一条直线与两个平行平面中的一 A.不一定存在与a平行的直线 个相交，则这条直线与另一个平面也相交 B.只有两条与a平行的直线 D.夹在两平行平面间的平行线段相等 C.存在无数条与a平行的直线 二、填空题 D.存在唯一一条与a平行的直线 8.“平面∥平面B”是“平面内有 4.若两个平行平面与同一平面相交，则 无数条直线与平面B平行”的 条件 所得两条交线() 9.设平面ax与平面y相交于直线a,平 A.相交 B.平行 面B与平面y相交于直线b,则“a∥b”是 C.异面 D.垂直 “ax∥B”的 条件.（填“充 5.如图，已知平面α∥平面B,点P为平 分不必要”、“必要不充分”、“充要”或 面a,B外一点，直线PB,PD分别与，B相： “既不充分也不必要”) 交于A,B和C,D,则AC与BD的位置关 10.如图所示，在三 系为（) 棱锥PABC中，D,E,F A.平行 分别是PA,PB,PC的中 B.相交 点，M是棱AB上一点， C.异面 CM=4,连接MC,PM,N 第10题图 D.平行或异面 是PM与DE的交点，则FN= 第5题图 62)练 第十一章立体几何初步 11.在立体几何中，用 D ④当E∈AA1时，AE+BF是定值. A 一个平面去截一个几何体得 将正确的说法予以证明. 到的平面图形叫截面.如图 所示，在棱长为1的正方体 ABCD-ABCD1中，E,F分 第11题图 别是棱BB,BC1的中点，G是棱CC的中 点，则过AG且平行于平面AEF的截面的 第13题图 面积为 三、解答题 12.如图所示，在三棱柱ABC-ABC 中，M是AC,的中点，平面ABM∥平面 BCN,AC∩平面BCW=N.求证：N为AC的 中点 提升练习 14.(多选题)设a,b是两条不同的直 线，，B,y是三个不同的平面，则α∥B 的一个充分条件是() 第12题图 A.存在一条直线a,a∥a,aB B.存在一条直线a,aCx,a∥B C.存在一个平面y,满足a∥y,B∥y D.存在两条异面直线a,b,aCa,bC B,a∥B,b∥a 15.如图是一几何体 的平面展开图，其中四 边形ABCD为正方形， E,F,G,H分别为PA, 13.如图，在透明塑料制成的长方体 PD,P4C,PB的中点， ABCD-ABCD1容器内灌进一些水，将容器 在此几何体中，给出下 第15题图 底面一边BC固定于地面上，再将容器倾： 面五个结论： 斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平 ①水的部分始终呈棱台状； 面BDG;③EF∥平面PBC;④FH∥平面 ②水面四边形EFGH的面积为定值； BDG;⑤EF∥平面BDG. ③棱AD,始终与水面EFGH平行； 其中正确结论的序号是 练(63N 高中数学必修第四册人教B版 a丈a,b丈a,a∥a:过a作一平面B,B∩a=c,则a∥c, 又.a∥b,b∥c.又bta,cCa,b∥a.D正确.故 选D. 6.A【解析】由长方体的性质，知EF∥平面ABCD .EFC平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,.EF∥ GH.又EF∥AB,.GH∥AB. 7.ABC【解析】A选项，若直线I平行于平面α内的 无数条直线，则1可能含于α，A为假命题；B选项，若直 线a在平面u外，则可能a与ax相交，B为假命题：C选 项，若直线a∥b,直线b∥a,则a可能含于a,C为假命 题；D选项，由于直线b∥a,不妨设bCB,a∩B=c,则 b∥c,.a∥c,∴.a平行于平面a内的无数条直线，D为真 命题.故选ABC 8.相交、平行或异面【解析】a∥a,b∥a,∴.直线a 与b的位置关系为相交、平行或异面 9.平行 10.