10.3 复数的三角形式及其运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 2.D【解析】z=2+i,z=2-i,z=(2+i)(2-i)=5. 3.B【解折】(}1，@=-1+1-1+1-1-1 4.A【解析】lAB1=I2i-11=V5,IAC=4+2il=V20 IBC1=5,.IBC=ABIP+AC2,∴.△ABC为直角三角形， 第4题答图 5【懈折剂方号-号+ i(1+2i) 5 V会 6.C【解析】由z-2+il=1,得z-(2-i)=1,则z的几何 意义是以C(2,-1)为圆心、半径为1的圆，的儿何意 义是圆上的点到原点的距离，则最大值为OC+1= V22+(-1+1=V5+1. 7.AB【解析】由题意，可得z=2+2i-3i-3i=5-i,z的 实部与虚部之和为5-1=4，故A正确；z=5+i,故B正确； z2=(5-i)2=24-10i,z2不是纯虚数，故C错误；=V5+1平= V26,故D错误.故选AB. 8.ACD【解析】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈ R),zz=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i, ..2IV(ac-bd)2+(bc+ad)21=V(a+b2)(c2+d) 又z,lz,=V+b.Vc2+证=V(r+b)(c2+dP, .zz2=zlz,故A正确； 设z=1+i,z=V2i,满足lz=lz, 此时a1≠z2且z+22≠0，故B错误： z=a+bi,z=c+di (a,b,c,deR), z=a-bi,z2=c-di,z=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i, zz2=(ac-bd)-(ad+bc)i, zz2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i, 222=a2,故C正确； 若z12=0,则z=0或z=0,故D正确.故选ACD, 9.5-9i-8-7i【解析】z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]- 5x-3y=13, [(4y-2x)-(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,∴. x+4y=-2, 解得2， ∴21=5-9i,z2=-8-7i. y=-1, 68 10.四【解析】(1+i)1o6=(1+i)2)=(2i)0=201-2, 设z=a+bi,则a>0,b<0,z(1+i)1o6=25a+20bi,250a> 0,20b<0,故复数z(1+i)16对应的点在第四象限. 11.2V2+1【解析】如图所示，=1，z的轨迹可 看作是半径为1、圆心为原点的圆，而1对应坐标系中的 点为(2，-2)，z-z的最大值可以看成点(2，-2)到圆 上的点的最大距离，则z-z的最大值为2V2+1. (2,-2) 第11题答图 12.b=-0或+62=1【解析】=1+abi atbi atbi atbi =1+d+2bi-D(1+r-6)+2abi =(a+bi)(1+a2-b2)-2abi (1+a2-b22-4a267 =a(1+2-b)+b(1+a2-b2)i-2abi+2ab2 (1+2-b2)2-4ab2 =a(1+2-b2)+2ab2+(b+a2b-b3-2ab)i (1+a2-b2)24a2b2 =a(1+a2-b2)+2ab2+b(1-b2-a2)i (1+a2-b2)2-4a2b2 “∈R,故有b(1-b-)=-0.b=0或1-6--0， 即b=0或2+b2=1是a,b应满足的条件. 13.解：(1)a=-2,则z1=3+6i,则k1=V32+6=V45= 3V5,z1的模为3V5 (2)z1+z2=a+5+(a2-10)i+1-2a+(2a-5)i =(6-a)+[(a2-10)+(2a-5)]i =(6-a)+(a2+2a-15)i. 21+z2是实数，∵2+2a-15=0,解得a=-5或a=3,故 a=-5或a=3. 14.解：AC=BC-B,AC对应的复数为(3-i)-(1+2i) =2-3i.设C(x,y),则(x+yi)-(2+i)=2-3i,x+yi=(2+i)+(2- 3i)=4-2i,故4,1=-2.点C在复平面内的坐标为(4，-2). "10.3复数的三角形式及其运算 1.A【解析】=-3-V3i-2V3-V3-Li 22 =2V3cos7石+isin7石)，辐角的主值为7石 6 故选A 2.D【解析】=V3sin+icos) =V了xY+VxVi故选D 3.B【解折11+V3-2宁+2cos号+n写》 4.A【解析】由已知，可得：2c0s+isn)=-1+ V3i.情=+y31-+5ii=V万 12 5.D【解析】z2=2V2(sin30°-icos30°)=2V2· (cos300°+isin300°)，zz2=V2(cos60°+isin60°).2V2· (cos300°+isin300°)=4(cos360°+isin360°)=4(cos0°+isin0°). 6.B【解桥】，3(cos270+isin270) 号os(-90)Hin(-0万 =9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)] =9(cos360°+isin360°)=9. 