10.1.1 复数的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

第十章复数。 N 第十章复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 6.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i= 基础练习 0(m∈R)有实根n,且=m+i,则复数z= 一、选择题 1.复数z=-1-3i,则z的虚部为( A.3+i B.3-i A.3i B.-3i C.-3-i D.-3+i C.3 D.-3 二、填空题 2.复数z=a2-a-2+i(aeR)为纯虚数的 7.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,32=2a+(a2+ 充分不必要条件是() a)i,其中a∈R.若z1>z2,则a的取值集合为 A.=0 B.a=-1 C.a=-1或a=2 D.a=1或a=-2 8.已知(x+y-3)+(x-2)i=0(x∈R,y∈ 3.若复数(m2-2m)+mi是纯虚数，则实 :R),则y= 数m的值为() 9.已知复数z=m+(m-2)i,当实数m满 A.0 B.2 足 时，复数z是实数；当实数m C.3 D.0或2 满足 时，复数z是纯虚数 4.给出下列命题： 10.以3i-V2的虚部为实部，以3+ ①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数； V2i的实部为虚部的复数是 ②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i; 三、解答题 ③若a,beC,则复数a+bi的实部为 11.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m- a,虚部为b; i)=0有实根，求实数m的值 ④i的平方等于-1. 其中正确命题的序号是() A.① B.②C.③ D.④ 5.若复数z满足名=6i+22,则z的虚部 是() A.-2i B.6i C.1 D.6 练(19 N 高中数学必修第四册人教B版 12.已知复数1=t+(2-1)i,2=sin0+ 提升练习 (2cos0+1)i,其中t∈R,0∈[0，π]， (1)若名1,32∈R且z>z2,求t的值. 13.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,32=4m+2+ (2)若z=z2,求0. (m2-5m+4)i,若z<32,求实数m的取值范围. 14.若x2+x+3m-(2x+1)i>0,求实数m的 取值范围. 20)练N 高中数学必修第四册人教B版 1x3Y-94g3.从而4C=V9+YBkm 12 6 6 14.C【解析】在△ADC中，∠ACD=45°，∠ADC 67.5°，DC=2V3,.∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°，AC= DC=2V3.在△BCE中，∠BCE=75°，∠BEC=60°，CE= V2,÷∠EBC=-180°-75°-60°=45°，·sm2EBC= EC sin ZBECBC=EC-sinL BEC V2xV3 BC 2 =V3.在 sin∠EBC 2 △ABC中，AC=2V3,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°， 第十章 >"10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 1.D【解析】.z=-1-3i,z的虚部为-3.故选D. 2.B【解析】复数z=d2-a-2+i为纯虚数，等价于d2-a 2=0,即a=-1或a=2,由选项知，只有a=-1是复数z为纯 虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合.故选B. m2-2m=0, 3.B【解析】.复数(m2-2m)mi是纯虚数，.∴. m≠0， 解得m=2.故选B 4.D【解析】对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠ 0时为纯虚数. 在①中，若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当a,beR时，复数a+bi的实部才为a, 虚部为b,③错误； 在④中，i的平方等于-1，④正确.故选D. 5.D【解析】z=6i+2i=-2+6i,则z的虚部为6，故选D. 6.B【解析】由题意，知n+(m+2i)n+2+2i=0,即n2+ n2+mn+2=0, mn+2+(2n+2)i-0,. 解得3， .z=3-i. 2n+2=0, ln=-1, 2ad2+3a=0, 7.0)【解析】z>z2,d2+a=0,.a=0,所求a的 -4a+1>2a, 取值集合为{O. 8.1【解析】由(x+y-3)+(x-2)i=0, 得/+-3=0， 解得2， 故答案为1. x-2=0, y=1. 64 则AB2=ACP+BC2-2AC·BCcos∠ACB=9,则AB=3.故选C. 15.60°20V3【解析】如 北 图，OB表示风的矢量速度，O心 表示救生艇的矢量速度，O表示 水的矢量速度，易知∠AOB=60°， 则∠OBC=120°.由余弦定理，知 第15题答图 0C=20+202-800cos120°=1200，故0C=20V3km,即救 生艇在洪水中漂行的速度的大小为20V/3k/h,方向为北 偏东60°. 复 数 9.m=2m=0【解析】复数z=m+(m-2)i,.