平行【解析】如图，根据正方体的性质，可知 AC1∥AC,AC1￠平面ABCD,ACC平面ABCD ,AC∥平面ABCD.,平面A1CB∩平面ABCD=l,A,C1C平 面ACB,l∥AC 第10题答图 11.2【解析】如图所示，连接AC交AE于点M,连 接DM,则平面ABCn平面ADE=DM,又AB∥平面 ADE,且ABC平面ABC,AB∥DM.又△AAM △C,E是楼0G的中点，小品得=弓，则 BD A,M2,BD=2DC,故A=2,故答案为2. CM 1 B B 第11题答图 第12题答图 12.解：如图，由题意，知MB∥平面AEF,过F,B, M作平面FBMN交AE于点N,连接MN,NF:BF∥平面 (86 N AACC,BFC平面FBMN,平面FBMN∩平面AACC=MN, .BF∥MN..:MB∥平面AEF,MBC平面FBMN,平面 FBMN∩平面AEF=FN,.∴.MB∥FN,.∴四边形BFNM是平行 四边形，∴MN=BF1.而EC∥FB,EC=2FB=2,∴MN∥EC, MN=EC=1,故MN是△ACE的中位线M是AC的中点 2 时，MB∥平面AEF 13.(1)证明：.AB∥CD,AB￠平面PCD,CDC平面 PCD,∴AB∥平面PCD.又.平面PAB∩平面PDC=l,且 ABC平面PAB,AB∥I. (2)解：存在点M,使得PA∥平面MBD,此时PM MC },证明如下：连接AC交BD于点O,连接M0.AB/ D,且cD-24B,2品2分又胱7，en4C C,PA∥MO.PA丈平面MBD,MOC平面MBD,PA∥ 平面MBD. B 第13题答图 第14题答图 4.弓【解析】连接AC交BE于点G,连接PG, .PA∥平面EBF,PAC平面PAC,平面PAC∩平面BEF= G,m∥PG,小E=瓷又AD/aC,E为AD的中 点，AC=AE-1.PF1 GC=BC2,F元=2 15.D【解析】如图，过线段AB A C 上任一点M作MH∥AA,交AB于 点H,过点H作HG∥AC交BC于点 G,过点G作CC的平行线，与CB 一定有交点N,且MN∥平面 ACCA1,则这样的MN有无数条.故 B 第15题答图 选D. 11.3.3平面与平面平行 第1课时平面与平面平行的判定定理 L.D【解析】对于A,当anB=a,l∥m∥a时，不能 推出a∥B:对于B,当a∩B=a,且在内，在交线a的一 侧有两点，另一侧有一个点，三点到B的距离相等时，不 能推出a∥B:对于C,当l与m平行时，不能推出a∥B: 对于D,l,m是两条异面直线，且l∥a,m∥a,l∥B, m∥B,可得出平面a内有两条相交线分别平行于，m,从 而这两条相交线分别平行于平面B,则∥B,故D项正确 故选D. 2.B【解析】假设过点P且平行于平面a的平面有两 个B,y,则由面面平行的性质知B∥y,又B,y都过P点 故B,y重合，过点P且平行于平面的平面只有一个 故选B. 3.C【解析】若平面α内有两条直线与平面B平行， 若这两条直线平行，则平面α与平面B可能平行或相交， 故A错误：若平面α内有无数条直线分别与平面B平行， 若这无数条直线互相平行，则平面α与平面B可能平行或 相交，故B错误；平面α上任一直线与平面B平行，则平 面α内一定有两相交直线与平面B平行，由面面平行的判 定定理可得平面与平面B平行，故C正确；上有一直 线a∥B,且B上有一直线b∥a,当a∥b时，平面a与平 面B可能平行或相交，故D错误.故选C 4.D【解析】如图，由题意，易得，B可能平行，也 可能相交，故选D 第4题答图 5.D【解析】α内有无数条直线与B平行，则a与B相 交或平行，故A错误；若a∥，a∥B,则a与B相交或平 行，故B错误；若直线aCa,bCB,且a∥B,b∥a,则c 与B相交或平行，故C错误；若：内任何直线都与B平 行，则与B平行，故D正确.故选D. 6.B【解析】在B中，如图所示， 连接MN,PVN,A,B,C为所在棱的中 点，∴AB∥MN,AC∥PN.又MN∥DE, PN∥EF,.AB∥DE,AC∥EF..AB￠平 面EFD,DEC平面EFD,AB∥平面 第6题答图 EFD,同理AC∥平面EFD.AB∩AC=A,.