11.3.1 平行直线与异面直线-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.3空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 5.在正方体ABCD-ABC,D1中，则异面 基础练习 直线AB1与CD1所成的角为() 一、选择题 A.π 6 B. 1.若空间中有两条直线，则“这两条直 线为异面直线”是“这两条直线没有公共 c骨 D牙 点”的() 6.已知空间中三条直线1，m,n,若l A.充分非必要条件 与m异面，且l与n异面，则() B.必要非充分条件 A.m与n异面 C充要条件 B.m与n相交 D.既非充分又非必要条件 C.m与n平行 2.正方体ABCD-ABCD1中，P,Q分 D.m与n异面、相交、平行均有可能 别为AA1,CC1的中点，则四边形DPBO是： 7.以下选项中，点P,Q,R,S分别在 正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则 A.正方形 B.菱形 直线PQ与RS是异面直线的是() C矩形 D.空间四边形 3.若∠AOB=∠A1OB1且OA∥OA1,OA 与O4,的方向相同，则下列结论中正确的 是() D A.OB∥OB1且方向相同 B.OB∥OB 8.(多选题)下列四个命题中正确的是 C.OB与OB1不平行 D.OB与OB1不一定平行 A.若两条直线互相平行，则这两条直 4.若AB.CD=0,则直线AB与CD的位 线确定一个平面 置关系是( B.若两条直线相交，则这两条直线确定 A.平行 B.相交 一个平面 C.异面 D.相交或异面 C.若四点不共面，则这四点中任意三点 都不共线 D.若两条直线没有公共点，则这两条 53 N 高中数学必修第四册人教B版 直线是异面直线 二、填空题 提升练习 9.已知角α和角B的两边分别平行且一 14.如图所示，已知 组边方向相同，另一组边的方向相反，若 E,F,G,H分别是正方体 a=45°，则B ABCD-ABCD1的棱AA1, 10.正方体ABCD-ABCD1中，E,F分 AB,BC,CD1的中点，则 B 别是线段CD,BC的中点，则直线AB与直 () 第14题图 线EF的位置关系是 A.GH=2EF,且直线EF,GH是相交直线 11.下面各图中，直线a,b平行的是 B.GH=2EF,且直线EF,GH是异面直线 (填序号) C.GH≠2EF,且直线EF,GH是相交 直线 D.GH≠2EF,且直线EF,GH是异面 直线 ② 15.如图，直四棱柱 第11题图 ABCD-ABCD1的底面是 A 12.在正方体ABCD-ABCD1中，E为 菱形，菱形的对角线 D AB的中点，则异面直线EB1与AD1所成角： AC=4,BD=2,棱柱的高 的余弦值为 为2，则异面直线AD与 第15题图 三、解答题 BD,所成角的余弦值为 13.如图，E,F分别是长方体ABCD1 ABCD的棱AA,C,C的中点.求证：四边形 BEDF是平行四边形 D 第13题图 54)练E,F四点共面（设为a). (2)解：AA1∥CC,A1, A,C,C1四点共面（设为B).设 平面BDEF为a,P∈BD,而BDC a,故P∈ax.又P∈AC,而ACCB, P∈B,.Pea∩B.同理，可证得 第13题答图 Q∈∩B,从而有∩B=PQ.又 ACCB,.AC与平面a的交点就是AC与PQ的交点.连 接AC,则AC与PQ的交点就是所求的交点. (3)证明：由(2)可知，PO=平面BDEF∩平面 AACC1,R∈A1C,而ACC平面AACC1,故R∈平面A4ACC 同理R∈平面BDEF,故R∈PQ,即P,Q,R三点共线. 14.BCD【解析】若三个平面交于一条直线，则可将空 间分为6个部分：若三个平面两两相交且三条交线平行， 则可将空间分为7个部分；若三个平面两两相交且三条交 线交于一点，则可将空间分为8个部分；n的取值为 6,7,8,故选BCD. 15.D【解析】在A选项图中 分别连接PS,QR,则PS∥QR,∴.P, S,R,Q共面.在B选项图中，过P, Q,R,S可作一个正六边形，如图， 故P,Q,R,S四点共面.在C选项 Q.- 图中，易知P,Q,R,S共面.在D 第15题答图 选项图中，连接PS,RQ,易知PS与RQ为异面直线，.P, Q,R,S四点不共面.故选D "11.3空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 1.A【解析】空间中有两条直线，若“这两条直线为 异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若“这两条直 线没有公共点”，则“这两条直线可能平行，可能为异面直 线”..“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公 共点”的充分非必要条件.故选A. 2.B【解析】设正方体棱长为2，直接计算可知四边形 D,PBQ各边均为V5,又：四边形D,PBQ是平行四边形， ·.四边形DPBO是菱形 3.D【解析】如图1、图2所示，OB与OB1不一定 平行. 0、 图2 第3题答图 参考答案。 4.D【解析】：AB.CD=0,.直线AB与CD垂直， .AB与CD相交或异面.