当m-2-0, 即m=2时，复数为实数；当m-2≠0，且m=0时，即m=0 时，复数为纯虚数。 10.3-3i【解析】3i-V2的虚部为3,3i+V2i=-3+ V2i的实部为-3，.所求的复数是3-3i. 11.解：设x=a为方程的一个实数根，则有2+(1-2i)a+ (3m-i)-0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0..a,m∈R,由复数相 1 1a+a+3m=0, m212' 等的充要条件，得 解得{ 故实数m的 2a+1=0, 1 =-2 值为分 -1=0, 12.解：(1)z1,z2∈R, 解得t=±1， 2cos0+1=0, cos0--2=sin0-Vi-cos0-V3 , 当=-1时，z<z2,不符合条件； 当=1时，满足z>2.综上所述，t=1. (2)若z,则sin0, lt2-1=2cos0+1, .'.sin20-1=2cos0+1,-cos20=2cos0+1, .cos20+2cos0+1=0,即(cos0+1)2-0, 解得cos0=-1.又6∈[0，π]，.8=π. 13.解：由于z<2,m∈R,.z1∈R且z2eR,当z1eR 时，m2+m-2=0,m=1或m=-2.当z2∈R时，m2-5m+4=0, m=1或m=4,.当m=1时，z1=2,z2=6,满足z1<红2.∴z1<32 时，实数m的取值为m=1. 14.解：由题意，知+3m-(2x+1b0,故2+1D, x2+x+3m>0, 解得 实数m的取值范围为心2 10.1.2复数的几何意义 1.B【解析】由题意，得z在复平面内对应的点为(-3， 4),则其位于第二象限.故选B. x+y=3, 2.A【解析】x+y+(x-y)i=3-i, 解得 x-y=-1, x=1, y=2. 复数1+2i所对应的点在第一象限， 3.B【解析】由题意，得z=-1+i,则z+1=i,为纯虚 数，故A错误，B正确；z+i=-1+2i,故C,D错误.故 选B. 4.B【解析】z=2+i,z1在复平面内对应点的坐标为 (2,1),由复数1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称， 可知z2在复平面内对应的点的坐标为(-2,1)，22=-2+i. 5.B【解析】.zl≤1，.复数z对应的点表示的是以1 为半径的圆，.面积为π.故选B. 6.A【解析】设z=x+yi,其对应的点为(x,y),z 2,∴x2+2=4,即(x,y)对应的点的轨迹是以原点为圆心， 2为半径的圆，lz-i=Vx2+(y-1)表示(x,y)到点(0,1) 的距离，其最小值为2-1=1. 7.AC【解析】z=V(-1)+(-2)2=V5,A正确；复 数z在复平面内对应的点的坐标为(-1，-2)，在第三象 限，B不正确；z的共轭复数为-1+2i;C正确；复数z在复 平面内对应的点(-1，-2)不在直线y=-2x上，D不正确. 故选AC 8.2V2【解析】由z=a-1+(a+1)i为纯虚数，得a-1= 0,解得a=1,∴z=2i,则lz+2l=2+2i=V22+2=2V2,故答 案为2V2. 9.-3-2i【解析】由题意，可知A(2,3),B(3,2), C(-2,-3),设D(x,y),则Ad=BC,即(x-2,y-3)= 5,5),解得-3 故D点对应的复数为-3-2i y=-2, 10.2+i【解析】由复平面内复数=0+bi对 应的点在射线y=x上，a=b,z=a+ai,其中a>0.:lzl=l,可 得V01又0，解释=. 2 11.2V2【解析】由几何意义，可得复数z表示以(-1， 1)为圆心的半径为1的圆，则zl∈[V2-1,V2+1]→ Lzlmx+lzlin=2V2. 参考答案。 12.解：z=2-3a+2+(1-2)i. (1)由z=z知，1-a2-0,故a=±1.当a=1时，z=0,zl= 0;当a=-1时，z=6,zl=6. (2)由已知，得复数的实部和虚部皆大于0，即 12-3a+2>0, a>2或a<1, 即 ..-1<a<1. 1-a>0, -1<a<1, 13.解：1)若：是统虚数.则心-20，解得 a2-7a+6≠0， a=-2. a2+a-2>0, (2)由题意，知 解得1<a<6,.实数a的 a2-7a+6<0, 取值范围为(1,6). 14.5【解析】由复数的几何意义，可知0心=x0A+y0店， 即6.2=x1,2y1,-1.2x-=-2. 3,解得1 y=4, ∴x+y=5. 15.解：.z为纯虚数，.设z=ai(a∈R且a≠0).又 .l-1+il=V2,由lz-1=l-1+il,得Va+1=V2,解得a=±1. .'z=ti. 阶段性练习卷（三） 1.D【解析】复数包括实数与虚数，故实数集与纯虚 数集无交集.R∩I=,故选D. 2.B【解析】若ab=0,则a=0或b=0,当b=0时，a+bi 为实数，充分性不成立；若a+bi为纯虚数，则a=0,b≠0. 此时ab=0,必要性成立.故选B. 3.D【解析】号m<l,3m-2>0,m-l<0,点 (3m-2,m-1)在第四象限.故选D. 4.B【解析】由已知，可以得到a>2a+3,即d2-2a-3> 0,解得a>3或a<-l,因此，实数a的取值范围是{ala>3 或a<-1}.故选B. 5.C【解析】由复数相等的充要条件，得 4-3a=d,解 -a2=4a, 得a=-4.故选C. 6.D【解析】复平面上，除实轴上的点表示实数外， 其他的点都表示虚数，故A为假命题； z=a+bi(a,beR)表示纯虚数的条件是a=0且b≠0， 因此B为假命题； z=ai时，也有zl=a,故C为假命题； z1=z2时，有l,但z=-z2时也有k=,故D为真 命题.故选D. 7.CD【解析】.a2+2025i=4-bi,.a2=4,-b=2025, 65