平面ABC∥平 面DEF故选B. 7.AD【解析】A项可得出平面a内有两条相交线分别 平行于m,n,从而这两条相交线分别平行于平面B,则：∥ B,故A正确.若a∩B-l,m是平面a,B外的直线，当m∥l 时，满足m∥a,m∥B,不满足a∥B,B,C不正确；当 m∥n时，na,mCa时，不能得出m∥a,故D正确. 8.1∩m≠☑【解析】，：一个平面内两条相交直线平行 于另一个面，则这两个面平行，∴.要证α∥B,需要，mC 参考答案。 a,l∥B,m∥B,以及lnm≠0，共五个条件，.需要在条 件“L,mC,l∥B,m∥B”之外补充条件是l∩m≠☑.故 答案为l∩m≠☑. 9.4【解析】由于六棱柱ABCDEF-A BC D E,F,的底面 是正六边形，上、下底面平行，侧面有3对相互平行的 面，故有4对. 10.平行【解析】如图，在△PAB中，D,E分别是 PA,PB的中点，DE∥AB.又DE4平面ABC,ABC平面 ABC,因此DE∥平面ABC.同理，可证EF∥平面ABC又 ·,DE∩EF-E,DE,EFC平面DEF,∴.平面DEF∥平面ABC. D B D主 E 第10题答图 第11题答图 山[32，空【等折】如图所示，取AD的中 4 点G,取CD的中点H,连接D,G,DH,GH,AC,由三 角形的中位线的性质，可得EF∥AC,GH∥AC,则GH∥ EF.又由EFC平面C,EF,GH￠平面CEF,可得GH∥平面 CEF,连接GF,可得GF∥CD1且GF=CD1,则四边形 GFC,D,为平行四边形，可得GD,∥C,FCFC平面C,EF, DGt平面CEF,D,G∥平面CEF又DG∩GH=G, DG,GHC平面DGH,∴.平面D,GH∥平面CEF.由直 线D,P与平面EFC,无公共点，.点P在线段GH上， 当P为GH的中点时，DP取得最小值，最小值为 Vm0P-V-3Y2,当点P与点G或H 重合时，DP取得最大值，最大值为V2-Y, 线段DP的取值范国是3Y2,罗 2 12.(1)证明：如图，连接AC1,AC,由E,F,G分 别为所在棱的中点，AC∥GF,EF∥BC.由AD∥BC, AD∥EF又ADC平面ACQ,EF4平面ACQ,.EF∥平 D M 第12题答图 87 N 高中数学必修第四册人教B版 面ACQ.又AC,∥AC,GF∥AC.又ACC平面ACQ, GFt平面ACQ,.GF∥平面ACQ.又.GF∩EF=F,.平面 EFG∥平面ACQ. (2)解：线段CD上存在一点P,当DP}DC时，满 足DQ∥平面D,PH. 证明如下：连接PH并延长交AB于点M,连接DM, 则平面DPH与平面DPM为同一平面.由H为AC的中点， 则△AMH与△CPH全等.则AM=子AB=子CD.取线段D,M 的中点N,连接QN.由Q,N分别为AD1,DM的中点， ,ON=2AM=SAB=3DC且QN∥AM又：DP∥AM且 DP=DC,即QN∥DP且QN=DP,四边形QDPW为平 行四边形，故OD∥NP.又OD￠平面DPH,NPC平面 DPH,.DQ∥平面DPH. 13.解：能作出满足条件的平面α，其作法如下： 如图，连接BD1,取AA,的中点 D M,连接DM,则BD,与DM所确定 4 的平面即为满足条件的平面α 证明：连接BD交AC于点O, 连接PO,则O为BD的中点.又P为 A B DD1的中点，则PO∥DB.BD1丈平 第13题答图 面PAC,OPC平面PAC,.DB∥平面PAC.又M为AA1的 中点，DM∥PA.又DM￠平面PAC,PAC平面PAC,从 而DM∥平面PAC.又DM∩DB=D1,DMCa,DBCa, 平面∥平面PAC 14.证明：.PM:MA=BN:ND=PQ:QD,.MQ∥AD, NQ∥BP,而BPC平面PBC,NQ￠平面PBC,∴.NQ∥平面 PBC.又四边形ABCD为平行四边形，BC∥AD, ∴MQ∥BC,而BCC平面PBC,MQ￠平面PBC,∴MQ∥平 面PBC.