7.AC【解析】7=V+平=V2,co0=V2,sin0= 2 Y受，辐角主值为牙，1+i=V2os牙+isin牙) 2 V2eos9平+isin9F: 8.-1+i【解析】复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向 旋转受，所得到的向量对应的复数是(1+i(cos2+isin受)= (1+i)i=-1+i.故答案为-1+i. 9.2红【解析】由辐角主值的概念，知cos2π+isin2如 5 5 5 的辐角主值为2π 5 10.-3-3i【解析】原式= 3vzos(受+g+isim(设+g月 -3V2os平+isn） =3v23-3i 1.之+Vi【解折】由题意，得ac(cos5in号月 2 cos号+n号-3+i 12.解：4=1+2y31=(1+2V3i)(7-V31) z27+V3i(7+V3i)(7-V3i) =4(1+V3i)=3cos号+isin号)， 参考答案。 2z02-号且}△02以为直角三角影 13.解：由题意，可设z1=cosa+isina,z2=cos3+isinB.. z1+22= 由①2+②2，得 2 m5i4-9g cos()coscoinasin- 由0，得2cos9co09-号，国 由2，得2sin“g9cos9=y5,⑤ 2 2 ⑤：④，得am29=V3,cosa+8)=,即 2 cosccos-sinasinB-- ③-⑥，得2 sinosinB-=0,.sina=0或sinB=0.将sina=0 代人②，得sing=V.又mu=0,则cou=1.将coa 1代①，得co-分，而c0w=-1代入①，得cof=-号 不符合，舍去.得1，之+Yi,当sm8-0.同理 可得子+i, 2 14.D【解析】复数2+i和-3-i的辐角主值分别是a, B.aa-分，ams=号ma8)=器- 15.D【解析】-icos受+isin受，-i的立方根为 +2km3+2km Cos-2 —+isin2 3—(其中，-0,1,2).当k0 时，得cos受+isin受=i.当k=1时，得cos7石+isin7石- 6 -号i当=2时，得cosg+ng=- 16.A【解析】由复数乘法的几何意义，得 alos牙+sn子)-cos+isn 又=1-V3i-2cos+isin4智】 3 coisin )co iin) cos tisin 4 =2cos3m-平+isn3m-平}-V2+V2i, 21的辐角主值为3π 4 69N高申数学必修第四册人教B版 10.3复数的三 基础练习 一、选择题 1.复数z=-3-V3i的辐角的主值为 A.7 B.-5m 6 C.4m D.T 3 6 2.复数=V3sin2+icos2π化为代 3 3 数形式为() A3+3i B.-3+V3i 2 2 2 C.-3-V3i D.3-V3 22 3.复数1+V3i改写成三角形式，正确 的是() A.2cos2+isin2 3 B.2 cos +isin 3 C.2coisin 3 D.2 cos 1+isinπ 6 6 4若复数：的模为2，其辐角为，则 =() A.V3+i B.V3-i C.1-V3i D.1+V3i 5.已知i为虚数单位，1=V2(cos60°+ (30)练 角形式及其运算 isin60°)，z2=2V2(sin30°-icos30°)，则 322=（） A.4(cos90°+isin90°) B.4(c0s30°+isin30°) C.4(cos30°-isin30) D.4(cos0°+isin0°) 6.计算， 3(cos270°+isin270°)—的结 [cos(-F)+isim(-)] 果是() A.-9 B.9 C.-1 D.1 7.(多选题)下列表示复数1+i的三角 形式中正确的有() A.V2 cos T +isin 4 B.V2cos-平+ism开 4 C.V2 cos tisin 9π 4 4 D.V2cos牙+isin3π 4 二、填空题 8.把复数1+i对应的向量绕原点按逆时 针方向旋转T，所得到的向量对应的复数是 9.复数的三角形式cos2π+isin2π的辐 5 角主值为 10.V3 cos5T tisin5T 12 n12xV6cos5T+ 6 isin 5T (用代数形式表示)》 6 l1.复数z=cos石+isinπ是方程x5-a=0 15 的一个根，那么α的值等于 三、解答题 12.如图，若0Z1与0Z2分别表示复数 a1=1+2V3i,32=7+V3i,求∠Z0Z,并判 断△OZ,Z2的形状. 第12题图 13.已知复数z1,2满足l21=z2=1,且 t}+i,求，的值 2 第十章复数。 提升练习 14.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是 a,B,则tan(a+B)等于(） A.V3 B.-V3 3 C.-1 D.1 15.复数-i的一个立方根是i,它的另外 两个立方根是() A.V3±1i 2 -2 B.+ 2 c.±+ 2 D 16.把复数1与2对应的向量OA,0B 分别按逆时针方向旋转T和5π后，重合于 3 向量0M且模相等，已知z2=-1-V3i,则复 数1的代数式和它的辐角主值分别是() A.-V2+Vi. B.-V2-V2i, C.-V2+V2i,4 D.-V2-V2i,平 练(31