故选D. 5.B【解析】在正方体ABCD ABCD中，AB:∥CD1,因此 A ∠CDC1是异面直线AB,与CD1所 成的角或其补角，在等腰Rt△CDC 中，∠CDC牙异面直线AB, 与CD,所成的角为T.故选B 第4题答图 4 6.D【解析】空间中三条直线，m,n.若l与m异面， 且l与n异面，则m与n可能平行，如图1，也可能相交， 如图2，也可能异面，如图3，故选D 图1 图2 图3 第6题答图 7.C【解析】A中PQ∥RS,B中PQ∥RS,D中PQ与 RS相交，故选C. 8.ABC【解析】经过两条平行直线有且只有一个平面， 选项A正确；经过两条相交直线有且只有一个平面，选项 B正确；空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则 直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，选项 C正确：若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定 是异面直线，选项D错误.故选ABC, 9.135°【解析】由等角定理，可知B=135° 10.相交【解析】直线AB与直线外一点E确定的平 面为ABCD,EFC平面ABCD,且两直线不平行，故两 直线相交 11.④【解析】由题图，知①②③中a,b是异面直线， ④中a,b平行. 12.D【解析】如图，取CD,的中点F,连接ER, 5 FB,则AE∥FD1且AE=FD,∴.四边形AEFD为平行四边 形，则AD∥EF,故∠FEB,(或其补角)为异面直线AD 与EB所成的角。 D E B 第12题答图 83 N 高中数学必修第四册人教B版 设正方体的棱长为2，在△EFB1中，EF=AD=2V√2， EB1=V5,FB1=V5,由余弦定理，得cOs∠FEB1= EF4BE-BFP=8+5-5=V0,故答案为Y 2EF.EB,2x2V2×V5 5 5 13.证明：设Q是DD的中点，如图，连接EQ,QC, :E是AA1的中点，EQLA D.又在矩形AB,CD中，AD LBC,EQ上BC,.四边形EQCB为平行四边形， ∴.BECQ.又Q,F是矩形DDCC两边的中点，QD CF,.四边形DOCF为平行四边形，.CQDF又.BE CO,.BEDF,.四边形BEDF为平行四边形 D D 第13题答图 14.C【解析】连接A1B,CH.设正方体的棱长为2，则 EF=2A,B=V2,GH=VGC+Cf=V6,GH≠2EF.设 M,N分别为CC1和AD的中点，连接MH,HN,NE FG,GM,则六边形EFGMHN是过E,F,G,H四点的平 面截正方体的截面，.EF与GH是共面直线，且EF与GH 不平行，∴.EF与GH是相交直线，故选C 15.Y0【解析】连接CD,由AD∥BC,则异面直 10 线AD与BD,所成角等于直线BC与BD1所成角，由AC=4, B0-2,底面为菱形，则cD=BC-V+四T=V5, 又该棱柱为直四棱柱，则有CD1=VCD+DD=3,BD1= VBD+DD=-2V2,则cos∠D,BC=BC+BD-CD=4 2BC·BD14V10 YD,即异面直线AD与BD,所成角的余弦值为YD 10 10 A 、B B 第15题答图 11.3.2直线与平面平行 第1课时直线与平面平行的判定定理 1.C【解析】直线m与平面α内的所有直线平行不可 能，故A错误；当直线m在平面α内时，满足直线m与 平面a内的无数条直线平行，但m与a不平行，故B错 84 误；直线m与平面α没有公共点，能推出m与a平行，故 C正确；当直线m在平面内时，m与a不平行.故选C 2.C【解析】直线与平面平行的充要条件是这条直线 与平面内的任意一条直线都没交点，即都不相交.故选C 3.A【解析】在a上任取一点A,则过A与b平行的 直线有且只有一条，设为b.又：anb'=A,a与b'确定一 个平面a,即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的. 4.D【解析】AB,∥CD,AB=CD,.四边形 ABCD为平行四边形，AD∥B1C.又BCC平面AB1C, AD平面ABC,AD∥平面AB1C. 5.C【解析】根据线面平行的判定定理和线面平行的 性质即可判断.对于A,若a∥b,b∥a,则a∥a或aCa, 故A错误；对于B,若a∥b,bCa,则a∥a或aCa,故 B错误；对于C,若a∥b,bCa,a￠，则a∥a,故C正 确；对于D,若aa,ba,则a∥b,a与b相交，或a 与b异面，故D错误. 6.BC【解析】A中，如图，由中位线定理MQ∥CD, 而CD∥AB,从而MQ∥AB,ABt平面MNQ,有线面平 行；B中，如图，BC∩MN=O,在平面ABC上，OQ与AB 显然相交，因此AB与平面MNQ相交，不平行.C中，如 图，C是所在棱中点，则CQ∥MN,即CQC平面MNQ,而 在底面ABQ上，直线CQ与直线AB相交，AB与平面MNQ 相交，不平行.D中，如图，由中位线定理，得MW∥CD, 而CD∥AB,从而MN∥AB,AB丈平面MNQ,有线面平行. 第6题答图 7.D【解析】连接AB,交AB 于点O,过O作OP∥AC1交BC1于 点P,则O是AB1的中点，如右图 示，OPC面APB,ACt面APB AC1∥面APB,即P为所求的点 又在△4aG巾，胎密宁 第7题答图