又MO nNQ=Q,MQ,NQC平面MNQ,∴.平面 MNQ∥平面PBC. 15.证明：(1)如图，连接AE,则AE必过DF与 GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线， .BE∥MO.又：BEt平面DMF,MOC平面DMF,.BE∥平 面DMF 第15题答图 (88 (2)N,G分别为边AD,EF的中点，DE∥GN.又 .DE￠平面MNG,GNC平面MNG,.DE∥平面MNG.又 .M为AB的中点，MN为△ABD的中位线，.BD∥MN. 又MNC平面MNG,BD4平面MNG,.BD∥平面MNG. 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D,.平面BDE∥平面 MNG. 第2课时平面与平面平行的性质定理 1.C【解析】平面∥平面B,直线1∥a,直线 可能和平面B平行，也可能在平面B内.故选C 2.B【解析】假设过点P且平行于平面α的平面有两 个B,Y,则由面面平行的性质知B∥y,又B,y都过P 点，故B,y重合，过点P且平行于平面α的平面只有一 个.故选B. 3.D【解析】直线a与点B可确定一个平面，该平 面与平面B的交线即为在平面B内过点B,且与直线a平 行的直线，所以只有唯一一条.故选D. 4.B【解析】根据平面与平面平行的性质，可得两个 平行平面与同一平面相交，则所得两条交线平行.故选B. 5.A【解析】由题意，知P,A,B,C,D在同一平面 内，且平面PBD∩平面=AC,平面PBD∩平面B=BD,,: 平面x∥平面B,∴.AC∥BD.故选A. 6.B【解析】由长方体的性质，各对面平行，易知 HG∥EF,EH∥FG,.四边形EFGH为平行四边形.故选B. 7.BCD【解析】平行于同一直线的两平面可能平行， 也可能相交，A不正确；由面面平行的性质及平行线的性 质可知B,C,D正确 8.充分不必要【解析】根据面面平行的性质定理，两 平面平行，一个平面内的任意直线与另一个平面平行.反 之，两平面平行的判定定理为“一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行，则两平面平行”.故“平面∥平面 B”是“平面《内有无数条直线与平面B平行”的充分不必 要条件. 9.必要不充分【解析】平面α与平面y相交于直线 a,平面B与平面y相交于直线b,若a∥b,则a∥B或a 与B相交，即由“a∥b”不能推出“α∥B”;若aB,根 据面面平行的性质，即可得出a∥b,即由“α∥B”能推出 “a∥b”.故答案为必要不充分 10.2【解析】如图，D,E 分别是PA,PB的中点，DE∥ AB.又DE丈平面ABC,ABC平 面ABC,.DE∥平面ABC.同理 DF∥平面ABC.又DE∩DF=D, DE,DFC平面DEF,∴.平面 第10题答图 DEF∥平面ABC.又.·平面PCM∩平面DEF=FV,平面 PCM∩平面ABC=CM,∴.FN∥CM.又.CM=4,.FN:CM=1: 2.又.CM=4,∴.FN=2. 山，8【解析】取棱BC的中点 D A M,连接AD,D,G,GM,MA,根据 题意，结合线面、面面平行的性质， ) 得到满足条件的截面为等腰梯形 A---- ADGM.由正方体的棱长为1，可求 第11题答图 得孩梯形的上底为V2,下底为V?,离为3Y2,利 4 用梯形的面积公式，可求得栽面面积S)×2+V2x 2 3V2=9 48 12.证明：，·平面ABM∥平面BCN,平面ACCA,∩平 面ABM=AM,平面BCNn平面ACCA=CN,∴.CN∥AM. 又：AC∥AC,四边形ANCM为平行四边形，AN= C1=2A,G3AC,W为AC的中点。 13.解：①错误，由面面平行的性质定理，知当BC固 定时，在倾斜的过程中，AD∥FG∥EH∥BC且平面 AEFB∥平面DHGC,.水的部分应呈棱柱状.②错误，在 容器倾斜的过程中，平面四边形EFGH的面积改变.③正 确，AD1∥AD∥CB∥EH,AD,丈平面EFGH,EHC平面 EFGH,AD,∥平面EGH.④正确，水量是定值，且高 不变，底面ABFE的面积不变，当E∈AA1时，AE+BF 是定值.综上正确的有③④ 14.CD【解析】对于选项A,若存在一条直线a,a∥ a,a∥B,则a∥B或a与B相交，故选项A不是a∥B的 充分条件；对于选项B,若存在一条直线a,aC,a∥B, 则α∥B或a与B相交，故选项B不是α∥B的充分条件； 对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的， 故选项C是α∥B的一个充分条件；对于选项D,可以通 过平移把两条异面直线平移到其中一个平面内，成为相交 直线，则有∥B,∴.选项D是∥B的一个充分条件.故选 CD. 15.①②③④【解析】先把平面展开图还原为一个四棱 锥，再根据直线与平面、平面与平面平行的判定定理判断 即可. "阶段性练习卷（七） 1.B【解析】在三棱柱ABC-A,BC,中，平面AB,C1∥平 面ABC,而平面ABED∩平面ABC=DE,平面ABED∩平面 参考答案。 AB,C=AB1,则DE∥AB,在平行四边形ABBA,中，AB∥ AB,DE∥AB.故选B. 2.D【解析】对于A,当直线a与平面ax相交于点P 时，除了点P外，直线上的无数个点都不在平面α内，A 错误； 对于B,当直线a∥平面a时，直线a与平面ax内直线 平行或异面，B错误； 对于C,当直线a∥直线b,直线b∥平面a,则直线 a∥平面a,或直线a在平面x内，∴.C错误； 对于D,当直线a∥平面a时，则直线a与平面无 公共点，∴.直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共 点，D正确.故选D. 3.B【解析】如果三条直线交于一点，则此时三条直 线不一定在同一平面内，故A错误；若四点不共面，则一 定不存在三点共线，若有三点共线，则第四点与此直线确 定一个平面，这样就会出现四点共面，与已知条件不符合， 故B正确；空间中四边相等的四边形可能是空间四边形， 故C错误；空间四边形中也存在三个角是直角的情况，故 D错误.故选B. 4.B【解析】在正方体ABCD-ABCD,中，平面 ABCD∥平面ABCD,且平面BDPn平面AB,C,D=B,D1, 平面B,DPn平面ABCD=l,l∥B,D. 5.C【解析】MN和AP是异面直线，故A中结论不正 确；MN和BD是异面直线，故B中结论不正确；连接 AC,与BD交于点O,连接OD1,ON,正方体ABCD ABCD,中，M,N分别是CD1,BC的中点，.ON∥CD∥ DM,ON=)CD=D,M,四边形MNOD,为平行四边形， MN∥OD.MN￠平面BBD,D,OD,C平面BB,DD, ∴MN∥平面BB,D,D,故C中结论正确；由选项C知MN∥ 平面BBDD,而平面BBDD和平面BDP相交，故D中结 论不正确.故选C. 6.A【解析】连接AC1,设平面ABC∩平面ABCD= m.EF∥平面AB,C,EFC平面AB,C,D1,平面AB,Cn平 面ABCD=m,,∴.EF∥m.又，平面AB,CD1∥平面ABCD, 平面ABC∩平面ABC,D1=m,平面AB,C∩平面ABCD= AC,m∥AC,∴EF∥AC.又AC1∥AC,∴.EF∥AC.E 为AD,的中点，EF)AG=V2. 7.AC【解析】空间中不共线的三点确定一个平面，故 A正确；若两个平面平行，则这两个平面没有公共点， 其中一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共 点，即直线平行于另一个平面，C正确.故选AC. 8.BD【解析】连接AC,BD.①当点P在BA的延长 89